Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

3v@Ki · 06-01-12

εγω ξερω οτι η ισοδυναμια χρειαζεται οταν για να αποδειξεις κατι ξεκινας με την υποθεση οτι ετσω οτι ισχυει αυτο που θες να αποδειξεις και καταληξεις σε κατι που επισης ισχυει αλλα βαζεις ισοδυναμιες γιατι τελικα πρεπει να γυρισεις πισω ξανα στην αρχικη υποθεση που εκανες...εγω δεν εκανα την υποθεση "εστω οτι την επαληθευει" αλλα κατεληξα με μια σειρα λογικων πραξεων στο οτι την επαληθευει

qwerty111 · 06-01-12

Ένα ενδιαφέρον άρθρο https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=67&t=3901

vimaproto · 06-01-12

Αρχική Δημοσίευση από elissavet21:
καλησπέρα!!! μπορειτε να με βοηθησετε με την παρακάτω ασκηση?

Φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο Σ (2, 3) και προσπίπτουσα στην ευθεία x + y + 1 = 0, μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο
Μ (1, 1). Να βρεθούν οι εξισώσεις της προσπίπτουσας και της ανακλόμενης ακτίνας.

Θα περιγράψω την άσκηση γιατί οι πράξεις είναι πολλές
Οι εξισώσεις (ε1) y=λx+k και διερχόμενη από το Σ(2,3) γίνεται y=λx+3-2λ
η (ε2) y=μx+ρ και διερχόμενη από το (1,1) γίνεται y=μx+1-μ
Η κάθετος στην χ+y+1=0 είναι y=x+θ και διέρχεται από το σημείο τομής των ε1 και ε2 που ανήκει στην x+y+1=0
Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκλασης δηλ η γωνίες των ε1 και ε2 με την κάθετο είναι ίσες και από τη σχέση εφ(Α-Β)=(εφΑ-εφΒ)/(1+εφΑεφΒ) όπου οι εφαπτομένη ισούται με τον συντελεστή κατεύθυνσης βρίσκω λμ=1
ετσι η ε2 γράφεται y=(x/λ) +1-(1/λ) Λύνω το σύστημα των ε1 και ε2 και τις τιμές των χ,y τις αντικαθιστώ στην x+y+1=0 και προκύπτει μια εξίσωση ως προς λ από την οποία βρίσκω τον λ , άρα και τις ε1, ε2.

elissavet21 · 06-01-12

Ευχαριστω πολυ

vimaproto · 06-01-12

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Με αυτό το σκεπτικό δεν θα έπρεπε να υπάρχει καθόλου η ισοδυναμία.

Ρίξε μια ματιά στα μαθηματικά της Β' Γυμνασίου στις εξισώσεις. Υπάρχει το σύμβολο της ισοδυναμίας? Παρακολούθησε τα σχολικά βιβλία των μαθηματικών των τελευταίων 25 ετών. Θα δεις πολλές διαφοροποιήσεις. Τερτίπια? Δεν ξέρω.
Μου έρχεται στο νου μου ο ορισμός της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας. Σκέψου το.

