Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

patben · 04-10-13

Να υπολογίσετε της παραστάσεις
$ΑA=i+i^3+i^5+i^7+...+{i}^{2v-1}$

$B=\frac{1+i+i^2+i^3+...+{i}^{2v-1}}{1+i+i^2+...+{i}^{v-1}}$

rebel · 4 Οκτωβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από patben:
Να υπολογίσετε της παραστάσεις
$ΑA=i+i^3+i^5+i^7+...+{i}^{2v-1}$

$B=\frac{1+i+i^2+i^3+...+{i}^{2v-1}}{1+i+i^2+...+{i}^{v-1}}$

$A=i\frac{\left(i^2\right)^\nu-1}{i^2-1}=i\frac{(-1)^\nu-1}{-2}=\begin{cases}0, & \alpha \nu \,\, \nu=2k,\,\,k \in \mathbb{Z} \\ i, & \alpha \nu \,\, \nu=2k+1,\,\,k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

$B=\frac{\frac{i^{2\nu}-1}{i-1}}{\frac{i^\nu-1}{i-1}}=\frac{i^{2\nu}-1}{i^\nu-1}=\frac{\left(i^\nu-1\right)\left(i^\nu+1\right)}{i^\nu-1}=i^\nu+1=\begin{cases} i+1 & \alpha \nu \,\, \nu=4k+1,\,\,k \in \mathbb{Z} \\ 0 & \alpha \nu \,\, \nu=4k+2,\,\,k \in \mathbb{Z} \\ -i+1 & \alpha \nu \,\, \nu=4k+3,\,\,k \in \mathbb{Z} \end{cases}$
Διέγραψα την περίπτωση $\nu=4k$ γιατί τότε ο παρονομαστής μηδενίζεται οπότε δεν έχει νόημα η παράσταση.

Dafni16 · 07-10-13

1) z=3/2+συνθ+iημθ (1)......i)Να βρεθεί ο γ.τ...ii)Aν z1,z2 δύο μιγαδικοί που επαληθεύουν την 1 ν.δ.ο |z1+z2|<= 6............2) -2<=Re(z)<=2,|Im(z)|<=2 και |z|>=2....Να βρεθεί το χωρίο στο οποίο κινούνται οι εικόνες του z και να βρεθεί το εμβαδόν του...Αν μπορείτε να βοηθήσετε,χωρίς απαραίτητα να τις λύσετε εσείς θα μου κάνατε μεγάλη χάρη

rebel · 07-10-13

1) i) Αν $z_0=x_0+y_0i = \frac{3}{2} + \sigma \upsilon \nu \theta_0 + \eta \mu \theta_0 i$ ένας τέτοιος μιγαδικός, τότε
$\begin{cases}x_0=\frac{3}{2}+ \sigma \upsilon \nu \theta_0 \\ y_0=\eta \mu \theta_0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_0-\frac{3}{2}=\sigma \upsilon \nu \theta_0 \\ y_0=\eta \mu \theta_0 \end{cases}$
και από την σχέση $\sigma \upsilon \nu ^2 \theta_0 + \eta \mu^2 \theta_0 = 1$ παίρνουμε
$\left(x_0-\frac{3}{2}\right)^2+ y_0^2=1$ . Συνεπώς η εικόνα του $z_0$ ανήκει στον κύκλο $(C):\,\,\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+ y^2=1$

Αντίστροφα: Αν $M(x_0,y_0) \in (C)$ τότε $\left(x_0-\frac{3}{2}\right)^2+ y_0^2=1,\,\,(*)$ και άρα
$\begin{cases} -1 \leq x_0-\frac{3}{2} \leq 1 \\ -1 \leq y_0 \leq 1 \end{cases} ,\,\,(**)$ . Λόγω των σχέσεων (*),(**) υπάρχει $\theta_0 \in [0, 2 \pi )$ τέτοιο ώστε
$\begin{cases}x_0-\frac{3}{2}= \sigma \upsilon \nu \theta_0 \\ y_0=\eta \mu \theta_0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_0=\frac{3}{2} + \sigma \upsilon \nu \theta_0 \\ y_0=\eta \mu \theta_0 \end{cases}$
Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με $K \left(\frac{3}{2},0\right),\,\,\rho=1$

ii) Αν $z_1,z_2$ δύο μιγαδικοί που επαληθεύουν την (1), τότε επειδή $|z_1-3/2|=|z_2-3/2|=1$ από τριγωνική ανισότητα έχουμε
$|z_1+z_2| = |3+z_1-3/2+z_2-3/2| \leq |3|+|z_1-3/2|+|z_2-3/2|=3+1+1=5 \leq 6$

dimidimi · 08-10-13

Γεια σας!!!!!

Απορία στα όρια! lim(x-->0) f(x)? όπου f(x)=ημ3x/x^3
Καμιά ιδέα?

dimidimi · 08-10-13

Καμια ιδέα;;

Guest 018946 · 08-10-13

rebel · 08-10-13

meletis96 · 09-10-13

Καλησπέρα γράψαμε διαγώνισμα στους μιγαδικούς και ως 4ο θέμα β ερώτημα είχε το εξής.
Οι μιγαδικοί Ζ1+Ζ2+Ζ3=0 και μέτρο Ζ1 = μέτρο Ζ2=μέτρο Ζ3. να δειχθεί οτι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
Με διανύσματα η άσκηση βγαίνει αλλά με μιγαδικούς πως μπορώ να τη λύσω?

tweetyslvstr · 09-10-13

Αρχική Δημοσίευση από meletis96:
Καλησπέρα γράψαμε διαγώνισμα στους μιγαδικούς και ως 4ο θέμα β ερώτημα είχε το εξής.
Οι μιγαδικοί Ζ1+Ζ2+Ζ3=0 και μέτρο Ζ1 = μέτρο Ζ2=μέτρο Ζ3. να δειχθεί οτι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
Με διανύσματα η άσκηση βγαίνει αλλά με μιγαδικούς πως μπορώ να τη λύσω?

λοιπόν παίρνεις την πρωτη σχέση και λύνεισ ως προς ότι θέλεις για παραδειγμα ζ3. υψωνεις στο τετραγωνο την σχέση και έχειςζ3^2 =ζ1*ζ2
αν ζ3 διαφορετικο του μηδενος τοτε πολλαπλασιαζουμε και τα δυο μέρη αυτης με ζ3

Johnnys · 09-10-13

Σπέραααα....f:R----->R και lim(fx) (x--->xo) =l ER ν.δ.ο lim(h--->0) (f(xo+h)-f(xo-h))=0

dimidimi · 09-10-13

Γεια σας!! Όταν έχουμε το lim(x—>0) f(x)/5x=4! Τι μπορούμε να συμπεράνουμε; Τι στοιχείο μπορούμε να πάρουμε;

Gareth · 9 Οκτωβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από dimidimi:
Γεια σας!! Όταν έχουμε το lim(x—>0) f(x)/5x=4! Τι μπορούμε να συμπεράνουμε; Τι στοιχείο μπορούμε να πάρουμε;

Εάν θέσουμε h(x)=f(x)/5..τότε βγαίνει ότι το όριο lim(x->0)h(x)=4 υπάρχει και εR

Αυτά με μια πρώτη ματιά...

Άρα αφού h(x)=f(x)/5 τότε f(x)=h(x)*5 άρα..lim(x->0)f(x)=lim(x->0)h(x)*5..άρα..το όριο lim(x->0)f(x) κάνει 20

dimidimi · 09-10-13

Έχω ενα Αλιάκμονα στην εκφώνηση: lim(x—>0) f(3x)/(5x)=4 sorry

Αρχική Δημοσίευση από dimidimi:
Έχω ενα Αλιάκμονα στην εκφώνηση: lim(x—>0) f(3x)/(5x)=4 sorry

Αλιάκμονα=λαθάκι!! χαχαχαχα

Guest 018946 · 09-10-13

Αρχική Δημοσίευση από Johnnys:
Σπέραααα....f:R----->R και lim(fx) (x--->xo) =l ER ν.δ.ο lim(h--->0) (f(xo+h)-f(xo-h))=0

αλλαγες μεταβλητης για τα δυο ορια και βγαζεις ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ οτι πανε στο χ0 και κανουν λ και τα δυο και εισαι τζετ

Johnnys · 10-10-13

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
αλλαγες μεταβλητης για τα δυο ορια και βγαζεις ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ οτι πανε στο χ0 και κανουν λ και τα δυο και εισαι τζετ

θενξ ρε το εκανα τσακα τσακα..το πρωι το μυαλο λειτουργει καλύτερα

aris-bas · 10-10-13

καλησπερα!!
μπορει να βοηθησει καποιος στις παρακατω....?

Code:

[LATEX]1) 5{ i }^{ \nu  }=3\nu -25\quad \tau \o \tau \varepsilon \quad \nu =?\\ 2) 2{ i }^{ \nu  }=3\nu i-23i\quad \tau \o \tau \varepsilon \quad \nu =?[/LATEX]

σκεφτηκα να παρω περιπτωσεις με ν=4κ ή ν=4κ+2...αλλα με μπερδευει πολυ αυτος ο τροπος

..υπαρχει καποιος αλλος πιο ευκολος??? :worry:

Gareth · 10-10-13

Αρχική Δημοσίευση από basilisblack:
καλησπερα!!
μπορει να βοηθησει καποιος στις παρακατω....?

Code:

[LATEX]1) 5{ i }^{ \nu }=3\nu -25\quad \tau \o \tau \varepsilon \quad \nu =?\\ 2) 2{ i }^{ \nu }=3\nu i-23i\quad \tau \o \tau \varepsilon \quad \nu =?[/LATEX]

σκεφτηκα να παρω περιπτωσεις με ν=4κ ή ν=4κ+2...αλλα με μπερδευει πολυ αυτος ο τροπος..υπαρχει καποιος αλλος πιο ευκολος???

Βασικά δοκίμασε να διακρίνεις περιπτώσεις: ν=4κ,ν=4κ+1,ν=4κ+2,ν=4κ+3

dimitris1996 · 10-10-13

χρειάζομαι λίγη βοήθεια στην συγκεκριμένη άσκηση: αν |Ζ1|=|Ζ2|=|Ζ3|= κ και |Ζ1+Ζ2+Ζ3|=3 να αποδείξετε ότι Ζ1=Ζ2=Ζ3

rebel · 10-10-13

Αρχική Δημοσίευση από dimitris1996:
χρειάζομαι λίγη βοήθεια στην συγκεκριμένη άσκηση: αν |Ζ1|=|Ζ2|=|Ζ3|= κ και |Ζ1+Ζ2+Ζ3|=3 να αποδείξετε ότι Ζ1=Ζ2=Ζ3

Μία προσπάθεια με «ελπίδα» να υπάρχει παράλειψη στην εκφώνηση.
$\left|z_1+z_2+z_3\right|=3 \Rightarrow \left|z_1+z_2+z_3\right|^2=9 \Rightarrow \\ \left|z_1\right|^2+ \left|z_2\right|^2+ \left|z_3\right|^2+2Re\left(z_1\bar{z}_2\right)+2Re\left(z_2\bar{z}_3\right)+2Re\left(z_1\bar{z}_3\right) =9 \Rightarrow \\ 2Re\left(z_1\bar{z}_2\right)+2Re\left(z_2\bar{z}_3\right)+2Re\left(z_1\bar{z}_3\right)=9-3k^2\,\,(1)$
Επίσης
$\left|z_1-z_2\right|^2= \left|z_1\right|^2+ \left|z_2\right|^2-2Re\left(z_1\bar{z}_2\right)\,\,(2)$
$\left|z_2-z_3\right|^2= \left|z_2\right|^2+ \left|z_3\right|^2-2Re\left(z_2\bar{z}_3\right)\,\,(3)$
$\left|z_1-z_3\right|^2= \left|z_1\right|^2+ \left|z_3\right|^2-2Re\left(z_1\bar{z}_3\right)\,\,(4)$
Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (2),(3),(4) και παίρνουμε
$\left|z_1-z_2\right|^2+\left|z_2-z_3\right|^2+\left|z_1-z_3\right|^2=6k^2-2Re\left(z_1\bar{z}_2\right)-2Re\left(z_2\bar{z}_3\right)-2Re\left(z_1\bar{z}_3\right) \stackrel{(1)}{=}9\left(k^2-1\right)$
Τώρα αν ήταν $k=1$ , θα είχαμε
$\left|z_1-z_2\right|^2+\left|z_2-z_3\right|^2+\left|z_1-z_3\right|^2=0 \Rightarrow \\ \left|z_1-z_2\right|=\left|z_2-z_3\right|=\left|z_1-z_3\right|=0 \Rightarrow z_1=z_2=z_3$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος