Μου δωσανε τον εξης γριφο:
Το παραδοξο της σανιδας:
https://pantsik.blogspot.gr/2010/09/blog-post_252.html
Τι λετε παιδια?
Μια σκεψη που εκανα που πρεπει να ειναι λαθος ειναι η εξης:
Spoiler
Στην οριακη περιπτωση που η σανιδα ακουμπησει κατω δλδ x (t)= L το Πυθαγωρειο θεωρημα δεν θα ισχυει διοτι δεν θα σχηματιζεται τριγωνο. Ακουσα ομως απο παιδι που ξερει τελεια μαθηματικα οτι μπορει να θεωρηθει εκφυλισμενο. Δηλαδη οριακα για το ορθογωνιο ισχυει το Πθ.
Ας ξεκινήσουμε με κάποια βασικά πράγματα. Ορίζουμε σύστημα αξόνων Oxy όπως στο σχήμα που δίνεται όπου Ox οριζόντιος άξονας (στον οποίο στηρίζεται η σκάλα) με θετική φορά εκείνη της ταχύτητας v (συμβατικά την επιλέγουμε προς τα δεξιά ώστε να είναι σύμφωνη με το σχήμα) και Oy κατακόρυφος άξονας (στον οποίο επίσης στηρίζεται η σκάλα) με θετική φορά προς τα πάνω.
Όλες οι ποσότητες είναι θετικές ή το πολύ να μηδενίζονται. Δηλαδή x(t)>=0, y(t)>=0 για κάθε t>=0 και v>0.
Επειδή το κάτω άκρο Α(x(t),0) της σκάλας μετακινείται με σταθερή ταχύτητα τότε θα ισχύει x(t)=x0+vt όπου x0=x(0), t>=0. Σε κάθε χρονική στιγμή t>=0, το ύψος του σημείου Β(0,y(t)) στο οποίο στηρίζεται η σκάλα δίνεται από την σχέση y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)], 0<=t<=T. Η χρονική στιγμή T εξηγείται παρακάτω.
Η σκάλα θα συνεχίσει να κατεβαίνει μέχρι τη χρονική στιγμή T για την οποία x(T)=L οπότε y(T)=0. Για t>T το x θα συνεχίσει να μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό, όμως το y είναι μηδέν. Δηλαδή y(t)=0 για t>T.
Λύνουμε την εξίσωση x(T)=L και έχουμε:
x(T)=L => x0+vT=L => T=(L-x0)/v
Άρα έχουμε:
x(t)=vt+x0, t>=0
y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)] => y(t)=SQRT[(L^2)-((x0+vt)^2)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)], 0<=t<=T
y(t)=0, t>T
Παρατηρούμε ότι lim(t->T-)y(t)=lim(t->T+)y(t)=y(T)=0 που σημαίνει ότι η y είναι συνεχής στο T
Η ταχύτητα u του Β ισούται με την πρώτη παράγωγο dy/dt της y. Έχουμε:
Για 0<=t<T έχουμε y(t)=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]. Επομένως
u(t)=y΄(t)=-{[(v^2)t+vx0]/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}
Για t>T έχουμε y(t)=0. Επομένως u(t)=y΄(t)=0.
Στη συνέχεια θα εξεταστεί αν η y είναι παραγωγίσιμη στο T.
Για 0<=t<T έχουμε:
[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]/[t-((L-x0)/v)]=SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]/(-SQRT{[t-((L-x0)/v)]^2})
[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=(-v)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]
lim(t->T-)(L-x0-vt)=0 => lim(t->T-)[1/(L-x0-vt)]=+oo
lim(t->T-)(L+x0+vt)=2L>0
Άρα lim(t->T-)[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]=+oo => lim(t->T-)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]=+oo => lim(t->T-){(-v)SQRT[(L+x0+vt)/(L-x0-vt)]}=-oo
Επομένως y΄(T-)=lim(t->T-)[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=-oo
Για t>T έχουμε:
[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=0 => y΄(T+)=lim(t->T+)[(y(t)-y(T)]/(t-T)]=0
Παρατηρούμε ότι y΄(Τ-)=-oo και y΄(T+)=0. Το όριο y΄(T-) υπάρχει και δεν είναι πεπερασμένο ενώ το όριο y΄(T+) υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Κατά συνέπεια η y ΔΕΝ είναι παραγωγίσιμη στο T και δεν ορίζεται η ταχύτητα u τη χρονική στιγμή T. Συνεπώς
u(t)=y'(t)=-{[(v^2)t+vx0]/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}, 0<=t<T
u(t)=y΄(t)=0, t>T
Θα εξεταστούν στη συνέχεια τα όρια της y΄ όταν το t τείνει στο T
lim(t->T-)[-v(t^2)-vx0]=-vL<0
lim(t->T-)SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]=0 => lim(t->T-){1/SQRT[-(v^2)(t^2)-2x0vt+(L^2)-(x0^2)]}=+oo
Άρα lim(t->T-)y΄(t)=-oo=y΄(T-)
lim(t->T+)y΄(t)=0=y΄(T+)
Το λάθος βρίσκεται στο 8ο βήμα του συλλογισμού. Πραγματικά στο χρονικό διάστημα [0,T) η ταχύτητα του σημείου Β συνεχώς αυξάνεται και γίνεται πολύ μεγάλη (το αρνητικό πρόσημο στο -οο δηλώνει ότι η u έχει φορά προς τα κάτω) όταν το t τείνει στο Τ αλλά δεν γίνεται ίσο με Τ. Συνεπώς στο διάστημα [0,Τ) η ταχύτητα του Β είναι πεπερασμένη.
Τη χρονική στιγμή t=T η ταχύτητα του Β θα γινόταν απεριόριστα μεγάλη (δηλαδή άπειρη) αν το y συνέχιζε να μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό. Όμως αυτό δεν συμβαίνει γιατί για t>T ισχύει y(t)=0. Επομένως εκεί που τείνει η ταχύτητα u να γίνει άπειρη, ξαφνικά μηδενίζεται την ίδια χρονική στιγμή. Γι αυτό η ταχύτητα του Β δεν γίνεται άπειρη. Ο λόγος λοιπόν που η ταχύτητα του Β δεν γίνεται άπειρη είναι ότι "την φρενάρει απότομα" η στιγμιαία μεταβολή του y από y(t)=SQRT[(L^2)-(x(t)^2)] σε y(t)=0 την χρονική στιγμή t=T.