rebel · 6 Ιανουαρίου 2012

Μία άλλη προσέγγιση η οποία έχει κι αυτή κάποιες πράξεις. Έστω $K(x_0,y_0)$ το σημείο πρόσπτωσης (το σημείο που προσπίπτει και ανακλάται η ακτίνα). Τότε η εξίσωση της καθέτου της ευθείας $x+y+1=0,\,\,(1)$ στο Κ είναι $(\varepsilon):y-y_0=x-x_0$ . Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο του Μ ως προς την (ε), το οποίο καλούμε Μ'. Το Μ' θα ανήκει στην προσπίπτουσα ακτίνα και μετά από πράξεις (κλασσική μέθοδος εύρεσης συμμετρικού σημείου ως προς ευθεία) βρίσκουμε ότι θα έχει συντεταγμένες $(1-y_0+x_0,1+y_0-x_0)$ . Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της προσπίπτουσας (KΣ) θα είναι
$\frac{3-1-y_0+x_0}{2-1+y_0-x_0}=\frac{2-y_0+x_0}{1+y_0-x_0}$
και η εξίσωσή της
$y-3=\frac{2-y_0+x_0}{1+y_0-x_0}(x-2),\,\,(2)$
Οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν τις (1),(2) από το σύστημα των οποίων βρίσκουμε $K\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$
Έτσι οι ευθείες των ακτίνων βρίσκουμε ότι έχουν εξισώσεις $(K\Sigma):\,y=\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}$ και $(KM):\,y=\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από 3v@Ki:
εγω ξερω οτι η ισοδυναμια χρειαζεται οταν για να αποδειξεις κατι ξεκινας με την υποθεση οτι ετσω οτι ισχυει αυτο που θες να αποδειξεις και καταληξεις σε κατι που επισης ισχυει αλλα βαζεις ισοδυναμιες γιατι τελικα πρεπει να γυρισεις πισω ξανα στην αρχικη υποθεση που εκανες...εγω δεν εκανα την υποθεση "εστω οτι την επαληθευει" αλλα κατεληξα με μια σειρα λογικων πραξεων στο οτι την επαληθευει

O querty λέει απλά ότι στο σημείο

Αρχική Δημοσίευση από 3v@Ki:
$\chi +2\psi = 0 \Rightarrow -2\lambda +2\lambda =0\Rightarrow \left(-2 + 2 \right)\lambda =0\Rightarrow 0\lambda =0$ που ιχυει για καθε $\lambda \in R$

οι συνεπαγωγές θα έπρεπε να είναι ανάποδα αφού μας ενδιαφέρει η προς τα αριστερά και όχι η προς τα δεξιά κατεύθυνση. Διάβασε αυτό το άρθρο και θα καταλάβεις πως το εννοεί

kiriazispao4ever · 06-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία άλλη προσέγγιση η οποία έχει κι αυτή κάποιες πράξεις. Έστω $K(x_0,y_0)$ το σημείο πρόσπτωσης (το σημείο που προσπίπτει και ανακλάται η ακτίνα). Τότε η εξίσωση της καθέτου της ευθείας $x+y+1=0,\,\,(1)$ στο Κ είναι $(\varepsilon):y-y_0=x-x_0$ . Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο του Μ ως προς την (ε), το οποίο καλούμε Μ'. Το Μ' θα ανήκει στην προσπίπτουσα ακτίνα και μετά από πράξεις (κλασσική μέθοδος εύρεσης συμμετρικού σημείου ως προς ευθεία) βρίσκουμε ότι θα έχει συντεταγμένες $(1-y_0+x_0,1+y_0-x_0)$ . Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της προσπίπτουσας (KΣ) θα είναι
$\frac{3-1-y_0+x_0}{2-1+y_0-x_0}=\frac{2-y_0+x_0}{1+y_0-x_0}$
και η εξίσωσή της
$y-3=\frac{2-y_0+x_0}{1+y_0-x_0}(x-2),\,\,(2)$
Οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν τις (1),(2) από το σύστημα των οποίων βρίσκουμε $K\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$
Έτσι οι ευθείες των ακτίνων βρίσκουμε ότι έχουν εξισώσεις $(K\Sigma):\,y=\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}$ και $(KM):\,y=\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
O querty αναφέρεται σε αυτό το σημείο μάλλον
$\chi +2\psi = 0 \Rightarrow -2\lambda +2\lambda =0\Rightarrow \left(-2 + 2 \right)\lambda =0\Rightarrow 0\lambda =0$ που ιχυει για καθε $\lambda \in R$ και λέει απλά ότι οι συνεπαγωγές θα έπρεπε να είναι ανάποδα αφού μας ενδιαφέρει η προς τα αριστερά και όχι η προς τα δεξιά κατεύθυνση.

η λυση σου μοιαζει με αυτα που κανουμε στην ευθεια στην β λυκειου

γραφω και διαγωνισμα την τριτη...και δεν την εχω πολυκαταλαβει

αλλα μοιάζει πάντως

maria98125 · 06-01-12

Εάν μας δίνουν τις συντεταγμένες τριών σημείων που στα δύο από αυτά υπάρχει άγνωστος και μας ζητάει να βρούμε τις τιμές του αγνωστου έτσι ώστε αυτά τα τρια σημεία να αποτελούν κορυφές τριγώνου τι κάνουμε?

rebel · 06-01-12

Έστω Α,Β,Γ τα σημεία αυτά. Για να μην είναι συνευθειακά πρέπει και αρκεί $\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right) \neq 0$

maria98125 · 06-01-12

ναι το σκέφτηκα αυτό.. αλλά πρέπει να βρούμε τον άγνωστο

rebel · 06-01-12

Βρίσκεις τις τιμές του λ για τις οποίες μηδενίζεται η ορίζουσα. Αν πχ μηδενίζεται για λ=1 και λ=2 τότε λες ότι τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο αν και μόνο αν $\lambda \neq 1$ και $\lambda \neq 2$

antwwwnis · 06-01-12

Αρχική Δημοσίευση από maria98125:
ναι το σκέφτηκα αυτό.. αλλά πρέπει να βρούμε τον άγνωστο

Προφανώς δε θα βρεις μια τιμή του ''αγνώστου''. Αλλά ένα σύνολο τιμών που μπορεί να πάρει ώστε να μη μηδενίζεται η ορίζουσα.

maria98125 · 06-01-12

δηλαδή δε χρειάζεται να βρω μια συγκεκριμένη τιμή?

rebel · 06-01-12

Στο παράδειγμα που ανέφερα το σύνολο που λέει ο Αντώνης θα ήταν το $(-\infty,1)\cup(1,2)\cup (2,+\infty)$ . Αν το λ ανήκει σε αυτό το σύνολο τότε τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο.

maria98125 · 06-01-12

Οι συντεταγμένες είναι: Α(-1,2) Β(1,λ-1) Γ(λ-1,λ-1)
Πήρα τα διανύσματα ΑΒ(2,λ-3) και ΑΓ(λ,λ-3) και η ορίζουσα μου βγήκε (-λ(τετράγωνο)+2λ) το οποίο έχει διακρίνουσα -7
Τι έχω κάνει λάθος?

maria98125 · 06-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Στο παράδειγμα που ανέφερα το σύνολο που λέει ο Αντώνης θα ήταν το $(-\infty,1)\cup(1,2)\cup (2,+\infty)$ . Αν το λ ανήκει σε αυτό το σύνολο τότε τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο.

Και πώς θα αποδείξουμε ότι ο άγνωστος ανήκει σε αυτό το σύνολο?

rebel · 06-01-12

Στον υπολογισμό. H ορίζουσα είναι $2(\lambda-3)-\lambda(\lambda-3)=(2-\lambda)(\lambda-3)$ . Οπότε τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο για $\lambda \in (-\infty,2)\cup(2,3)\cup(3,+\infty)$

maria98125 · 06-01-12

Μα αφού βγήκε (2-λ)(λ-3). Αυτό πρέπει να είναι διαφορετικό του μηδενός. Άρα το λ δεν πρέπει να είναι 2 και 3

rebel · 06-01-12

Αρχική Δημοσίευση από maria98125:
Και πώς θα αποδείξουμε ότι ο άγνωστος ανήκει σε αυτό το σύνολο?

$A,B,\Gamma \kappa o \rho \upsilon \phi \acute{\epsilon} \varsigma \,\, \tau \rho \iota \gamma \acute{\omega} \nu o \upsilon \Leftrightarrow \det\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right) \neq 0 \Leftrightarrow \lambda \neq 1 \,\,\kappa \alpha \iota\,\, \lambda \neq 2 \Leftrightarrow \lambda \in (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$

maria98125 · 06-01-12

Aαααα ναι!! Eυχαριστώ..!! Ξέχασα πως είναι διάφορο.. Πάντως ευχαριστώ πολύ

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος