Ας με βοηθήσει και εμένα κάποιος!
N.δ.ο. δεν υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε f(1-ημχ) + f(1-συνχ)= χ^2 +1
Ευχαριστώ!
Αν κατάλαβα καλά εννοείς να δειχθεί ότι δεν υπάρχει καμία συνάρτηση f, όποιο πεδίο ορισμού και να έχει υποσύνολο του R, έτσι ώστε να ισχύει f(1-ημx)+f(1-συνx)=x^2+1 αρκεί να ορίζονται οι σύνθετες συναρτήσεις g1(x)=f(1-ημχ) και g2(x)=f(1-συνx).
Αν η εκφώνηση είναι αυτή τότε για f(x)=x και για x=0 η ισότητα ικανοποιείται.
Θα την ψάξω λίγο ακόμα.
Aν οι συναρτησεις f και g οριζονται στο R, τοτε να αποδειχθει οτι: f(x^2)+g(x^2)>0 οταν για καθε χεR ειναι (fog)(x)=x^2 και (gof)(x)=x^2
Γνωρίζουμε Df=Dg=R και
f(g(x))=x^2 για κάθε x ανήκει R (1)
g(f(x))=x^2 για κάθε x ανήκει R (2)
Δηλαδή γνωρίζουμε ότι Dfog=Dgof=R το οποίο προκύπτει έτσι κι αλλιώς εύκολα αφού Df=Dg=R
Από την εξίσωση (2) προκύπτει αμέσως ότι f(g(f(x)))=f(x^2) για κάθε x ανήκει R. Τοποθετώντας στην εξίσωση (1) όπου χ to f(x) προκύπτει f(g(f(x)))=(f(x))^2 για κάθε x ανήκει R. Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις, παρατηρούμε ότι έχουν τα ίδια πρώτα μέλη, επομένως τα δεύτερα μέλη των δύο εξισώσεων είναι ίσα, δηλαδή f(x^2)=(f(x))^2>=0 για κάθε x ανήκει R.
Από την εξίσωση (1) προκύπτει αμέσως ότι g(f(g(x)))=g(x^2) για κάθε x ανήκει R. Τοποθετώντας στην εξίσωση (2) όπου χ to g(x) προκύπτει g(f(g(x)))=(g(x))^2 για κάθε x ανήκει R. Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις, παρατηρούμε ότι έχουν τα ίδια πρώτα μέλη, επομένως τα δεύτερα μέλη των δύο εξισώσεων είναι ίσα, δηλαδή g(x^2)=(g(x))^2>=0 για κάθε x ανήκει R.
Άρα ισχύει h(x)=f(x^2)+g(x^2)=(f(x))^2+(g(x))^2>=0 για κάθε x ανήκει R.
Η γνήσια ανισότητα στην εκφώνηση είναι λανθασμένη. Θεώρησε για παράδειγμα τις συναρτήσεις f(x)=x και g(x)=x^2 με πεδίο ορισμού το R. Οι συναρτήσεις fog και gof έχουν πεδίο ορισμού το R και ισχύει:
(fog)(x)=f(g(x))=f(x^2)=x^2 για κάθε x ανήκει R
(gof)(x)=g(f(x))=g(x)=x^2 για κάθε x ανήκει R
Δηλαδή οι συναρτήσεις f(x)=x και g(x)=x^2 ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της εκφώνσης. Έχουμε:
h(x)=f(x^2)+g(x^2)=x^2+(x^2)^2=x^2+x^4 => h(x)=x^2(x^2+1) για κάθε x ανήκει R
Παρατηρούμε ότι h(x)>0 για κάθε χ ανήκει R* και h(0)=0. Άρα h(x)>=0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η αποδεικτέα σχέση είναι f(x^2)+g(x^2)>=0 για κάθε x ανήκει R και όχι f(x^2)+g(x^2)>0.
Αν για καθε συναρτηση g στο R ισχυει fog=gof, να δειχθει οτι ειναι f(x)=x για καθε χεR
Για κάθε συνάρτηση g ορισμένη στο Dg=R ισχύει (fog)(x)=(gof)(x)
Η fog ορίζεται όταν x ανήκει Dg=R και g(x) ανήκει Df. Η gof ορίζεται όταν x ανήκει Df και f(x) ανήκει Dg=R. Συνεπώς για να ορίζονται οι fog και gof πρέπει να ισχύουν x ανήκει Df και g(x) ανήκει Df.
Πρέπει συνεπώς για κάθε συνάρτηση g ορισμένη στο R να ισχύει f(g(x))=g(f(x)) όπου x, g(x) ανήκουν Df. Το πεδίο ορισμού Df της f δεν δίνεται ξεκάθαρα από την εκφώνηση αλλά επειδή ζητείται να βρεθεί η f όπου x ανήκει R, γίνεται η παραδοχή ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Df=R.
Έτσι η εξίσωση f(g(x))=g(f(x)) ισχύει για κάθε x ανήκει R.
Εφόσον η εξίσωση f(g(x))=g(f(x)) ισχύει για κάθε συνάρτηση g και για κάθε x ανήκει R, τότε θα ισχύει και για την σταθερή συνάρτηση g(x)=y όπου y ανήκει R πραγματικός αριθμός ανεξάρτητος του x.
Αντικαθιστώντας στην f(g(x))=g(f(x)) προκύπτει f(y)=y όπου y ανήκει R. Άρα f(x)=x για κάθε x ανήκει R.
Ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία για f(x)=x, x ανήκει R έχουμε:
(fog)(x)=f(g(x))=g(x), x ανήκει R
(gof)(x)=g(f(x))=g(x), x ανήκει R
Άρα (fog)(x)=(gof)(x) για κάθε x ανήκει R και για οποιαδήποτε ορισμένη στο R συνάρτηση g
Συνεπώς f(x)=x, x ανήκει R
