Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 14 Μαρτίου 2015 στις 16:42

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Edit: Βάζω ακόμα μια. Σε αυτή χρειάζομαι, όμως βοήθεια.
Δίνεται η συνάρτηση $\sqrt[3]{x^3-2x^2+x}$ και πρέπει να βρω την μονοτονία της. Όταν την κάνω $(x^3-2x^2+x)^\1/3$ , δεν πρέπει να βάλω και απόλυτο; Και μετά να την κάνω κλαδωτή; Αυτό το έκανα, και βρήκα ότι αλλάζει πρόσημο (και τύπο) στο 0 (αν παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο), και μετά παραγώγισα (στο μηδέν δεν είναι παραγωγίσιμη). Μπορεί κάποιος να μου πεις πως γίνεται η κλαδωτή και η παράγωγός της, γιατί το έχω μπερδέψει έτσι όπως το έκανα. Αν θέλετε στέλνω φωτογραφία (είναι πολύ μπέρδεμα για να τη γράψω σε latex), αλλά το πιο πιθανό είναι ότι δεν θα καταλάβετε τα γράμματά μου

Η $f$ ορίζεται στο $[0,+\infty)$ άρα όταν γράφεις $f(x)=(x^3-2x^2+x)^\1/3$ το υπόριζο είναι μη αρνητικό οπότε δεν χρειάζεται απόλυτο. Μετά για $x \in (0,1)\cup (1,+\infty)$ είναι $f'(x)=\frac{1}{3}(x^3-2x^2+x)^{-\frac{2}{3}}\left(3x^2-4x+1\right)=\frac{1}{3}(x^3-2x^2+x)^{-\frac{2}{3}}(3x-1)(x-1)$ και βγάζεις μονοτονίες κλπ. Δεν χρειάζεται να εξετάσεις την παραγωγισιμότητα στα άκρα 0 και 1 καθώς εξετάζεις την μονοτονία και επομένως σε ενδιαφέρει το πρόσημο της παραγώγου στα εσωτερικά σημεία των διαστημάτων.
Μία περίπτωση όπου μάλλον χρειάζεται η δίκλαδη είναι για παράδειγμα αν $f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^2}$ . Αυτή ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$ και γράφεται
$f(x)=|x-1|^\frac{2}{3}=\begin{cases} (x-1)^\frac{2}{3}, & x \geq 1 \\ (1-x)^\frac{2}{3}, & x<1 \end{cases}$
οπότε για $x \neq 1$ :
$f'(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}(x-1)^{-\frac{1}{3}}, & x > 1 \\ -\frac{2}{3}(1-x)^{-\frac{1}{3}}, & x<1 \end{cases}$

PiDefiner · 14 Μαρτίου 2015 στις 17:52

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Η $f$ ορίζεται στο $[0,+\infty)$ άρα όταν γράφεις $f(x)=(x^3-2x^2+x)^\1/3$ το υπόριζο είναι μη αρνητικό οπότε δεν χρειάζεται απόλυτο. Μετά για $x \in (0,1)\cup (1,+\infty)$ είναι $f'(x)=\frac{1}{3}(x^3-2x^2+x)^{-\frac{2}{3}}\left(3x^2-4x+1\right)=\frac{1}{3}(x^3-2x^2+x)^{-\frac{2}{3}}(3x-1)(x-1)$ και βγάζεις μονοτονίες κλπ. Δεν χρειάζεται να εξετάσεις την παραγωγισιμότητα στα άκρα 0 και 1 καθώς εξετάζεις την μονοτονία και επομένως σε ενδιαφέρει το πρόσημο της παραγώγου στα εσωτερικά σημεία των διαστημάτων.
Μία περίπτωση όπου μάλλον χρειάζεται η δίκλαδη είναι για παράδειγμα αν $f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^2}$ . Αυτή ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$ και γράφεται
$f(x)=|x-1|^\frac{2}{3}=\begin{cases} (x-1)^\frac{2}{3}, & x \geq 1 \\ (1-x)^\frac{2}{3}, & x<1 \end{cases}$
οπότε για $x \neq 1$ :
$f'(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}(x-1)^{-\frac{1}{3}}, & x > 1 \\ -\frac{2}{3}(1-x)^{-\frac{1}{3}}, & x<1 \end{cases}$

H f ορίζεται στο $[0,+\infty)$ επειδή αν παραγοντοποιήσουμε βγαίνει το x που πρέπει να είναι θετικό κάτω από το υπόριζο;

eyb0ss · 14 Μαρτίου 2015 στις 17:57

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
H f ορίζεται στο $[0,+\infty)$ επειδή αν παραγοντοποιήσουμε βγαίνει το x που πρέπει να είναι θετικό κάτω από το υπόριζο;

Ρώτα τον καθηγητή σου αν πουλάνε τα αρνητικά υπόρριζα σε κυβικές ρίζες, αν σου πει όχι τότε ο styt έχει δίκιο.

PiDefiner · 14 Μαρτίου 2015 στις 18:44

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Ρώτα τον καθηγητή σου αν πουλάνε τα αρνητικά υπόρριζα σε κυβικές ρίζες, αν σου πει όχι τότε ο styt έχει δίκιο.

Χμ... αυτό το ρώτησα χθες στο φροντιστήριο και μου είπε πως κανονικά δεν χρειάζεται περιορισμός, γιατί $(-1)^3=-1$ , αλλά δεν μου έβαλε αυτός την άσκηση. Θα ρωτήσω την καθηγήτρια στο σχολείο, μια που το ανέφερες, και μετά αναλόγως...

Vold · 14 Μαρτίου 2015 στις 20:04

Ναι βρε παιδιά οι ρίζες παίρνουν και αρνητικές τιμές
Απλά πρέπει να είναι περιττού αριθμού ρίζα...

eyb0ss · 14 Μαρτίου 2015 στις 21:28

Αρχική Δημοσίευση από Νίκος Συμιδαλάς:
Ναι βρε παιδιά οι ρίζες παίρνουν και αρνητικές τιμές
Απλά πρέπει να είναι περιττού αριθμού ρίζα...

Ναι ρε Νίκο αλλά στην Ελλάδα έχουν κόμπλεξ με αρνητικά υπόρριζα ακόμη και αν έχουν νόημα.

PiDefiner · 14 Μαρτίου 2015 στις 23:33

Λοιπόν, μια απορία που δεν ξέρω αν αντιστοιχεί σε αυτό το topic, αλλά στη χειρότερη ας μεταφερθεί. Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει από που προκύπτουν τα ονόματα των κεφαλαίων που κάνουμε; Για παράδειγμα, πέρυσι, μας εξήγησαν γιατί το τελευταίο κεφάλαιο ονομάζεται "κωνικές τομές", αφού το όνομα ήταν φαινομενικά άσχετο με αυτό που κάνουμε. Φέτος πέρα από τους μιγαδικούς, τα όρια και τη συνέχεια συνάρτησης, δεν καταλαβαίνω πως προκύπτουν οι υπόλοιπες ονομασίες. Τι ακριβώς είναι η ανάλυση, που διαφοροποιείται από την Γεωμετρία, και τι είναι Λογισμός; Γιατί διαφορικός και γιατί ολοκληρωτικός;

Navarro1996 · 15 Μαρτίου 2015 στις 14:48

Παιδια σημερα ειχα μια διαφωνια με τον μαθηματικο μου και θα ηθελα και την δικη σας γνωμη!!

Καταρχας ειμαι αποφοιτος και δινω 2η χρονια πανελλαδικες, απο τεχνολικη κατευθυνση. Στα μαθηματικα κατευθυνσεις τις προαλλες, ο καθηγητης μου , μου παρεδωσε το μαθημα με τις παραγουσες (τις αρχικες συναρτησεις) και εγω θυμαμαι απο περυσι αλλα και φετος απο οσο τα ειδα, οτι σε τετοιου ειδους ασκησεις χρειαζονται πολλα '''τρικ'' και κολπακια για να βγαλουμε τον αρχικο τυπο της συναρτησης. Εγω για αυτο τον λογο πιστευω οτι σε τετοιου ειδους ασκησεις χρειαζεται καποιος να εχει ταλεντο στα μαθηματικα, ενω ο καθηγητης μου με ειπε οτι ειναι καθαρα παπαγαλια οι τυποι των αρχικων συναρτησεων και εξασκηση....εσεις τι πιστευετε?

ultraviolence · 15 Μαρτίου 2015 στις 15:36

Θέλω κάποιος να με βοηθησει με την εξης ασκηση ( μπαρλας, σελ 297, η 17)

Αν η παραγωγος της f ειναι συνεχης στο [0,1] και ισχυει $f(0)= 1$ και $f(1)=2$ τότε να υπολογισετε το ολοκληρωμα

$\int_{0}^{1} [f'(x) - f(x) ] /e^x *dx$ ( το e^x ειναι παρανομαστης και των 2)

το μυαλο μου πηγε για θμτ αλλα δεν ειμαι σιγουρος κιολας

Το πάλεψα όσο μπορουσα με τη Latex

eyb0ss · 15 Μαρτίου 2015 στις 15:51

Αρχική Δημοσίευση από ultraviolence:
Θέλω κάποιος να με βοηθησει με την εξης ασκηση ( μπαρλας, σελ 297, η 17)

Αν η παραγωγος της f ειναι συνεχης στο [0,1] και ισχυει $f(0)= 1$ και $f(1)=2$ τότε να υπολογισετε το ολοκληρωμα

$\int_{0}^{1} [f'(x) - f(x) ] /e^x *dx$ ( το e^x ειναι παρανομαστης και των 2)

το μυαλο μου πηγε για θμτ αλλα δεν ειμαι σιγουρος κιολας

Το πάλεψα όσο μπορουσα με τη Latex

Πολλαπλασίασε αριθμητή και παρονομαστή με $e^x$
Παρατηρείς κάτι;

ultraviolence · 15 Μαρτίου 2015 στις 15:59

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Πολλαπλασίασε αριθμητή και παρονομαστή με $e^x$
Παρατηρείς κάτι;

Ωπ πως και δε το σκεφτηκα; Thanks mathguy,βγηκε!

DumeNuke · 15 Μαρτίου 2015 στις 16:14

Αρχική Δημοσίευση από Navarro1996:
Εγω για αυτο τον λογο πιστευω οτι σε τετοιου ειδους ασκησεις χρειαζεται καποιος να εχει ταλεντο στα μαθηματικα, ενω ο καθηγητης μου με ειπε οτι ειναι καθαρα παπαγαλια οι τυποι των αρχικων συναρτησεων και εξασκηση....εσεις τι πιστευετε?

Οι παράγουσες είναι καθαρά θέμα εξάσκησης. Άμα λύσεις 500 ασκήσεις με παράγουσα, στο τέλος θα βλέπεις το ολοκλήρωμα και θα το βγάζεις με το μυαλό. Το να είναι κάποιος χαρισματικός στα μαθηματικά, σημαίνει να "τα πιάνει" πιο γρήγορα, όχι να τα ξέρει καλύτερα. Χρειάζεται, πχ, να λύσει 250 ασκήσεις, και όχι 500.

Όλοι μπορούμε να φτάσουμε το επίπεδο διάννοιας του Einstein, απλώς οι περισσότεροι θα χρειαστούμε πάνω από 150 χρόνια για να το πετύχουμε...

Vold · 15 Μαρτίου 2015 στις 16:29

Αρχική Δημοσίευση από Navarro1996:
Παιδια σημερα ειχα μια διαφωνια με τον μαθηματικο μου και θα ηθελα και την δικη σας γνωμη!!

Καταρχας ειμαι αποφοιτος και δινω 2η χρονια πανελλαδικες, απο τεχνολικη κατευθυνση. Στα μαθηματικα κατευθυνσεις τις προαλλες, ο καθηγητης μου , μου παρεδωσε το μαθημα με τις παραγουσες (τις αρχικες συναρτησεις) και εγω θυμαμαι απο περυσι αλλα και φετος απο οσο τα ειδα, οτι σε τετοιου ειδους ασκησεις χρειαζονται πολλα '''τρικ'' και κολπακια για να βγαλουμε τον αρχικο τυπο της συναρτησης. Εγω για αυτο τον λογο πιστευω οτι σε τετοιου ειδους ασκησεις χρειαζεται καποιος να εχει ταλεντο στα μαθηματικα, ενω ο καθηγητης μου με ειπε οτι ειναι καθαρα παπαγαλια οι τυποι των αρχικων συναρτησεων και εξασκηση....εσεις τι πιστευετε?

Γνώμη μου είναι πως υπάρχουν κάποιες κλασικές περιπτώσεις όπου πάει το μυαλό σου σε αυτό που πρέπει να κάνεις, με την κατάλληλη εξάσκηση φυσικά.
Βέβαια υπάρχουν περιπτώσεις που είτε θα χρειαστείς μια σελίδα για να βρείς την παράγουσα είτε θα βρείς το τρίκ που κρύβεται και θα το λύσεις σε μια σειρά.
Ενδ. στις πανελλήνιες μια χρονιά(δεν θυμάμαι πια) έπεσε μια που είχε ln και φαινόταν παλούκι, ήταν μεγάλη, αλλά με ένα απλό τρικ από μια σελίδα ήθελες μια-δυο γραμμές.

Οπότε η γνώση των βασικών τύπων + την εξάσκηση είναι καλός συνδυασμός

johnietraf · 15 Μαρτίου 2015 στις 23:00

Παιδια μια βοηθεια...
Αν α,β,γ> 0 και ισχυει lna + lnβ + lnγ = 1
Να δ.ο αe εις την α+β + βe εισ την α +γ + γe α+β》 3e³

rebel · 16 Μαρτίου 2015 στις 00:37

Αρχική Δημοσίευση από johnietraf:
Παιδια μια βοηθεια...
Αν α,β,γ> 0 και ισχυει lna + lnβ + lnγ = 1
Να δ.ο αe εις την α+β + βe εισ την α +γ + γe α+β》 3e³

Ελπίζω η ζητούμενη ανισότητα να είναι η $ae^{b+c}+be^{a+c}+ce^{a+b} \geq 3e^3$ αλλιώς γράψε λάθος.
Η δοσμένη σχέση γράφεται:
$\ln (abc )=1 \Rightarrow abc=e,\,\,(1)$
Λόγω της ανισότητας $x+y\geq 2\sqrt{xy},\,\,x,y \geq 0$ είναι
$ae^{b+c}+be^{a+c}+ce^{a+b} \geq ae^{2 \sqrt{bc}}+be^{2 \sqrt{ac}}+ce^{2 \sqrt{ab}}\stackrel{(1)}{=}ae^{2 \sqrt{e/a}}+be^{2 \sqrt{e/b}}+ce^{2 \sqrt{e/c}}$
Η συνάρτηση $f(x)=x e^{2\sqrt{e/x}},\,\,x>0$ παρουσιάζει ελάχιστο για $x=e$ το $f(e)=e^3$ οπότε το ζητούμενο έπεται.

johnietraf · 16 Μαρτίου 2015 στις 00:47

Σωστη ειναι φιλε
Εγω εκανα ορθογραφικο
Μπραβο που το μαντεψες κιολας

ΤΖΟΥΚΟΣ · 16 Μαρτίου 2015 στις 10:21

Παιδια χρειαζομαι την πολυτιμη βοηθεια σας στην λυση μιας ασκησης..Εστω f παραγωγισιμη με f(0)<f'(x)<f(1) για καθε xeR ΝΔΟ 1)f'(x)>0 για καθε xeR
2)Η εξισωση f(x)=0 εχει τουλαχιστον μια ριζα στο (-1,0) 3)Υπαρχουν ξ1,ξ2eR με ξ1<ξ2 τ.ω. f(1)/f'(ξ2) - f(-1)/f'(ξ1)=2

eyb0ss · 16 Μαρτίου 2015 στις 12:18

Αρχική Δημοσίευση από ΤΖΟΥΚΟΣ:
Παιδια χρειαζομαι την πολυτιμη βοηθεια σας στην λυση μιας ασκησης..Εστω f παραγωγισιμη με f(0)<f'(x)<f(1) για καθε xeR ΝΔΟ 1)f'(x)>0 για καθε xeR
2)Η εξισωση f(x)=0 εχει τουλαχιστον μια ριζα στο (-1,0) 3)Υπαρχουν ξ1,ξ2eR με ξ1<ξ2 τ.ω. f(1)/f'(ξ2) - f(-1)/f'(ξ1)=2

Θα δίνω υποδείξεις και τις λύσεις θα τις βάζω σε σποιλερ.
1) ΘΜΤ στο $[0,1]$

Υπάρχει $x_1\in (0,1)$ τ.ω. $f'(x_1)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)-f(0)$
Όπου $x$ το $x_1$ :
$f(0)<f(1)-f(0)<f(1) \Leftrightarrow f(0)-f(1)<-f(0)<0 \Rightarrow f(0)>0$
$0<f(0)<f'(x) \Rightarrow f'(x)>0$

2)ΘΜΤ πάλι.

Με ΘΜΤ στο $[-1,0]$ υπάρχει $x_2\in (-1,0)$ τ.ω. $f'(x_2)=\frac{f(0)-f(-1)}{0+1}=f(0)-f(-1)$
Όπου $x$ το $x_2$ :
$f(0)<f(0)-f(-1)<f(1) \Leftrightarrow 0<-f(-1)<f(1)-f(0) \Rightarrow -f(-1)>0 \Leftrightarrow f(-1)<0$
Έχουμε $f(-1)<0,f(0)>0$ Bolzano και υπάρχει $x_0\in (-1,0)$ τ.ω. $f(x_0)=0$

3)ΘΜT σε 2 διαστήματα αξιοποιώντας προηγούμενα ερωτήματα.

Η $f$ πληροί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο $(-1,x_0)$ άρα υπάρχει $\xi_1\in (-1,x_0)$ τ.ω. $f'(\xi_1)=\frac{f(x_0)-f(-1)}{x_0+1} \Leftrightarrow \frac{f(-1)}{f'(\xi_1)}=-x_0-1 (1)$
Με ΘΜΤ στο $(x_0,1)$ υπάρχει $\xi_2\in (x_0,1)$ τ.ω. $f'(\xi_2)=\frac{f(1)-f(x_0)}{1-x_0} \Leftrightarrow \frac{f(1)}{f'(\xi_2)}=1-x_0 (2)$
Αφαιρούμε την $(1)$ από την $(2)$ και έχουμε
$\frac{f(1)}{f'(\xi_2)}-\frac{f(-1)}{f'(\xi_1)}=1-x_0-(-x_0-1)=1-x_0+x_0+1=2$
Προφανώς είναι $\xi_2>\xi_1$
Τα $f'(\xi_1),f'(\xi_2)$ μπορούν να βρίσκονται στον παρονομαστή διότι $f'(x)>0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$

Kudos στον styt_geia για την διόρθωση.

PiDefiner · 17 Μαρτίου 2015 στις 20:37

Μπορεί κάποιος να εντοπίσει που κάνω την πατάτα και βγάζω λάθος αποτέλεσμα; Το κοιτάω 3 τέταρτα τώρα και δεν μπορώ να καταλάβω.

(Το ξέρω, σας βάζω δύσκολα με τα ορνιθοσκαλίσματά μου, αλλά όποιος μπορέσει να το διαβάσει έχει extra credits

)

Vold · 17 Μαρτίου 2015 στις 21:04

Βασικά το πρόβλημα είναι η ανάλυση της εικόνας σου..
Προσωπικά δεν καταλαβαίνω χριστό

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συντονιστής

Δραστήριο μέλος

Συντονιστής

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος