Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

qwerty111 · 25-04-11

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Ωπ, φάουλ. Μπορεί και να είσαι σωστός, αλλά δεν σπάμε ΠΟΤΕ όρια εάν δεν έχουμε πρώτα βεβαιωθεί ότι υπάρχουν και είναι πραγματικά!

Που σημαίνει ότι είναι "λάθος" να γράψεις εξ' αρχής:
$\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\left(x\cdot x\ln{x}\right)=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\lim_{x\rightarrow 0}x\ln{x}=\ldots$

Θα πρέπει πρώτα να γράψεις ότι:
$\lim_{x\rightarrow 0}x\ln{x}=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)\in\mathbb{R}$ , λόγω συνέχειας
$\lim_{x\rightarrow 0}x=0$

Και μετά λες ότι επειδή τα επιμέρους όρια υπάρχουν και είναι πραγματικά τότε λες και ότι:
$\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\left(x\cdot x\ln{x}\right)=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\lim_{x\rightarrow 0}x\ln{x}=\frac{1}{2}\cdot 0 \cdot f(0)=0$

Θεωρείται λάθος αν σπάσω ένα όριο σε άλλα επιμέρους κατευθείαν έχοντας υπολογίσει πρώτα με το μυαλό μου όμως ότι υπάρχουν; Πρέπει υποχρεωτικά να φαίνεται αυτή η σκέψη στην κόλλα;

Γιώργος · 25-04-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Θεωρείται λάθος αν σπάσω ένα όριο σε άλλα επιμέρους κατευθείαν έχοντας υπολογίσει πρώτα με το μυαλό μου όμως ότι υπάρχουν; Πρέπει υποχρεωτικά να φαίνεται αυτή η σκέψη στην κόλλα;

Ε, αυτά που θα κάνεις "με το μυαλό σου" γράψτα κι όλας. Δεν βλάπτει.

Κατά τα άλλα, όλα είναι στην κρίση του διορθωτή. Εάν πρώτα δείξεις ότι υπάρχουν και είναι πραγματικά και μετά τα σπάσεις, είσαι καλυμμένος 100%. Από 'κει και πέρα ... ρισκάρεις.

babisgr · 25-04-11

Αν $f:R->R$ και αντίστορφή της ${f}^{-1}:R->R$ παραγωγίσιμες και οι δύο τότε υπάρχει ${x}_{o}\epsilon R$ ώστε ${f}^{-1}({x}_{0})=0$ , λάθος δεν είναι;

και κάτι ακόμα:

έχουμε δυο μιγαδικούς z,w και ισχύουν: η εικόνα του z ανήκει στην (ε): $(z+\bar{z})x + \frac{z-\bar{z}}{i} y = 2$ νδο το μέτρο του z είναι μονάδα.. (αυτό το έδειξα)
Αν ισχύει : $z\bar{w}+\bar{z}w=4$ νδο το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών w που απέχουν από τις εικόνες του z, απόσταση 1, είναι κύκλος κέντρου (0,0) και ακτίνας r=2..

Μπορώ να πάρω τη σχέση $z\bar{w}+\bar{z}w=4$ και να βάλω μέτρα; Αν βάλω μέτρα βγαίνει αυτό που ζητάει.. αλλιώς δε μπορώ να βγάλω κάτι.. (με μπερδεύει και αυτό που λέει για το ότι απέχει απόσταση μονάδα από τις εικόνες του z)

vassilis498 · 25-04-11

Το πρώτο είναι σωστό, εφόσον σου λέει ότι το πεδίο ορισμού της f ( δηλαδή το σύνολο τιμών της αντίστροφης) είναι το R, τότε εκτός των άλλων η αντίστροφη θα παίρνει και την τιμή 0.

Για το δεύτερο.
Καταρχάς ξέρεις ήδη ότι |z|=1
επίσης ότι $\bar{z}w+z\bar{w}=4$
στην ουσία σου λέει ότι για τους μιγαδικούς w για τους οποίους ισχύει ότι |z-w|=1, να αποδείξεις ότι ισχύει |w|=2
ξεκινάς από το πρώτο, και εκμεταλλευόμενος τις σχέσεις που έχεις πας στο δεύτερο. Δοκίμασε να τετραγωνίσεις.

ΥΓ: δεν ξέρω αν βγαίνει κάτι αν κάνεις αυτό που λες, δεν το δοκίμασα, αλλά γενικά ναι, σε μια σχέση μπορείς να βάλεις μέτρα. Πρόσεξε όμως, μπορείς μόνο να βάλεις, όχι να βγάλεις.

rebel · 25 Απριλίου 2011

Αποσύρω γιατί απαντήθηκε

babisgr · 26-04-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
Το πρώτο είναι σωστό, εφόσον σου λέει ότι το πεδίο ορισμού της f ( δηλαδή το σύνολο τιμών της αντίστροφης) είναι το R, τότε εκτός των άλλων η αντίστροφη θα παίρνει και την τιμή 0.

Σόρρυ, ήθελα να γράψω για τη παράγωγο της αντιστρόφου...

δηλαδή αυτό:

Αν $f:R->R$ και αντίστορφή της ${f}^{-1}:R->R$ παραγωγίσιμες και οι δύο τότε υπάρχει ${x}_{o}\epsilon R$ ώστε $({f}^{-1})'({x}_{0})=0$
Αυτό τί είναι;

Ευχαριστώ!

rebel · 26-04-11

Δεν ισχύει κατ'ανάγκη. Π.χ. έστω $f(x)=x, \ x\in \mathbb{R}$ . Tότε $f^{-1}(x)=x , \ x\in \mathbb{R}$ και
$\left(f^{-1}\right)'(x)=1\neq 0, \ \forall x\in \mathbb{R}$ και άπειρα άλλα παραδείγματα... Μήπως ζητούσε κάτι άλλο;

babisgr · 26-04-11

Όχι αυτό ζητάει, μπορεί να έχει κανα ορθογραφικό.. :hmm:

Αλλά δεν έχουν και καμιά λογική τα δεδομένα με το ζητούμενο.. εκτός απο τη παραγωγιμότητα

Ευχαριστώ!

babisgr · 26-04-11

Α)Δίνεται $g(x)=x{ln}^{2}x-\int_{1}^{x}lntdt-1 , x>0$ νδο η g(x)=0 έχει μοναδική ρίζα στο [1,e].

Β) Δίνεται

$F(x)=\begin{cases} \int_{f(1)}^{f(x)}(lnt/lnx)dt & \text{ if } x>1 \\ ln(f(1)) & \text{ if } x=1 \end{cases}$ και f'(x)>0 , f(0)=0 και $\lim_{x->1}(xf'(x))=1$ νδο:
α) η F συνεχής στο [1,συν απειρο)

β) Αν F(e)=f(1) και ln(f(e))=1 νδο f(1)=1

Το πρώτο και το τελευταίο ερώτημα δε το έλυσα (τα bold)

tebelis13 · 26-04-11

Αρχική Δημοσίευση από babisgr:
Α)Δίνεται $g(x)=x{ln}^{2}x-\int_{1}^{x}lntdt-1 , x>0$ νδο η g(x)=0 έχει μοναδική ρίζα στο [1,e].

Β) Δίνεται

$F(x)=\begin{cases} \int_{f(1)}^{f(x)}(lnt/lnx)dt & \text{ if } x>1 \\ ln(f(1)) & \text{ if } x=1 \end{cases}$ και f'(x)>0 , f(0)=0 και $\lim_{x->1}(xf'(x))=1$ νδο:
α) η F συνεχής στο [1,συν απειρο)

β) Αν F(e)=f(1) και ln(f(e))=1 νδο f(1)=1

Το πρώτο και το τελευταίο ερώτημα δε το έλυσα (τα bold)

A) $\int_{1}^{x}lntdt=....=xlnx-x+1 \Rightarrow g(x)=xln^2(x)-xlnx+x-2 g(1)=-1<0 g(e)=e-2>0 g'(x)=.....=ln^2x+lnx$
στο [1,e] -> g γν. αύξουσα άρα με bolzano σε αυτό το διάστημα το ξ (όπως θές πέστο

) μοναδικό
$B) \lim_{x->1}F(x)=......=lnf(1)=F(1)$ άρα η F συνεχής στο χ=1 οπότε και στο διάστημα που θές.
$F(e)=\int_{f(1)}^{f(e)}(t)'lntdt=f(1) \Leftrightarrow \left[tlnt \right]-\int_{f(1)}^{f(e)}1dt=f(1) \Leftrightarrow f(e)-f(1)lnf(1)-f(e)+f(1)=f(1)\Leftrightarrow f(1)lnf(1)=0$ $f(1)\neq 0$ εφόσον η f 1-1 και f(0)=0 δεν μπορεί να είναι και f(1)=0 Οπότε : $\Rightarrow lnf(1)=0 \Leftrightarrow lnf(1)=ln1 \Leftrightarrow f(1)=1$

Σόρρυ για την συντομία αλλά βλέπω και champions

Aν δεν καταλαβαίνεις κάτι πές μου.

babisgr · 27-04-11

Τελευταία άσκηση που δίνω, τις άλλες τις έλυσα..

f:[0,3]->R παρ/μη με f' γν.μονότονη στο π.ο. της.
α) αν είναι f(1)+f(2)<f(0)+f(3) νδο η f είναι κυρτή στο [0,3] (το έδειξα)
β) αν είναι f'(0)=0 , f'(2)=4 και η εφαπτομένη στο Α(2,f(2)) τέμνει την εφαπτομένη στο Γ(0,f(0)) στο σημείο B(1,f(0)) νδο f(2)-f(0)=4 και ότι f(1)>f(0) (το έδειξα)

γ) αν $\int_{0}^{2}f(x)dx=\frac{8}{3}$ και το εμβαδό μεταξύ της γραφ. παραστ. της f και των εφαπτομένων στα Γ και Α είναι 2/3 νδο f(0)=0

Δε μπορώ να δείξω το (γ)

rebel · 27 Απριλίου 2011

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο Γ(0,f(0)) είναι $y=f(0)$ ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης στο Β(2,f(2)) είναι
$y-f(2)=4(x-2)$ .

Επειδή η f είναι κυρτή στο [0,1] η εφαπτομένη στο Γ θα βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της f για κάθε $x\in[0,1]$ , δηλαδή $f(x)\geq f(0) \forall x \in [0,1]$ .
Όμοια η f είναι κυρτή στο [1,2] οπότε για την εφαπτομένη στο Β θα ισχύει $f(x)\geq f(2)+4(x-2) \forall x \in [1,2]$ .
To εμβαδόν του χωρίου (ΓΒΑ) επομένως θα είναι

$E_{\Gamma B A}=\int_0^1 \! f(x)-f(0) \, \mathrm{d}x+\int_1^2 \! f(x)-f(2)-4(x-2) \, \mathrm{d}x=$
$= \int_0^2 \! f(x) \, \mathrm{d}x-f(0)-f(2)+2=\frac{8}{3}-f(0)-4-f(0)+2=\frac{2}{3}-2f(0)$

$E_{\Gamma B A}=\frac{2}{3}\Rightarrow f(0)=0$

Y.Γ. Το σχήμα είναι προσεγγιστικό

13diagoras · 30-04-11

Αν εχουμε της εξης ισοτητα : f(x) + e^(f(x)) = x ,τοτε μπορουμε να βγαλουμε το συμπερασμα οτι η f ειναι παραγωγισιμη?
Οχι ,ετσι?

vassilis498 · 30-04-11

δες συλλογή σελίδα 89 ίσως σου λυθεί η απορία (λινκ δεν μπορώ να βάλω γιατί είναι στα Ελληνικά)

babisgr · 30-04-11

1)Έστω f παραγωγίσιμη στο [0,+απειρο), f ' γν. φθινουσα στο π.ο. , f ' (0)=0 και f(x)>0
Έστω
$F(x)=\begin{cases} \frac{x}{\int_{0}^{x}f(t)dt} & \text{ if } x>0 \\ \frac{1}{f(0)} & \text{ if } x=0 \end{cases}$

a)νδο για x>0 είναι $F(x)<\frac{1}{f(x)}$
b) η F είναι γν. αύξουσα

Για το (α) λέω : $f(x)>0 \Leftrightarrow \frac{1}{f(x)}<0$ άρα η ζητούμενη σχέση γίνεται F(x)<0.
Επιπλέον για χ>0 είναι $\int_{0}^{x}f(t)dt>0 \Leftrightarrow \frac{1}{\int_{0}^{x}f(t)dt}<0 \Leftrightarrow \frac{x}{\int_{0}^{x}f(t)dt}<0 \Leftrightarrow F(x)<0$
Αλλιώς πως να το δείξω; (κάτι με το ότι είναι κοίλη θα βγαίνει αλλά δε το βρίσκω..)

2)Να βρεθεί ο x θετικός ακέραιος αν ισχύει: [(1-i) / i ]^x = 16
κάνοντας πράξεις προκύπτει: [ - (1+i) ] ^ x =16, μετά τί κάνω;

tebelis13 · 01-05-11

Αρχική Δημοσίευση από babisgr:
1)Έστω f παραγωγίσιμη στο [0,+απειρο), f ' γν. φθινουσα στο π.ο. , f ' (0)=0 και f(x)>0
Έστω
$F(x)=\begin{cases} \frac{x}{\int_{0}^{x}f(t)dt} & \text{ if } x>0 \\ \frac{1}{f(0)} & \text{ if } x=0 \end{cases}$

a)νδο για x>0 είναι $F(x)<\frac{1}{f(x)}$
b) η F είναι γν. αύξουσα

Για το (α) λέω : $f(x)>0 \Leftrightarrow \frac{1}{f(x)}<0$ άρα η ζητούμενη σχέση γίνεται F(x)<0.
Επιπλέον για χ>0 είναι $\int_{0}^{x}f(t)dt>0 \Leftrightarrow \frac{1}{\int_{0}^{x}f(t)dt}<0 \Leftrightarrow \frac{x}{\int_{0}^{x}f(t)dt}<0 \Leftrightarrow F(x)<0$
Αλλιώς πως να το δείξω; (κάτι με το ότι είναι κοίλη θα βγαίνει αλλά δε το βρίσκω..)

2)Να βρεθεί ο x θετικός ακέραιος αν ισχύει: [(1-i) / i ]^x = 16
κάνοντας πράξεις προκύπτει: [ - (1+i) ] ^ x =16, μετά τί κάνω;

Πρέπει ουσιαστικά ν.δ.ο $\frac{x}{\int_{0}^{x}f(t)dt}<\frac{1}{f(x)}\Rightarrow xf(x)-\int_{0}^{x}f(t)dt<0$
έστω $h(x)=xf(x)-\int_{0}^{x}f(t)dt h'(x)=xf'(x)$
$\gamma \iota \alpha$ $x>0 \rightarrow f'(x)<f'(0) \rightarrow f'(x)<0$ αρα $\Rightarrow h'(x)<0$
$\gamma \iota \alpha$ $x>0 \rightarrow h(x)<h(0) \Rightarrow h(x)<0$ $o\epsilon \delta$
β)έστω $F'(x)>0 \Rightarrow .....$ και θα καταλήξεις στην αρχική που ισχύει

Αυτό πολύ ωραίο ερωτηματάκι!
$ (\frac{1-i}{i})^x=(-1-i)^x=16 \Rightarrow |-1-i|^x=16 \Rightarrow (\sqrt{2})^x=16 \Rightarrow {2}^{x/2}=2^4 \Rightarrow x/2=4 \Rightarrow x=8$

Υ.Γ.Μπάμπη ωραίες ασκήσεις σου δίνει ο καθηγητής σου.

babisgr · 01-05-11

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Πρέπει ουσιαστικά ν.δ.ο $\frac{x}{\int_{0}^{x}f(t)dt}<\frac{1}{f(x)}\Rightarrow xf(x)-\int_{0}^{x}f(t)dt<0$
έστω $h(x)=xf(x)-\int_{0}^{x}f(t)dt h'(x)=xf'(x)$
$\gamma \iota \alpha$ $x>0 \rightarrow f'(x)<f'(0) \rightarrow f'(x)<0$ αρα $\Rightarrow h'(x)<0$
$\gamma \iota \alpha$ $x>0 \rightarrow h(x)<h(0) \Rightarrow h(x)<0$ $o\epsilon \delta$
β)έστω $F'(x)>0 \Rightarrow .....$ και θα καταλήξεις στην αρχική που ισχύει

Αυτό πολύ ωραίο ερωτηματάκι!
$ (\frac{1-i}{i})^x=(-1-i)^x=16 \Rightarrow |-1-i|^x=16 \Rightarrow (\sqrt{2})^x=16 \Rightarrow {2}^{x/2}=2^4 \Rightarrow x/2=4 \Rightarrow x=8$

Υ.Γ.Μπάμπη ωραίες ασκήσεις σου δίνει ο καθηγητής σου.

Ωραίες δίνει, αλλά και πάρα πολλές !!

10 το minimum με προθεσμία 2-3 μέρες..

Ευχαριστώ για τη βοήθεια!

Dmitsos · 1 Μαΐου 2011

Αρχική Δημοσίευση από babisgr:
1)Έστω f παραγωγίσιμη στο [0,+απειρο), f ' γν. φθινουσα στο π.ο. , f ' (0)=0 και f(x)>0
Έστω
$F(x)=\begin{cases} \frac{x}{\int_{0}^{x}f(t)dt} & \text{ if } x>0 \\ \frac{1}{f(0)} & \text{ if } x=0 \end{cases}$

a)νδο για x>0 είναι $F(x)<\frac{1}{f(x)}$
b) η F είναι γν. αύξουσα

Πρώτο post εδώ σαν νέο μέλος (Παρ' όλο που έχω γεράσει εδώ στο ischool, o Djimmakos είμαι :p)

Να δώσω μια λύση για το α ερώτημα γιατί εμείς σα μαθητές και σαν το μέλλον της Ελλάδα συχνά παρακινούμαστε να χρησιμοποιούμε το μυαλό μας και να ξεφεύγουμε από τη μεθοδολογία. Πάμε;

Θεωρώ τη συνάρτηση $G(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ με χ>0
Η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,χ], άρα η G είναι συνεχής στο [0,χ] και παραγωγίσιμη στο (0,χ) με $G'(x)=f(x) >0$ , άρα η G είναι γνησίως αύξουσα.
Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ξ στο (0,χ) (το χ τυχαία επιλογή είπαμε, ε

τέτοιο ώστε
$G'(\xi )=\frac{G(x)-G(0)}{x-0}\Leftrightarrow f(\xi )=\frac{G(x)}{x}$

Ισχύει (η f είναι γνησίως φθίνουσα)
$\xi < x\Leftrightarrow f(\xi )>f(x)\Leftrightarrow \frac{G(x)}{x}>f(x)\Leftrightarrow \frac{x}{G(x)}<\frac{1}{f(x)}\Leftrightarrow F(x)<\frac{1}{f(x)}$
(Eίναι όλα θετικά, γι' αυτό όταν αντιστρέφουμε αλλάζει η φορά)
Τώρα θα μου πείτε ότι δεν υπάρχει πιο καθοδηγούμενη μεθοδολογία απ' αυτό, αλλά τουλάχιστον ένα άσχετο ΘΜΤ πάντα "γοητεύει"
Για το δεύτερο απλώς παραγωγίζουμε.

Καλή μας επιτυχία!!

Nα βάλω και μια δεύτερη λύση για τους μιγαδικούς, παρ' όλο που μου άρεσε αυτή με το μέτρο που είδα πιο πάνω.

$(\frac{1-i}{i})^x=16\Leftrightarrow (-i-1)^x=16\Rightarrow (1+i)^{2x}=256\Leftrightarrow (2i)^x=256\Leftrightarrow 2^x(i)^x=256$
Για κάθε περιττό χ θα περισσεύει ένα i, οπότε δε μας κάνει, ευχαριστούμε.
Για χ=0,1,2, δε μας κάνει τίποτα.
Αρα το χ ειναι αρτιος μεγαλύτερος του 2.
Οπότε το i^x θα μας κάνει 1.
Οπότε 2^χ=256 => χ=8. Κάνουμε και μια επαλήθευση και είμαστε just!!

babisgr · 01-05-11

Μαγκιαα!

odoiporos · 03-05-11

Αρχική Δημοσίευση από babisgr:
1)Έστω f παραγωγίσιμη στο [0,+απειρο), f ' γν. φθινουσα στο π.ο. , f ' (0)=0 και f(x)>0
Έστω
$F(x)=\begin{cases} \frac{x}{\int_{0}^{x}f(t)dt} & \text{ if } x>0 \\ \frac{1}{f(0)} & \text{ if } x=0 \end{cases}$

a)νδο για x>0 είναι $F(x)<\frac{1}{f(x)}$
b) η F είναι γν. αύξουσα

Αρχικά καλώς σας βρήκα! Γράφτηκα στο forum για να απαντήσω εδώ.
Είναι καλό πριν ακολουθήσουμε τον τυφλοσούρτη και πριν κάνουμε αλγεβρικές πράξεις, να έχουμε μία εικόνα του τι χειριζόμαστε...
Στην προκειμένη η εκφώνηση μιλάει για μία συνάρτηση στο [0,+οο) που είναι κοίλη (αφού f' γν. φθίνουσα) και γν. φθίνουσα (αφού f'(x) < f'(0)=0 για κάθε χ > 0). Φανταστείτε πώς μπορεί να "μοιάζει" μία τέτοια συνάρτηση. Φτιάξτε ένα γράφημά της (don't skip this step)... Ωραία. Τώρα η εκφώνηση συνεχίζει και λέει ότι η f(x)>0. Προσπαθήσετε να ενσωματώσετε και αυτόν τον περιορισμό στο γράφημά σας. Something is wrong? Yeap! Θα διαπιστώσετε ότι τέτοια συνάρτηση f δεν υπάρχει!!
Γιατί; Ας το δούμε λίγο πιο αυστηρά.
Έστω ότι υπάρχει. Τότε f(1) > 0 (αφού f(x) > 0) και f'(1) < 0.
Φέρτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο (1,f(1)). Η εφαπτομένη θα έχει αρνητική κλίση, άρα θα τέμνει τον άξονα xx' για κάποιο $x_0>1$ . Για κάθε $x>x_0$ η εφαπτομένη θα βρίσκεται κάτω από τον άξονα xx'. Επειδή η f είναι κοίλη, η εφαπτομένη θα βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f (1ο σχόλιο σελ. 274 του σχολικού). Άρα f(x)<0 για κάθε $x>x_0$ . Άτοπο.

Εναλλακτικά, χωρίς χρήση του σχολίου: Υπολογίζουμε το $x_0$ . Θα είναι το $x_0 = 1-\frac{f(1)}{f'(1)}$ . Κάνουμε Θ.Μ.Τ. στο $[1,x_0]$ . Θα προκύψει ενδιάμεσο σημείο ξ με $f'(\xi)=f'(1)\cdot\left(1-\frac{f(x_0)}{f(1)}\right)>f'(1)$ (για να βγάλετε την τελευταία ανισότητα θυμηθείτε ότι f'(1)<0 και f(x)>0). Άτοπο αφού ξ>1 και η f' είναι γν. φθίνουσα.

Καλή συνέχεια και καλή επιτυχία σε όλους σας!!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος