Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

depth.hunter · 2011-11-26T16:48:24+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
$D_{gof}=\left\{x\in D_f|f(x)\in D_g \right\}=\left\{x\in [-1,+\infty)|f(x)\in\mathbb{R}\right\}=[-1,+\infty)$ και
$(gof)(x)=g\left(f(x)\right)\stackrel{f(x)\geq -1}{=}2f(x)+1=2\sqrt{x+1}+1,\,\,x\in [-1,+\infty)$ η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της .

thnx

rebel · 2011-11-26T17:47:51+0200

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
Μπορεί κάποιος να μου πει εαν η λύση μου στην παρακάτω άσκηση είναι ορθή;

Δεδομένα: f,g: R -> R , και ισχύει f(x) ≤ 0 ≤ g(x) για καθε xER και lim(f(x)-g(x))=0 με x->0

να δείξετε οτι limf(x)=limg(x)=0 για x->0

ΛΥΣΗ:
f(x)-g(x)=h(x) με lim(h(x))=0

f(x)=h(x)+g(x) αφου g(x)≥0* θα είναι

f(x) ≥ h(x) => lim(f(x))≥0 όμως απο τα δεδομένα ισχύει f(x)≤0 => lim(f(x))≤0
αρα lim(f(x))=0

όμοια f(x)-g(x)=h(x) => g(x) = - h(x) + f(x)
όμως f(x)≤0 αρα
g(x) ≤ -h(x) => lim(g(x)) ≤ 0 και απο τα δεδομενα g(x)≥0 => limg(x)≥0
αρα limg(x)=0

τι λετε;

Ωραία σκέψη αλλά νομίζω ότι πρέπει να ξέρεις ότι υπάρχουν τα όρια των $f_1(x),\,f_2(x)$ στο $x_0$ για να χρησιμοποιήσεις το θεώρημα $f_1(x)\leq f_2(x) \Rightarrow \lim_{x\to x_0}f_1(x) \leq \lim_{x\to x_0}f_2(x)$ . Στην συγκεκριμένη περίπτωση μπορείς πιο απλά να πεις ότι
$f(x)-g(x) \leq f(x) \leq 0 \stackrel{\kappa.\pi a \rho \epsilon \mu \beta o \lambda \dot \eta \varsigma}{\Rightarrow} \lim_{x\to 0}f(x)=0$

$0 \leq g(x) \leq g(x) - f(x) \stackrel{\kappa.\pi a \rho \epsilon \mu \beta o \lambda \dot \eta \varsigma}{\Rightarrow} \lim_{x\to 0}g(x)=0$
που σαν κατασκευή είναι το ίδιο με αυτό που έγραψες με την διαφορά ότι στο κριτήριο παρεμβολής δεν χρειάζεται η γνώση της ύπαρξης των ορίων των f,g .

Demlogic · 2011-11-26T20:25:20+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Ωραία σκέψη αλλά νομίζω ότι πρέπει να ξέρεις ότι υπάρχουν τα όρια των $f_1(x),\,f_2(x)$ στο $x_0$ για να χρησιμοποιήσεις το θεώρημα $f_1(x)\leq f_2(x) \Rightarrow \lim_{x\to x_0}f_1(x) \leq \lim_{x\to x_0}f_2(x)$ . Στην συγκεκριμένη περίπτωση μπορείς πιο απλά να πεις ότι
$f(x)-g(x) \leq f(x) \leq 0 \stackrel{\kappa.\pi a \rho \epsilon \mu \beta o \lambda \dot \eta \varsigma}{\Rightarrow} \lim_{x\to 0}f(x)=0$

$0 \leq g(x) \leq g(x) - f(x) \stackrel{\kappa.\pi a \rho \epsilon \mu \beta o \lambda \dot \eta \varsigma}{\Rightarrow} \lim_{x\to 0}g(x)=0$
που σαν κατασκευή είναι το ίδιο με αυτό που έγραψες με την διαφορά ότι στο κριτήριο παρεμβολής δεν χρειάζεται η γνώση της ύπαρξης των ορίων των f,g .

δηλαδή στην ανισότητα δε μπορώ να πάρω lim αμα δε ξερω οτι υπάρχουν αλλα στην ισότητα μπορώ;

rebel · 2011-11-26T21:34:10+0200

Απλά διάβασε το κριτήριο παρεμβολής και τις υποθέσεις του στο σχολικό σελ. 169 και το θεώρημα 2 σελ. 166 και θα καταλάβεις την διαφορά. Η απόδειξη του κριτηρίου παρεμβολής δεν είναι $h(x) \leq f(x) \leq g(x) \Rightarrow \ell \leq \lim_{x\to x_0}f(x) \leq \ell \Rightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$ , δηλαδή με χρήση του θεωρήματος 2, αν αυτό νόμιζεις γιατί επαναλαμβάνω ότι σε αυτή την περίπτωση πρέπει να ξέρουμε ότι υπάρχει το όριο της f. Η απόδειξη δεν προυποθέτει την ύπαρξη του ορίου της f(αλλά μόνο των h,g) , βασίζεται στον αυστηρό ορισμό του ορίου, γιαυτό και δεν υπάρχει στο σχολικό

Demlogic · 2011-11-27T10:17:33+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Απλά διάβασε το κριτήριο παρεμβολής και τις υποθέσεις του στο σχολικό σελ. 169 και το θεώρημα 2 σελ. 166 και θα καταλάβεις την διαφορά. Η απόδειξη του κριτηρίου παρεμβολής δεν είναι $h(x) \leq f(x) \leq g(x) \Rightarrow \ell \leq \lim_{x\to x_0}f(x) \leq \ell \Rightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$ , δηλαδή με χρήση του θεωρήματος 2, αν αυτό νόμιζεις γιατί επαναλαμβάνω ότι σε αυτή την περίπτωση πρέπει να ξέρουμε ότι υπάρχει το όριο της f. Η απόδειξη δεν προυποθέτει την ύπαρξη του ορίου της f(αλλά μόνο των h,g) , βασίζεται στον αυστηρό ορισμό του ορίου, γιαυτό και δεν υπάρχει στο σχολικό

ωραια, κατι τελευταιο...
δε μπορούσαμε να υπολογίσουμε το ενα απο τα δυο με τον τρόπο που έδειξες και μετα να πουμε

lim(f(x)-g(x)=0 και lim(f(x))=0
θετω f(x)-g(x)=h(x) => g(x)=f(x)-h(x) =>limg(x)=0-0=0

;
αφου βγαινει πιο εύκολα; (τονιζω με την προϋποθεση οτι υπολογίσαμε το πρώτο όριο με ΚΠ)

Rempeskes · 2011-11-27T11:50:05+0200

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
ωραια, κατι τελευταιο...
δε μπορούσαμε να υπολογίσουμε το ενα απο τα δυο με τον τρόπο που έδειξες και μετα να πουμε

lim(f(x)-g(x)=0 και lim(f(x))=0
θετω f(x)-g(x)=h(x) => g(x)=f(x)-h(x) =>limg(x)=0-0=0

;
αφου βγαινει πιο εύκολα; (τονιζω με την προϋποθεση οτι υπολογίσαμε το πρώτο όριο με ΚΠ)

ναι

turistas · 2011-11-28T15:04:54+0200

ποια ειναι η παραγουσα της f(x)=a/e^χ;

lowbaper92 · 2011-11-28T15:11:56+0200

Αρχική Δημοσίευση από turistas:
Ποια ειναι η παραγουσα της χ+1/χ+4,x>-4;

$\int \frac{x+1}{x+4}dx=\int \frac{x+4-3}{x+4}dx=\int \left(1-\frac{3}{x+4} \right)dx=x-3ln\left(x+4 \right)+c$

turistas · 2011-11-28T15:14:32+0200

θενκς

rebel · 2011-11-28T19:58:09+0200

Αρχική Δημοσίευση από turistas:
ποια ειναι η παραγουσα της f(x)=a/e^χ;

Αφού $\left(e^{-x}\right)^\prime=-e^{-x}$ ποια συνάρτηση πρέπει να παραγωγίσεις για να σου δώσει την f ;

OoOkoβοldOoO · 2011-11-30T23:25:26+0200

Παιδιά δες τε λίγο. Από αυτήν: f'(x)=2f(x)+3 πως θα βρω την f;

rebel · 2011-11-30T23:34:04+0200

soras7 · 2011-11-30T23:36:21+0200

Αρχική Δημοσίευση από OoOkoβοldOoO:
Παιδιά δες τε λίγο. Από αυτήν: f'(x)=2f(x)+3 πως θα βρω την f;

Φερε το 2f(χ) απο την αλλη και πολλαλαπλασιασε με e^(-2x).Και μετα ολοκληρωσε

OoOkoβοldOoO · 2011-11-30T23:36:55+0200

ευχαριστώ

diaryofdreams · 2011-12-01T17:14:07+0200

haha η ιδια με - μπροστα

+ c

Tasos28 · 2011-12-01T18:25:49+0200

Παιδια δειτε λιγο μια ασκηση , η οποια μου εχει φαει αρκετη ωρα αν και μαλλον θα ναι κατι απλο, γιατι δε μου γεμιζει ιδιαιτερα το ματι

Λοιπόν:
Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

(x-1)^2*f(x-3)<= x-10. VxeIR

Nα βρεθεί το limf(x) για x -> -2.

Προφανώς στην αρχή γίνεται μια απλή αλλαγή μεταβλητής αλλά έχω κολλήσει απο κει και πέρα εδώ και αρκετή ωρα.

Υ.Γ. Sorry για τον δυσανάγνωστο τρόπο γραφής αλλά δεν ξέρω να χρησιμοποιώ Latex.

rebel · 2011-12-01T19:00:41+0200

Με αλλαγή μεταβλητής παίρνουμε την $(x+2)^2f(x)\leq x-7\,\,(1)$ . Είναι $\lim_{x\to -2}(x-7)=-9<0$ οπότε $f(x)<0$ για χ κοντά στο -2. Άρα έχουμε
$(1) \Rightarrow \frac{(x+2)^2}{ x-7} \leq \frac{1}{f(x)}<0$ με $\lim_{x\to -2}\frac{(x+2)^2}{ x-7}=0$ , άρα από κριτήριο παρεμβολής:
$\lim_{x\to -2}\frac{1}{f(x)}=0$ και αφού $f(x)<0$ για χ κοντά στο -2 τελικά $\lim_{x\to -2}f(x)=-\infty$

Tasos28 · 2011-12-01T19:23:22+0200

Ευχαριστω πολυ για τη λυση, ειχα ψιλιαστει οτι δε θα ναι πραγματικος το οριο, αλλα υποτιθεται το διαγωνισμα αφορουσε μονο ορια που ειναι πραγματικοι αριθμοι( η τουλαχιστον αυτη την προδιαθεση ειχα εγω) και δεν κυνηγησα τη μορφη 1/f(x).
Thanks again.

rebel · 2011-12-01T19:34:21+0200

Τίποτα. Θα μπορούσα να γράψω $f(x) \leq \frac{x-7}{(x+2)^2}$ oπότε $f(x)\to -\infty$ αφού $\frac{x-7}{(x+2)^2}\to -\infty$ αλλά επειδή δεν είναι αποδεδειγμένη αυτή η εφαρμογή στο σχολικό( αν και είναι απλή ) προτίμησα να βρω το όριο της $1/f$ με κριτήριο παρεμβολής και από κει το όριο της f.

giorgos_dr · 2011-12-02T14:01:46+0200

καλησπερα!Αν μπορει ας βοηθησει καποιος σε μια ασκηση ιδιαιτερα στο δευτερο ερωτημα

ευχαριστω

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος