Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[kvgreco]

Αυτο ειναι απλη γεωμετρικη ερμηνεια. Δεν συνιστα μαθηματικη αποδειξη.
Παντως αμα μας πει 'θεωρειστε οτι η αντιστροφη μιας συνεχους συναρτησης ειναι και αυτη συνεχης' τοτε πιστευω λυνεται το προβλημα.
Η αντιστροφη μιας παραγωγισιμης συναρτησης ειναι και αυτη παραγωγισιμη για καθε χο στο πεδιο ορισμου της, αρκει να μην μηδενιζεται η f' στο χο.

Και το θεώρημα της μέσης τιμής στο βιβλίο γεωμετρικά το ερμηνεύει.Το ζητούμενο είναι αν ισχύει ή όχι.
Πιστεύεις ότι η γεωμετρία δεν ανήκει στα μαθηματικά?
Δηλαδη τι άλλη απόδειξή θέλεις γιά να πειστείς ότι και η αντίστροφη είναι συνεχής?
Φυσικά και αποτελεί αυτό που έγραψα μαθηματική απόδειξη.Θα έλεγα μάλιστα ότι ενώ π.χ στο ΘΜΤ το βιβλίο δίνει τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος, εγώ εδώ γιά το συγκεκριμένο που μιλάμε, έδωσα την γεωμετρική απόδειξη.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Ρε παιδιά κοντεύω να τρελαθώ!!
Όταν το όριο μιας συναρτησης υπαρχει είναι κατα αναγκη πραγματικός?Οταν λέμε δηλαδη οτι το οριο δν υπαρχει τοτε αυτο ειναι απειρο?(προσωπικα αμφιβαλλω)Εσεις τι λετε?

Όταν λέμε ότι το όριο μιας συνάρτησης υπάρχει σημαίνει ότι είναι πραγματικός αριθμός ή +- άπειρο. Όχι απαραίτητα πραγματικός αριθμός.

Αν δεν υπάρχει πάει να πει ότι δεν υφίσταται η έννοια του ορίου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[miv]

Το να είναι πραγματικός αριθμός είναι δεδομένο μόνο όταν στο χο τύχει να είναι συνεχής, γιατί τότε θα είναι ίσο με φ(χο), το οποίο είναι πραγματικός ως τιμή πραγμ. συνάρτησης. Διαφορετικά δεν είναι απαραίτητο. Σκέψου, για παράδειγμα, το όριο της lnx στο 0+. Υπάρχει και ΔΕΝ είναι πραγματικός αριθμός.
Τώρα, αν δεν υπάρχει, είτε θα ορίζεται εκατέρωθεν του χο και θα αλλάζουν τα πλευρικά, είτε δεν θα υπάρχει διάστημα κοντά στο χο, στο οποίο η f να ορίζεται.
Αν ξέχασα περίπτωση, να συμπληρωθεί.

Serenity, το μπερδεύεις με το όριο του λόγου μεταβολής μιας συνάρτησης f, που είναι η παράγωγος σε ένα σημείο χο, αν υπάρχει το όριο και είναι πραγματικός. Αν υπάρχει και δεν είναι πραγματικός, δεν παραγωγίζεται η f στο χο (δέχεται κατακόρυφη εφαπτομένη, όμως, αλλά είναι εκτός ύλης, στο θεώρημα της κυρτότητας το "δέχεται εφαπτομένη" για εμας σημαίνει αποκλειστικά "είναι παραγωγίσιμη"). Επίσης δεν παραγωγίζεται αν δεν υπάρχει το όριο, αυτό είναι ευνόητο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[variax]

Μάλλον κακή διατύπωση κάνατε?

Η διατύπωση διορθώθηκε

Αν μιά συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη τότε είναι και συνεχής.Άρα τότε θα είναι και συνεχής γραμμή το συμμετρικό της γράφημα ως προς την ευθεία y=x.Έτσι προκύπτει απλά και εποπτικά ότι και η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής.

Μακάρι όλη η Ανάλυση να αντιμετωπίζονταν μόνο γεωμετρικά και οι αποδείξεις των θεωρημάτων και των προτάσεων να γίνονταν με τη χρήση της γεωμετρικής εποπτείας. Γενικά η γεωμετρική εποπτεία αποτελεί ένα σπουδαίο εργαλείο είτε για να μας δώσει πολλές φορές την ιδέα πάνω στην οποία θα στηριχθούμε για να κάνουμε την πραγματική απόδειξη των θεωρημάτων είτε για να ερμηνεύσουμε εποπτικά το περιεχόμενο ενός θεωρήματος!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vasilis008]

νομίζω σωστό...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Λάθος γιατί δεν γνωρίζουμε αν το Δ ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Αφού η f είναι συνεχής στο Δ, πως είναι δυνατόν να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vasilis008]

Αφού η f είναι συνεχής στο Δ, πως είναι δυαντόν να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της;

ναι άλλαξα το ποστ γιατί κατάλαβα σύντομα την χαζομάρα που είπα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Σωστό είναι αλλά δεν έχω καταφέρει να το αποδείξω. Όποιο σα'ί'νι καταφέρει και το αποδείξει ας το ανεβάσει να το μάθουμε κι οι υπόλοιποι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[kvgreco]

Τελικά αυτό που λένε ότι κάθε απόδειξη επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή ισχύει ή όχι?Και έπειτα υπάρχουν αποδείξεις που είναι..λιγο μόνο αποδείξεις?
Δηλαδή επιστρέφοντας στο παραπάνω αν του πω ότι το συμμετρικό ενός σχήματος είναι ένα όμοιο σχήμα έχω κάνει λάθος?Πάει όμως τότε περίπατο η έννοια της συμμετρίας.Ας μην αναφέρουν τότε καθόλου τα βιβλία τη συμμετρία στις αντίστροφες ώστε να μην μας δημιουργούν πρόβλημα.Τότε θα είναι και λάθος οι λύσεις που βλέπω σε μερικά βιβλία να προσπαθούν να υπολογίσουν το εμβαδόν της αντίστροφης μέσω της έννοιας της συμμετρίας.Λόγω λέει συμμετρίας το ζητούμενο εμβαδόν είναι το ίδιο που σχηματίζει η f ...κ.λ.π...κ.λ.π!
Δηλαδή όποτε μας βολεύει(γιατί δεν έχουμε εναλλακτικούς δρόμους) λέμε και καλά ότι ναι αποδείξαμε το ερώτημα της άσκησης, ενώ άλλοτε δεν αποτελεί απόδειξη?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[miv]

Σωστό είναι, επειδή το Δ είναι διάστημα. Αν μιλούσαμε για ορισμό και συνέχεια σε ένωση θα ήταν λάθος.
'Εστω χ1,χ2,χ3 στο Δ με f να μην είναι γνησίως μονότονη. Θεωρούμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο [χ1,χ2] και γνησίως φθίνουσα στο [χ2,χ3]. Θα είναι f(x1)<f(x2) και f(x2)>f(x3), με τις τρεις αυτές τιμές να διαφέρουν ανά δύο, δεδομένου ότι η f είναι 1-1. Ας θεωρήσουμε, λοιπόν, αυθαίρετα ότι f(x1)<f(x3)***. Εφαρμόζοντας ΘΕΤ για την f συνεχή στο [χ2,χ3] ως υποδιάστημα του Δ, βρίσκουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xo στο ανοιχτό, ώστε για τιμή κ της συνεχούς f μεταξύ f(x2) και f(x3) να είναι f(xo)=κ. Eφαρμόζοντας ένα ακόμη ΘΕΤ στην f, συνεχή στο [χ1,χ2] ως υποδιάστημα του Δ, για το ίδιο ακριβώς κ (δεδομένης της υπόθεσης ***, το κ ανήκει και στο διάστημα μεταξύ f(x1) και f(x2) ), θα υπάρχει και ξ στο (χ1,χ2) ώστε f(ξ)=κ. Δεδομένου ότι ξ διάφορο του χο, με αντιστοιχιζόμενες τιμές ίσες και ίσες με κ, τότε η f δεν θα ήταν 1-1 στο Δ, πράγμα άτοπο.
Ομοίως κι αν είχε άλλης μορφής μονοτονία σε κάθε διάστημα ή αν f(x3)<f(x1).

riemman, επειδή σε βλέπω ώρα στο θέμα, θα ρίξεις μια ματιά να μου πεις;
Και κάτι ακόμη, το παραπάνω χθες το συζητήσαμε ως άσκηση (είχε και f'(x) διάφορο του μηδενός), με την f παραγωγίσιμη στο Δ. Και ζητούσε να αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Πρώτα απέδειξα ότι είναι 1-1 (εφαρμογή Rolle και άτοπο) και κατόπιν απέδειξα τη μονοτονία με το παραπάνω. Υπήρχε τρόπος να μην περάσω καν από 1-1 ?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3Lt3D]

Και το θεώρημα της μέσης τιμής στο βιβλίο γεωμετρικά το ερμηνεύει.Το ζητούμενο είναι αν ισχύει ή όχι.
Πιστεύεις ότι η γεωμετρία δεν ανήκει στα μαθηματικά?
Δηλαδη τι άλλη απόδειξή θέλεις γιά να πειστείς ότι και η αντίστροφη είναι συνεχής?
Φυσικά και αποτελεί αυτό που έγραψα μαθηματική απόδειξη.Θα έλεγα μάλιστα ότι ενώ π.χ στο ΘΜΤ το βιβλίο δίνει τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος, εγώ εδώ γιά το συγκεκριμένο που μιλάμε, έδωσα την γεωμετρική απόδειξη.

Και το Θ. bolzano μπορει να το ερμηνευσει κανεις γεωμετρικα.Αυτο τι σημαινει; οτι απεδειξε το θεωρημα;Η αποδειξη του εχω διαβασει πως ειναι απ'τις πιο δυσκολες στην αναλυση.
Παρεπιπτοντως, αυτα που λεμε για την συνεχεια της f-1 ισχυουν σε ενα διαστημα.Σε ενωση διαστηματων δεν ισχυουν.
Για να ειναι σωστοι αυτοι που θα μας βαλουν τα θεματα, αν θελουν να χρησιμοποιησουμε συνεχεια της f-1 πρεπει να μας πουν στην εκφωνιση να το παρουμε δεδομενο.Αυτο εχει σημασια.Απο κει και περα, οτι και να λεμε θα ειναι συμβιβασμοι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[kvgreco]

Και το Θ. bolzano μπορει να το ερμηνευσει κανεις γεωμετρικα.Αυτο τι σημαινει; οτι απεδειξε το θεωρημα;Η αποδειξη του εχω διαβασει πως ειναι απ'τις πιο δυσκολες στην αναλυση.
Παρεπιπτοντως, αυτα που λεμε για την συνεχεια της f-1 ισχυουν σε ενα διαστημα.Σε ενωση διαστηματων δεν ισχυουν.
Για να ειναι σωστοι αυτοι που θα μας βαλουν τα θεματα, αν θελουν να χρησιμοποιησουμε συνεχεια της f-1 πρεπει να μας πουν στην εκφωνιση να το παρουμε δεδομενο.Αυτο εχει σημασια.Απο κει και περα, οτι και να λεμε θα ειναι συμβιβασμοι.

Άλλο γεωμετρική ερμηνεία και άλλο απόδειξη.Νομίζω είναι σαφής ο διαχωρισμός.
Το θεώρημα bolzano το βιβλίο το αποδεικνύει αναλυτικά πέρα από τη γεωμετρική του ερμηνεία.Το ΘΜΤ όμως δεν το αποδεικνύει.

Πανελλήνιες 2003
Θεμα 3
Ερώτημα δ

Πολλοί βρήκαν το εμβαδόν επικαλούμενοι τη συμμετρία των γραφικών παραστάσεων f και f-1.Δεν απέδειξαν όμως ότι κάΘε σημείο της μιάς περιοχής έχει το συμμετρικό του στην άλλη και αντίστροφα ώστε να είναι καλυμμένοι! Αυτό που έκαναν όμως όσοι το έκαναν έτσι, οι βαθμολογητές το δέχτηκαν σωστό.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Εστω οι συναρτησεις g,f για τις οποιες ισχυει: g(x) +f(x)/x=f^2(x) + 1/x^2 ,χ διαφορο του 0,δειξτε οτι
lim g(x)=+ απειρο
x->0

Δε μου βγαινει αν και σκεφτηκα να βγαλω κοινο παραγοντα το 1/x^2 εχοντας παει το f(x)/x απτην αλλη... ιδεες;;;

Από την εκφώνηση προκύπτει

g(x)=(((x*f(x))^2)-(x*f(x))+1))/(x^2), x ανήκει R*

Ο αριθμητής έχει την μορφή τριωνύμου P(y)=(y^2)-y+1 όπου y=x*f(x).

Δηλαδή g(x)=P(x*f(x))/(x^2)) όπου x ανήκει R*

Θεωρώ την συνάρτηση P(y)=(y^2)-y+1 όπου y ανήκει R. P συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με

P΄(y)=2*y-1

P συνεχής στο (-άπειρο,1/2], P παραγωγίσιμη στο (-άπειρο,1/2) και ισχύει P΄(y)<0 για κάθε y ανήκει στο (-άπειρο,1/2) -> P γνησίως φθίνουσα στο (-άπειρο,1/2]

P συνεχής στο [1/2,+άπειρο), P παραγωγίσιμη στο (1/2,+άπειρο) και ισχύει P΄(y)>0 για κάθε y ανήκει στο (1/2,+άπειρο) -> P γνησίως αύξουσα στο [1/2,+άπειρο)

P παραγωγίσιμη στο y0=1/2 και P΄(1/2)=0

Άρα η CP παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο y0=1/2 το οποίο είναι
P(1/2)=3/4

Άρα P(y)>=P(1/2) -> (y^2)-y+1>=3/4 για κάθε y ανήκει R

Θέτωντας y=x*f(x) προκύπτει ((x*f(x))^2)-(x*f(x))+1>=3/4 για κάθε x ανήκει R* και επειδή (x^2)>0 για κάθε x ανήκει R* τότε

(((x*f(x))^2)-(x*f(x))+1))/(x^2)>=3/(4*(x^2)) για κάθε x ανήκει R*

Άρα g(x)>=3/(4*(x^2)) για κάθε x ανήκει R*

Έχουμε
lim (3/(4*(x^2)))=+ απειρο και επειδή
x->0

g(x)>=3/(4*(x^2)) για κάθε x ανήκει R*

τότε
lim g(x)=+ απειρο
x->0

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[variax]

Το θεώρημα bolzano το βιβλίο το αποδεικνύει αναλυτικά πέρα από τη γεωμετρική του ερμηνεία.Το ΘΜΤ όμως δεν το αποδεικνύει.

Το θεώρημα Bolzano το βιβλίο δεν το αποδεικνύει (και ούτε θα μπορούσε άλλωστε αφού απαιτεί το αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών το οποίο δεν διδάσκεται στα σχολικά Μαθηματικά).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[kvgreco]

Το θεώρημα Bolzano το βιβλίο δεν το αποδεικνύει (και ούτε θα μπορούσε άλλωστε αφού απαιτεί το αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών το οποίο δεν διδάσκεται στα σχολικά Μαθηματικά).

Λάθος δικό μου.Των ενδιαμέσων τιμών είχα κατά νου.
Αλλά το ερώτημα παραμένει.Που μπορούμε να χρησιμοποιούμε άφοβα την Γεωμετρία?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[variax]

Πανελλήνιες 2003
Θεμα 3
Ερώτημα δ

Πολλοί βρήκαν το εμβαδόν επικαλούμενοι τη συμμετρία των γραφικών παραστάσεων f και f-1.Δεν απέδειξαν όμως ότι κάΘε σημείο της μιάς περιοχής έχει το συμμετρικό του στην άλλη και αντίστροφα ώστε να είναι καλυμμένοι! Αυτό που έκαναν όμως όσοι το έκαναν έτσι, οι βαθμολογητές το δέχτηκαν σωστό.

Να θυμίσω ότι οι εξετάσεις του 2003 ήταν ένα βατερλώ για την Κεντρική επιτροπή των εξετάσεων (βλέπε Θέμα 4 ερώτημα γ το οποίο ήταν λάθος) και επιπλέον αν μπορούσες να παρακολουθήσεις τα διαδραματιζόμενα εκείνης της εποχής θα έβλεπες ότι και στο ερώτημα που αναφέρεις υπήρχαν ενστάσεις σχετικά με το αν έπρεπε να δοθεί ότι η αντίστροφη συνάρτηση ήταν συνεχής (αφού δεν ήταν δυνατόν να προσδιορίσουμε την αντίστροφη).
-----------------------------------------

Τελικά αυτό που λένε ότι κάθε απόδειξη επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή ισχύει ή όχι?Και έπειτα υπάρχουν αποδείξεις που είναι..λιγο μόνο αποδείξεις?
Δηλαδή επιστρέφοντας στο παραπάνω αν του πω ότι το συμμετρικό ενός σχήματος είναι ένα όμοιο σχήμα έχω κάνει λάθος?Πάει όμως τότε περίπατο η έννοια της συμμετρίας.Ας μην αναφέρουν τότε καθόλου τα βιβλία τη συμμετρία στις αντίστροφες ώστε να μην μας δημιουργούν πρόβλημα.Τότε θα είναι και λάθος οι λύσεις που βλέπω σε μερικά βιβλία να προσπαθούν να υπολογίσουν το εμβαδόν της αντίστροφης μέσω της έννοιας της συμμετρίας.Λόγω λέει συμμετρίας το ζητούμενο εμβαδόν είναι το ίδιο που σχηματίζει η f ...κ.λ.π...κ.λ.π!
Δηλαδή όποτε μας βολεύει(γιατί δεν έχουμε εναλλακτικούς δρόμους) λέμε και καλά ότι ναι αποδείξαμε το ερώτημα της άσκησης, ενώ άλλοτε δεν αποτελεί απόδειξη?

Στην Ανάλυση ευτυχώς έχουμε πάντα εναλλακτικούς δρόμους. Επίσης όσον αφορά τη συμμετρία (αξονική, κεντρική), στροφή κατά γωνία θ κ.λ.π. αυτές ανήκουν σε μια κατηγορία απεικονήσεων που ονομάζονται γραμμικοί μετασχηματισμοί (και μάλιστα οι παραπάνω είναι και ισομετρίες δηλαδή διατηρούν τις αποστάσεις) και με αυτήν την έννοια δεν χρειαζόμαστε καμία γεωμετρική βοήθεια για να τεκμηριώσει κάποιος αυτά που αναφέρεις στις ασκήσεις. Εγώ προσωπικά δεν έχω κανένα πρόβλημα στο να χρησιμοποιήσει κάποιος την έννοια της συμμετρίας μεταξύ των f και f^-1 για να δικαιολογήσει κάτι. Απλά είναι φανερό ότι η πολιτική του σχολικού βιβλίου είναι να μην ασχολούμαστε με οτιδήποτε αφορά ιδιότητες που κληρονομεί η αντίστροφη μιας συνάρτησης από την ίδια τη συνάρτηση (μονοτονία, συνέχεια, παραγώγιση κ.λ.π.) αφού για παράδειγμα θα μπορούσε κάλλιστα στο σημείο που αναφέρει τα θεωρήματα (χωρίς απόδειξη) που αφορούν τις πράξεις με τις συνεχείς συναρτήσεις να είχε αναφέρει και για τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης. Το μόνο που εξετάζει είναι η εύρεση της αντίστροφης μιας συνάρτησης σε κάποιες απλές περιπτώσεις και ότι σχετίζεται με την ισοδυναμία του ορισμού ( f(x)=y τότε και μόνο τότε όταν f^-1(y)=x ). Υπό αυτήν την έννοια απαιτώ αυτό να γίνεται σεβαστό και από την Κεντρική Επιτροπή των Εξετάσεων. (πολλές φορές τα εξωσχολικά βιβλία στην προσπάθειά τους να φανούν όσο πιο πληρέστερα γίνεται οδηγούν τη θεματολογία σε σημεία που κινούνται έξω από τη φιλοσοφία του σχολικού βιβλίου βάσει του οποίου εξετάζονται οι μαθητές). Ελπίζω να έγινε σαφές αυτό που θέλω να τονίσω.
-----------------------------------------

Λάθος δικό μου.Των ενδιαμέσων τιμών είχα κατά νου.
Αλλά το ερώτημα παραμένει.Που μπορούμε να χρησιμοποιούμε άφοβα την Γεωμετρία?

Στην Ανάλυση γενικά η Γεωμετρία δεν κατέχει αυστηρό αποδεικτικό ρόλο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[dimitricc]

< 1-1 + συνεχης = γνησίως μονότονη >

Εστω οχι γν.μονοτονη. τοτε υπαρχουν χ1,χ2,χ3 με χ1<χ2<χ3 τετοια ωστε f(x1) > f(x2) και f(x2) < f(x3) ...οριζουμε d=min{f(x1),f(x3)} οποτε εχουμε f(x2) < u < d και απο θετ υπαρχει ξ1 στο (χ1,χ2) αλλα και ξ2 στο (χ2,χ3) τετοια ωστε f(ξ1)=f(ξ2)=u δηλαδη ισοδυναμα ξ1 = ξ2 αφου η f ειναι 1-1,,πραγμα ατοπο..αρα f γνησιως μονοτονη... QED

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3Lt3D]

Τώρα, αν δεν υπάρχει, είτε θα ορίζεται εκατέρωθεν του χο και θα αλλάζουν τα πλευρικά, είτε δεν θα υπάρχει διάστημα κοντά στο χο, στο οποίο η f να ορίζεται.
Αν ξέχασα περίπτωση, να συμπληρωθεί.

Υπαρχει περιπτωση να μην υπαρχουν καν τα πλευρικα,(οχι μονο να ειναι διαφορετικα μεταξυ τους).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Σωστό ή Λάθος

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σημείο x0 τότε η γραφική της παράσταση δεν παρουσιάζει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο x0

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.