Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

3v@Ki · 2012-01-06T00:10:28+0200

εγω ξερω οτι η ισοδυναμια χρειαζεται οταν για να αποδειξεις κατι ξεκινας με την υποθεση οτι ετσω οτι ισχυει αυτο που θες να αποδειξεις και καταληξεις σε κατι που επισης ισχυει αλλα βαζεις ισοδυναμιες γιατι τελικα πρεπει να γυρισεις πισω ξανα στην αρχικη υποθεση που εκανες...εγω δεν εκανα την υποθεση "εστω οτι την επαληθευει" αλλα κατεληξα με μια σειρα λογικων πραξεων στο οτι την επαληθευει

qwerty111 · 2012-01-06T00:14:20+0200

Ένα ενδιαφέρον άρθρο https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=67&t=3901

vimaproto · 2012-01-06T00:55:44+0200

Αρχική Δημοσίευση από elissavet21:
καλησπέρα!!! μπορειτε να με βοηθησετε με την παρακάτω ασκηση?

Φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο Σ (2, 3) και προσπίπτουσα στην ευθεία x + y + 1 = 0, μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο
Μ (1, 1). Να βρεθούν οι εξισώσεις της προσπίπτουσας και της ανακλόμενης ακτίνας.

Θα περιγράψω την άσκηση γιατί οι πράξεις είναι πολλές
Οι εξισώσεις (ε1) y=λx+k και διερχόμενη από το Σ(2,3) γίνεται y=λx+3-2λ
η (ε2) y=μx+ρ και διερχόμενη από το (1,1) γίνεται y=μx+1-μ
Η κάθετος στην χ+y+1=0 είναι y=x+θ και διέρχεται από το σημείο τομής των ε1 και ε2 που ανήκει στην x+y+1=0
Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκλασης δηλ η γωνίες των ε1 και ε2 με την κάθετο είναι ίσες και από τη σχέση εφ(Α-Β)=(εφΑ-εφΒ)/(1+εφΑεφΒ) όπου οι εφαπτομένη ισούται με τον συντελεστή κατεύθυνσης βρίσκω λμ=1
ετσι η ε2 γράφεται y=(x/λ) +1-(1/λ) Λύνω το σύστημα των ε1 και ε2 και τις τιμές των χ,y τις αντικαθιστώ στην x+y+1=0 και προκύπτει μια εξίσωση ως προς λ από την οποία βρίσκω τον λ , άρα και τις ε1, ε2.

elissavet21 · 2012-01-06T12:16:39+0200

Ευχαριστω πολυ

vimaproto · 2012-01-06T15:17:18+0200

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Με αυτό το σκεπτικό δεν θα έπρεπε να υπάρχει καθόλου η ισοδυναμία.

Ρίξε μια ματιά στα μαθηματικά της Β' Γυμνασίου στις εξισώσεις. Υπάρχει το σύμβολο της ισοδυναμίας? Παρακολούθησε τα σχολικά βιβλία των μαθηματικών των τελευταίων 25 ετών. Θα δεις πολλές διαφοροποιήσεις. Τερτίπια? Δεν ξέρω.
Μου έρχεται στο νου μου ο ορισμός της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας. Σκέψου το.

rebel · 2012-01-06T15:23:26+0200

Μία άλλη προσέγγιση η οποία έχει κι αυτή κάποιες πράξεις. Έστω $K(x_0,y_0)$ το σημείο πρόσπτωσης (το σημείο που προσπίπτει και ανακλάται η ακτίνα). Τότε η εξίσωση της καθέτου της ευθείας $x+y+1=0,\,\,(1)$ στο Κ είναι $(\varepsilon):y-y_0=x-x_0$ . Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο του Μ ως προς την (ε), το οποίο καλούμε Μ'. Το Μ' θα ανήκει στην προσπίπτουσα ακτίνα και μετά από πράξεις (κλασσική μέθοδος εύρεσης συμμετρικού σημείου ως προς ευθεία) βρίσκουμε ότι θα έχει συντεταγμένες $(1-y_0+x_0,1+y_0-x_0)$ . Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της προσπίπτουσας (KΣ) θα είναι
$\frac{3-1-y_0+x_0}{2-1+y_0-x_0}=\frac{2-y_0+x_0}{1+y_0-x_0}$
και η εξίσωσή της
$y-3=\frac{2-y_0+x_0}{1+y_0-x_0}(x-2),\,\,(2)$
Οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν τις (1),(2) από το σύστημα των οποίων βρίσκουμε $K\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$
Έτσι οι ευθείες των ακτίνων βρίσκουμε ότι έχουν εξισώσεις $(K\Sigma):\,y=\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}$ και $(KM):\,y=\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από 3v@Ki:
εγω ξερω οτι η ισοδυναμια χρειαζεται οταν για να αποδειξεις κατι ξεκινας με την υποθεση οτι ετσω οτι ισχυει αυτο που θες να αποδειξεις και καταληξεις σε κατι που επισης ισχυει αλλα βαζεις ισοδυναμιες γιατι τελικα πρεπει να γυρισεις πισω ξανα στην αρχικη υποθεση που εκανες...εγω δεν εκανα την υποθεση "εστω οτι την επαληθευει" αλλα κατεληξα με μια σειρα λογικων πραξεων στο οτι την επαληθευει

O querty λέει απλά ότι στο σημείο

Αρχική Δημοσίευση από 3v@Ki:
$\chi +2\psi = 0 \Rightarrow -2\lambda +2\lambda =0\Rightarrow \left(-2 + 2 \right)\lambda =0\Rightarrow 0\lambda =0$ που ιχυει για καθε $\lambda \in R$

οι συνεπαγωγές θα έπρεπε να είναι ανάποδα αφού μας ενδιαφέρει η προς τα αριστερά και όχι η προς τα δεξιά κατεύθυνση. Διάβασε αυτό το άρθρο και θα καταλάβεις πως το εννοεί

kiriazispao4ever · 2012-01-06T16:17:00+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία άλλη προσέγγιση η οποία έχει κι αυτή κάποιες πράξεις. Έστω $K(x_0,y_0)$ το σημείο πρόσπτωσης (το σημείο που προσπίπτει και ανακλάται η ακτίνα). Τότε η εξίσωση της καθέτου της ευθείας $x+y+1=0,\,\,(1)$ στο Κ είναι $(\varepsilon):y-y_0=x-x_0$ . Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο του Μ ως προς την (ε), το οποίο καλούμε Μ'. Το Μ' θα ανήκει στην προσπίπτουσα ακτίνα και μετά από πράξεις (κλασσική μέθοδος εύρεσης συμμετρικού σημείου ως προς ευθεία) βρίσκουμε ότι θα έχει συντεταγμένες $(1-y_0+x_0,1+y_0-x_0)$ . Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της προσπίπτουσας (KΣ) θα είναι
$\frac{3-1-y_0+x_0}{2-1+y_0-x_0}=\frac{2-y_0+x_0}{1+y_0-x_0}$
και η εξίσωσή της
$y-3=\frac{2-y_0+x_0}{1+y_0-x_0}(x-2),\,\,(2)$
Οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν τις (1),(2) από το σύστημα των οποίων βρίσκουμε $K\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$
Έτσι οι ευθείες των ακτίνων βρίσκουμε ότι έχουν εξισώσεις $(K\Sigma):\,y=\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}$ και $(KM):\,y=\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
O querty αναφέρεται σε αυτό το σημείο μάλλον
$\chi +2\psi = 0 \Rightarrow -2\lambda +2\lambda =0\Rightarrow \left(-2 + 2 \right)\lambda =0\Rightarrow 0\lambda =0$ που ιχυει για καθε $\lambda \in R$ και λέει απλά ότι οι συνεπαγωγές θα έπρεπε να είναι ανάποδα αφού μας ενδιαφέρει η προς τα αριστερά και όχι η προς τα δεξιά κατεύθυνση.

η λυση σου μοιαζει με αυτα που κανουμε στην ευθεια στην β λυκειου

γραφω και διαγωνισμα την τριτη...και δεν την εχω πολυκαταλαβει

αλλα μοιάζει πάντως

maria98125 · 2012-01-06T17:23:21+0200

Εάν μας δίνουν τις συντεταγμένες τριών σημείων που στα δύο από αυτά υπάρχει άγνωστος και μας ζητάει να βρούμε τις τιμές του αγνωστου έτσι ώστε αυτά τα τρια σημεία να αποτελούν κορυφές τριγώνου τι κάνουμε?

rebel · 2012-01-06T17:37:51+0200

Έστω Α,Β,Γ τα σημεία αυτά. Για να μην είναι συνευθειακά πρέπει και αρκεί $\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right) \neq 0$

maria98125 · 2012-01-06T17:40:17+0200

ναι το σκέφτηκα αυτό.. αλλά πρέπει να βρούμε τον άγνωστο

rebel · 2012-01-06T17:52:28+0200

Βρίσκεις τις τιμές του λ για τις οποίες μηδενίζεται η ορίζουσα. Αν πχ μηδενίζεται για λ=1 και λ=2 τότε λες ότι τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο αν και μόνο αν $\lambda \neq 1$ και $\lambda \neq 2$

antwwwnis · 2012-01-06T17:54:06+0200

Αρχική Δημοσίευση από maria98125:
ναι το σκέφτηκα αυτό.. αλλά πρέπει να βρούμε τον άγνωστο

Προφανώς δε θα βρεις μια τιμή του ''αγνώστου''. Αλλά ένα σύνολο τιμών που μπορεί να πάρει ώστε να μη μηδενίζεται η ορίζουσα.

maria98125 · 2012-01-06T17:58:42+0200

δηλαδή δε χρειάζεται να βρω μια συγκεκριμένη τιμή?

rebel · 2012-01-06T18:06:11+0200

Στο παράδειγμα που ανέφερα το σύνολο που λέει ο Αντώνης θα ήταν το $(-\infty,1)\cup(1,2)\cup (2,+\infty)$ . Αν το λ ανήκει σε αυτό το σύνολο τότε τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο.

maria98125 · 2012-01-06T18:07:28+0200

Οι συντεταγμένες είναι: Α(-1,2) Β(1,λ-1) Γ(λ-1,λ-1)
Πήρα τα διανύσματα ΑΒ(2,λ-3) και ΑΓ(λ,λ-3) και η ορίζουσα μου βγήκε (-λ(τετράγωνο)+2λ) το οποίο έχει διακρίνουσα -7
Τι έχω κάνει λάθος?

maria98125 · 2012-01-06T18:09:26+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Στο παράδειγμα που ανέφερα το σύνολο που λέει ο Αντώνης θα ήταν το $(-\infty,1)\cup(1,2)\cup (2,+\infty)$ . Αν το λ ανήκει σε αυτό το σύνολο τότε τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο.

Και πώς θα αποδείξουμε ότι ο άγνωστος ανήκει σε αυτό το σύνολο?

rebel · 2012-01-06T18:13:51+0200

Στον υπολογισμό. H ορίζουσα είναι $2(\lambda-3)-\lambda(\lambda-3)=(2-\lambda)(\lambda-3)$ . Οπότε τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο για $\lambda \in (-\infty,2)\cup(2,3)\cup(3,+\infty)$

maria98125 · 2012-01-06T18:20:55+0200

Μα αφού βγήκε (2-λ)(λ-3). Αυτό πρέπει να είναι διαφορετικό του μηδενός. Άρα το λ δεν πρέπει να είναι 2 και 3

rebel · 2012-01-06T18:23:05+0200

Αρχική Δημοσίευση από maria98125:
Και πώς θα αποδείξουμε ότι ο άγνωστος ανήκει σε αυτό το σύνολο?

$A,B,\Gamma \kappa o \rho \upsilon \phi \acute{\epsilon} \varsigma \,\, \tau \rho \iota \gamma \acute{\omega} \nu o \upsilon \Leftrightarrow \det\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right) \neq 0 \Leftrightarrow \lambda \neq 1 \,\,\kappa \alpha \iota\,\, \lambda \neq 2 \Leftrightarrow \lambda \in (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$

maria98125 · 2012-01-06T18:28:38+0200

Aαααα ναι!! Eυχαριστώ..!! Ξέχασα πως είναι διάφορο.. Πάντως ευχαριστώ πολύ

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος