Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Metal-Militiaman · 31 Μαρτίου 2012 στις 12:43

Αρχική Δημοσίευση από mikri_tulubitsa:
πως δειχνω οτι $x^2>\ln 2x$ για καθε χ>0;

$f(x)={x}^{2}-ln(2x) , χ>0$

Aρκεί να δείξεις $f(x)>0$
παραγωγίζεις και βρίσκεις ότι στο $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο

Άρα $f(x)\geq f(\frac{1}{\sqrt{2}})={(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}-ln(\frac{2}{\sqrt{2}})={\frac{1}{2}}(1-ln2))>0$

Όπα! απαντήθηκε από τον styt_geia, ξέχασα να σκρολάρω :hehe:

stelios1994-4 · 31 Μαρτίου 2012 στις 13:13

Μια μικρή γενική βοήθεια. Πως αντιμετωπίζω όρια που περιέχουν ολοκληρώματα μέσα? Κανονικά? Υπάρχει καμιά περίεργη περίπτωση που πρέπει να προσέξω??

rebel · 31 Μαρτίου 2012 στις 15:16

Αρχική Δημοσίευση από stelios1994-4:
Μια μικρή γενική βοήθεια. Πως αντιμετωπίζω όρια που περιέχουν ολοκληρώματα μέσα? Κανονικά? Υπάρχει καμιά περίεργη περίπτωση που πρέπει να προσέξω??

Αυτό το άρθρο πιστεύω θα φανει χρήσιμο.

drosos · 31 Μαρτίου 2012 στις 15:48

Συνηθως με delhospital... Αλλιως θα χεις αποδειξει απο πανω καποια ανισοτητα και με κριτηριο παρεμβολης θα το βρισκεις )

stelios1994-4 · 31 Μαρτίου 2012 στις 17:13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αυτό το άρθρο πιστεύω θα φανει χρήσιμο.

Πολύ χρήσιμο, ευχαριστώ.

diaryofdreams · 31 Μαρτίου 2012 στις 21:56

Να λυθει η εξισωση : 2^x-3^x=4^x-5^x

Χαρουλιτα · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:00

Εφαρμοζεις ΘΜΤ στην f(x)=x εις την t στα διαστηματα [2,4] και [3,5]

GiwrgosK. · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:20

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Εφαρμοζεις ΘΜΤ στην f(x)=x εις την t στα διαστηματα [2,4] και [3,5]

Το ΘΜΤ πρέπει να το εφαρμόσεις στα [2,3] και [4,5] γιατί δεν πρέπει να υπερκαλύπτονται τα διαστήματα στα οποία κάνεις το ΘΜΤ ώστε να βρείς δύο διαφορετικές τιμες,κατά τα άλλα η λογική είναι σωστή

Χαρουλιτα · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:23

Νομιζω πως και ο τροπος που λεω και ο τροπος που λες ειναι σωστοι...

GiwrgosK. · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:34

Κάνοντας ΘΜΤ στο [2,4] και [3,5] θα φτάσει στο σημείο ,για x1 που ανήκει (2,4) και x2 που ανήκει στο (3,5), ότι $x{{x}_{1}}^{x-1}-x{{x}_{2}}^{x-1}=0$ άρα ή χ=0 ή ${{x}_{1}}^{x-1}$ = ${{x}_{2}}^{x-1}$ ,αν όμως τα διαστήματα υπερκαλύπτονται τότε το δεύτερο μπορεί να είναι αόριστο (αν x1=x2) για αύτο ενώ αν είναι [2,3] και [4,5] τότε η δεύτερη σχέση θα δώσει ως λύση μόνο το x=1 που θέλουμε

Χαρουλιτα · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:36

Α, οκ, τωρα καταλαβα τι εννοεις!

diaryofdreams · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:36

στο [2,3] και στο [4,5] εννοείς

GiwrgosK. · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:39

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
στο [2,3] και στο [4,5] εννοείς

Ναι,σόρρυ το διόρθωσα

diaryofdreams · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:45

Εστω f(x)= x^t f'(x)=t*x^(t-1) ΘΜΤ στο [2,3] f'(ξ1)=3^t-2^t => t*ξ1^(t-1)=3^t-2^t (1)
.... ... [4,5] => t*ξ2^(t-1)=5^t-4^t (2)

αρα η εξισωση μας ,, απο τις 1,2 ειναι ισοδυναμη με την t*ξ1^(t-1)=t*ξ2^(t-1) (με αλλη μεταβλητη χ<->t)

η οποια για t διαφορο του μηδενος (προφανης ριζα) δινει ξ1(τ-1)=ξ2(τ-1) , για ξ1 διαφορο του ξ2 εχουμε και μια επιπλεον ριζα τ=1

GiwrgosK. · 31 Μαρτίου 2012 στις 22:47

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
Εστω f(x)= x^t f'(x)=t*x^(t-1) ΘΜΤ στο [2,3] f'(ξ1)=3^t-2^t => t*ξ1^(t-1)=3^t-2^t (1)
.... ... [4,5] => t*ξ2^(t-1)=5^t-4^t (2)

αρα η εξισωση μας ,, απο τις 1,2 ειναι ισοδυναμη με την t*ξ1^(t-1)=t*ξ2^(t-1) (με αλλη μεταβλητη χ<->t)

η οποια για t διαφορο του μηδενος (προφανης ριζα) δινει ξ1(τ-1)=ξ2(τ-1) , για ξ1 διαφορο του ξ2 εχουμε και μια επιπλεον ριζα τ=1

Σωστός

mary-blackrose · 31 Μαρτίου 2012 στις 23:20

στο φροντηστηριο που παω κανουμε μια πορετοιμασια απο τωρα για τους μιγαδικους στη γ λυκειου,θα ηθελα αν μπορουσε καποιος να με βοηθησει στην παρακατω ασκηση γιατι δεν μας εχει εξηγησει καποια πραγματα... και δεν μπορω να καταλαβω τι πρεπει να κανω στην ασκηση....
:hmm:

λοιπον η ασκηση εχει ως εξης:
αν για το μιγαδικο αριθμο z ισχυει / z - 4 - 3i / = 2 τοτε:
α)να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος της εικονας του z.
β)να βρειτε την ελαχιστη και τη μεγιστη τιμη του / z /.
γ)ποιος μιγαδικος αριθμος z εχει το ελαχιστο και ποιος το μεγιστο μετρο;
δ)Αν z1,z2 ειναι δυο μιγαδικοι του προηγουμενου γεωμετρικου τοπου να αποδειχθει οτι / z1 -z2 / _< (μικροτερο και ισο με ) 4
ε)αν z1,z2 ειναι δυο μιγαδικοι του προηγουμενου γεωμετρικου τοπου τετοιοι,ωστε / z1- z2 /= 4 να αποδειξετε οτι /z1 + z2 / = 10

rebel · 31 Μαρτίου 2012 στις 23:20

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
Να λυθει η εξισωση : 2^x-3^x=4^x-5^x

Άλλος τρόπος θεωρώντας την $f(t)=(t+1)^x-t^x, \,t \in [2,4]$ με Rolle στο $[2,4]$ και συνεχίζουμε όπως πριν.

gregory nub · 31 Μαρτίου 2012 στις 23:27

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
στο φροντηστηριο που παω κανουμε μια πορετοιμασια απο τωρα για τους μιγαδικους στη γ λυκειου,θα ηθελα αν μπορουσε καποιος να με βοηθησει στην παρακατω ασκηση γιατι δεν μας εχει εξηγησει καποια πραγματα... και δεν μπορω να καταλαβω τι πρεπει να κανω στην ασκηση....
λοιπον η ασκηση εχει ως εξης:
αν για το μιγαδικο αριθμο z ισχυει / z - 4 - 3i / = 2 τοτε:
α)να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος της εικονας του z.
β)να βρειτε την ελαχιστη και τη μεγιστη τιμη του / z /.
γ)ποιος μιγαδικος αριθμος z εχει το ελαχιστο και ποιος το μεγιστο μετρο;
δ)Αν z1,z2 ειναι δυο μιγαδικοι του προηγουμενου γεωμετρικου τοπου να αποδειχθει οτι / z1 -z2 / _< (μικροτερο και ισο με ) 4
ε)αν z1,z2 ειναι δυο μιγαδικοι του προηγουμενου γεωμετρικου τοπου τετοιοι,ωστε / z1- z2 /= 4 να αποδειξετε οτι /z1 + z2 / = 10

Απλά σκέψου πως είναι κύκλος με Κ(4,3) και ρ=2, τα υπόλοιπα τα βρίσκεις εύκολα με μαθ. κατ. της Β λυκείου

(και γεωμετρία)

stelios1994-4 · 1 Απριλίου 2012 στις 16:03

Σήμερα το γράψαμε:
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται συνάρτηση $f:\left[0,1 \right]\rightarrow R$ , δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύουν:
$f\left(0 \right)+f\left(1 \right)=0$ , ${f}^{'}\left(\frac{1}{2} \right)=3$ και $2\leq {f}^{''}\left(x \right)\leq 4$ για κάθε $x\in \left[0,1 \right]$
Να αποδείξετε ότι:
Δ1. $1\leq {f}^{'}\left(x \right)\leq 5$ για κάθε $x\in \left[0,1 \right]$
Δ2. υπάρχει μοναδικό ${x}_{0}\in \left(0,1 \right)$ τέτοιο ώστε $f\left({x}_{0} \right)=0$
Δ3. υπάρχει $\xi \in \left(0,1 \right)$ τέτοιο ώστε, ${f}^{'}\left(\xi \right)=4\xi f\left(1 \right)$
Δ4. $3x-\frac{3}{2}+f\left(\frac{1}{2} \right)\leq f\left(x \right)\leq 3x-\frac{1}{2}$ για κάθε $x\in \left[0,1 \right]$
Δ5. $f\left(\frac{1}{2} \right)\leq \int_{0}^{1}f\left(x \right)dx\leq 1$

Ε, λίγη βοήθεια για το δ1 και το δ4... δεν τα βγαλα

Ορίστε και το θέμα Γ, για εξάσκηση:
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε $\int_{3}^{x}\left(\int_{1}^{u}f\left(t \right)dt \right)du\geq 2x-6$ για κάθε $x\in R$ . Να δείξετε ότι:
$\alpha.$ $\int_{1}^{3}f\left(t \right)dt=2$
$\beta.$ Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ στο στημείο $A\left(0,f\left(0 \right) \right)$ είναι η ευθεία $4x+y-3=0$ να υπολογίσετε το $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\int_{0}^{x}{t}^{2}f\left(t \right)dt-{x}^{3}}{{x}^{4}}$
$\gamma.$ Αν για κάθε $x\geq 1$ ισχύει ${f}^{'}\left(x \right)>0$ και $h\left(x \right)=\int_{1}^{x}f\left(t \right)dt$ , να αποδείξετε ότι για κάθε $x>1$ ισχύει: ${h}^{'}\left(x \right)>\frac{h\left(x \right)}{x-1}$
Γ2. Έστω οι συναρτήσεις $f\left(x \right)={e}^{x}$ και $g\left(x \right)=-{x}^{2}$ . Να αποδείξετε ότι:
$\alpha.$ Υπάρχει ακριβώς μια ευθεία ε κοινή εφαπτομένη των ${C}_{f}$ και ${C}_{g}$ .
$\beta.$ η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ δύο σημείων των ${C}_{f}$ και ${C}_{g}$ έχει ελάχιστο.

rebel · 1 Απριλίου 2012 στις 16:49

Για το Δ1, για $x=1/2$ η ανισότητα ισχύει από υπόθεση. Έστω $x \in \left(1/2,1 \right]$ . Τότε λόγω του Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει $\xi \in \left(1/2,x\right): \, f''(\xi)=\frac{f'(x)-f'(1/2)}{x-1/2}$ και από την δοσμένη ανισότητα έχουμε
$2 \leq f''(\xi) \leq 4 \Rightarrow 2 \leq \frac{f'(x)-f'(1/2)}{x-1/2} \leq 4 \Rightarrow 2(x-1/2)+3 \leq f'(x) \leq 4(x-1/2)+3$

Από την δεξιά ανισότητα παίρνουμε $f'(x) \leq 4(x-1/2)+3 \leq 4(1-1/2)+3=5$ και απο την δεξιά $1 = 2(0-1/2)+3=5 \leq 2(x-1/2)+3 \leq f'(x)$
Ίδια δουλειά για $x \in [0,1/2)$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος