Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[PolGR1509]

Η συνεπαγωγή γενικά χρησιμοποιείται; Εγώ πολύ σπάνια τη συναντώ, κυρίως σε αποδείξεις. Αλλιώς παντού ισοδυναμίες έχει...και στα βιβλία δηλαδή. Είναι αποδεκτό αντί για ισοδυναμία/συνεπαγωγή να βάζεις "ή" και να είσαι καλυμμένος;
Πχ 3χ-11=0 ή 3χ=11 ή χ=11/3

Btw, το συνεπάγεται εμείς το χρησιμοποιούμε πολύ στη φυσική. Ο καθηγητής, δηλαδή, βάζει παντού συνεπάγεται στις πράξεις..τώρα αν είναι σωστό ή λάθος τι να πω. Στο σχολείο ο φυσικός δε βάζει τίποτα...απλά συνεχίζει από κάτω λ.χ.
5χ=5
χ=1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Η συνεπαγωγή γενικά χρησιμοποιείται; Εγώ πολύ σπάνια τη συναντώ, κυρίως σε αποδείξεις. Αλλιώς παντού ισοδυναμίες έχει...και στα βιβλία δηλαδή. Είναι αποδεκτό αντί για ισοδυναμία/συνεπαγωγή να βάζεις "ή" και να είσαι καλυμμένος;
Πχ 3χ-11=0 ή 3χ=11 ή χ=11/3

Btw, το συνεπάγεται εμείς το χρησιμοποιούμε πολύ στη φυσική. Ο καθηγητής, δηλαδή, βάζει παντού συνεπάγεται στις πράξεις..τώρα αν είναι σωστό ή λάθος τι να πω. Στο σχολείο ο φυσικός δε βάζει τίποτα...απλά συνεχίζει από κάτω λ.χ.
5χ=5
χ=1

Την συνεπαγωγη την χρησιμοποιες συνηθως οταν εφαρμοζεις καποιο θεωρημα (γιατι κατα μεγαλο ποσοστο το αντιστροφο των θεωρηματων δεν ισχυει)
πχ με την μονοτονια f'(x)>0=> f γν αυξουσα
Απο ΘΒ,ΘR,ΘΜΤ κλπ=>
Η για να αποδειξεις κατι
χ1<χ2=>... αρα f γν μονοτονη κλπ
Δεν ειναι λαθος αυτο που κανει ο φυσικος στο σχολειο σου.Αν ανοιξεις το βιβλιο(γ λυκειου) των μαθηματικων το σχολικο εκει που εχει παραδειγματα με την 1-1 αν δεν κανω λαθος δεν βαζει τιποτα ουτε συνεπαγωγες ουτε μονοτονιες,απλα συνεχιζει απο κατω.Αρα εχεις και εσυ το δικαιωμα να συνεχιζεις απο κατω χωρις να σου πει καποιος κατι γιατι πολυ απλα το κανει και το σχολικο και το σχολικο ειναι ευαγγελιο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Έρεβος]

Όπως ειπώθηκε και παραπάνω, το σύμβολο της συνεπαγωγής σημαίνει στην ουσία ΑΝ ισχύει ό,τι είναι αριστερά του ΤΟΤΕ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ θα ισχύει και ό,τι είναι δεξιά του. Στην περίπτωση που ισχύει και η αντίστροφη πορεία της συνεπαγωγής και μόνο τότε χρησιμοποιείται το σύμβολο της ισοδυναμίας , το οποίο στην ουσία σημαίνει ότι η πρόταση δεξιά του συμβόλου ισχύει ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ ισχύει η πρόταση αριστερά του συμβόλου (ικανή και αναγκαία συνθήκη).

Η αλήθεια είναι ότι όποιος θέλει να γράφει σωστά μαθηματικά πρέπει να είναι πολύ προσεκτικός με αυτά τα σύμβολα. Για παράδειγμα θα ήταν μεγάλο λάθος να γράψει κάποιος και αυτό γιατί δεν ισχύει απαραίτητα ότι αν τότε υποχρεωτικά . Ωστόσο δεν υπάρχει λογικό σφάλμα με το να γράψει ότι έστω και αν είναι ισοδύναμες εκφράσεις.
Είναι προφανές, λοιπόν, ότι η ισοδυναμία είναι πιο απαιτητική από την απλή συνεπαγωγή.

Κάπου εδώ μπαίνει και ο σκοπός των όσων γράφουμε. Αν κάποιος ζητάει να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης , ή η τιμή της συνάρτησης στο εμείς δεν είμαστε υποχρεωμένοι να του πούμε ποιες από τις εκφράσεις που θα γράψουμε είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Δεν χρειάζεται να «γυρίζει προς τα πίσω» η διαδικασία όπως λέμε απλοϊκά. Αρκεί να είναι σωστά τα προς τα εμπρός βήματα.

Από την άλλη μεριά, όταν χρησιμοποιούμε ή αποδεικνύουμε προτάσεις και θεωρήματα, τις περισσότερες φορές είναι ζήτημα ορθότητας η έννοια της ισοδυναμίας και της συνεπαγωγής. Για παράδειγμα, στο θεώρημα του Bolzano, ο άνθρωπος είπε ξεκάθαρα ότι ΑΝ οι τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης στα άκρα ενός διαστήματος είναι ετερόσημες και μη μηδενικές ΤΟΤΕ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ η συνάρτηση αυτή έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα αυτό. Αν κάποιος βάλει ισοδυναμία εκεί είναι σαν λαμβάνει υπόψη του λάθος θεώρημα!

Η δική μου συμβουλή είναι αντί να γράφει κανείς, σύμβολα που δεν είναι βέβαιος αν είναι σωστά, να γράφει με λέξεις αυτό που θέλει να πει. Είναι ίσως το πλέον αποδεκτό από τους καθηγητές-διορθωτές. Μάλιστα, κατά τη γνώμη μου, βελτιώνει αρκετά και την εικόνα του γραπτού.

Δηλαδή για μια συνεπαγωγή ή ισοδυναμία μπορούμε να γράψουμε τη λέξη "έπεται" ή "επομένως", ενώ για πιο πολλές εκφράσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην αρχή η φράση "Έχουμε διαδοχικά:" και να γράψουμε τις εκφράσεις τη μία κάτω από την άλλη χωρίς σύμβολα συνεπαγωγής ή ισοδυναμίας. (Το διαζευκτικό "ή" δεν το προτείνω γιατί προσωπικά μου θυμίζει υπερβολικά την λογική διάζευξη (ή το Α ή το Β, ή και τα δύο), αλλά δεν παύει να είναι κι αυτό μια εν γένει αποδεκτή επιλογή.)

Δείγμα γραφής:
(1) έπεται .

(2) Έχουμε διαδοχικά:




(3) Είναι συνεχής στο , και . Επομένως από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα .

Τέλος θέλω να τονίσω ότι αυτά είναι λεπτομέρειες. Ίσως είναι το τελευταίο που πρέπει να σας αγχώνει/προβληματίζει ως μαθητές. Αν έχετε γράψει τις λύσεις κομψά θα είναι ακραίο να σας κόψουν έστω και 1% για αυτό το λόγο.

Sorry for the long post.
​

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PanosGR]

https://imgur.com/a/g4390

Απέδειξα ότι η f είναι αντιστρέψιμη λόγω μονοτονίας. Στο Β όμως ερώτημα μου ζητάει να υπολογίσω το ολοκλήρωμα της αντιστροφης, χωρίς τύπο και χωρίς να μπορώ να υπολογίσω κάποιες τιμές της ( πχ το f(y)= 1 <=> f(y)=f(1) <=> (f 1-1) y = 1) επειδή υπάρχει το ημιτονο.
Σκέφτηκα να το λύσω θεωρώντας την f^(-1) ως περιττή (αφού και η f είναι περιττή), αλλά αυτό δεν υπάρχει κάπου στο σχολικό βιβλίο, από όσο γνωρίζω, και επομενως δεν μπορώ να το ισχυριστώ...

Καποια ιδέα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Just1n]

https://imgur.com/a/g4390

Απέδειξα ότι η f είναι αντιστρέψιμη λόγω μονοτονίας. Στο Β όμως ερώτημα μου ζητάει να υπολογίσω το ολοκλήρωμα της αντιστροφης, χωρίς τύπο και χωρίς να μπορώ να υπολογίσω κάποιες τιμές της ( πχ το f(y)= 1 <=> f(y)=f(1) <=> (f 1-1) y = 1) επειδή υπάρχει το ημιτονο.
Σκέφτηκα να το λύσω θεωρώντας την f^(-1) ως περιττή (αφού και η f είναι περιττή), αλλά αυτό δεν υπάρχει κάπου στο σχολικό βιβλίο, από όσο γνωρίζω, και επομενως δεν μπορώ να το ισχυριστώ...

Καποια ιδέα;

Μπορείς να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι επίσης περιττή

https://ibb.co/mMmWNa

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PanosGR]

Μπορείς να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι επίσης περιττή

https://ibb.co/mMmWNa

Ευχαριστώ πολύ! Και εγώ προσπάθησα να το αποδείξω αλλα δεν τα κατάφερα!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Ευχαριστώ πολύ! Και εγώ προσπάθησα να το αποδείξω αλλα δεν τα κατάφερα!

Ειναι η μονη αποδειξη που ποτε δεν μπορω να θυμηθω
Κατι ακυρο κανεις ωραια γραμματα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PanosGR]

Ειναι η μονη αποδειξη που ποτε δεν μπορω να θυμηθω
Κατι ακυρο κανεις ωραια γραμματα

Χαχα!
Κάνω ωραία γράμματα μπας και μου δώσουν μισό μόριο παραπάνω!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 125626]

Μπορεί κάποιος να μου στείλει τις ασκήσεις από το Βιβλίο του Παπαδάκη Γ1 πάνω στα κεφάλαια των ορίων που απαιτούν «Ιδιαίτερη Μαθηματική Σκέψη» ;

Ή έστω ενός κεφαλαίου από τα όρια.

Ευχαριστώ !

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Τι σημαίνει ότι x^2+1 πρέπει να ανήκει στο R??
Ευχαριστώ..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[harry akritas]

Τι σημαίνει ότι x^2+1 πρέπει να ανήκει στο R??
Ευχαριστώ..

Το χ^2+1 ανήκει στο R. Δηλαδή το χ παίρνει κάθε τιμή του R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Ευχαριστώ φίλε μου...εγω νόμιζα ότι το x^2 +1 πρέπει να παίρνει κάθε τιμή του R δηλ η θετικό η αρνητικό η μηδέν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Τι σημαίνει ότι x^2+1 πρέπει να ανήκει στο R??
Ευχαριστώ..

Οτι το αθροισμα χ^2+1 πρεπει να ειναι πραγματικος αριθμος.Δυο πραγματικοι αριθμοι αν τους προσθεσεις σου δινουν ως αποτελεσμα εναν αλλον πραγματικο αριθμο,αρα πρεπει και ο χ να παιρνει πραγματικες τιμες (δηλαδη απο το συνολο R).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Και ότι το ριζα( x+3) πρέπει να ανήκει στο R???

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[harry akritas]

Και ότι το ριζα( x+3) πρέπει να ανήκει στο R???

Η υπόρριζη ποσότητα είναι πάντα θετική. Άρα πρέπει χ+3>0 <=> χ>-3.
Μόνο τότε η ρίζα του χ+3 ανήκει στο R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PolGR1509]

Η υπόρριζη ποσότητα είναι πάντα θετική. Άρα πρέπει χ+3>0 <=> χ>-3.
Μόνο τότε η ρίζα του χ+3 ανήκει στο R.

Στις ρίζες, πρέπει η υπόρριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το 0. Οπότε χ ≥-3
και σαν διάστημα χ∈[-3,+οο) . Άλλωστε και το 0 πραγματικός αριθμός είναι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[harry akritas]

Στις ρίζες, πρέπει η υπόρριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το 0. Οπότε χ ≥-3
και σαν διάστημα χ∈[-3,+οο) . Άλλωστε και το 0 πραγματικός αριθμός είναι.

Δίκιο έχεις, λάθος μου. Το καλοκαίρι το μυαλό δυσκολεύεται να λειτουργήσει ακόμα και για τα βασικά.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PolGR1509]

Δίκιο έχεις, λάθος μου. Το καλοκαίρι το μυαλό δυσκολεύεται να λειτουργήσει ακόμα και για τα βασικά.

Καταλαβαίνω απόλυτα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Αν μια συνάρτηση είναι 1-1 και ορίζεται η αντιστροφή της τοτε έχει νόημα η ερώτηση αν η αντιστροφη της είναι και αυτή 1-1??

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.