Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

169 · 21-07-08

λοιπον νομιζω οτι στο τελος κατι δεν παει καλα , λες πως οι μονες περιπτωσεις που εμειναν ακαλυπτες ειναι οι χ^2<1/4 και y^2<1/2 αρα χ^2+y^2

/4 μετα αντικαθιστας στην δευτερη σχεση που δινεται την χ^2+y^2=3/4 και την y^2=1/2(αληθεια με ποια λογικη; )και καταληγεις σε κατι που ισχυει ε .. και; απεδειξες οτι η δευτερη σχεση ειναι σωστη για χ^2=1/4 και y^2=1/2 και οχι για χ^2<1/4 και y^2<1/2
διορθωσε με αν κανω λαθος γιατι δεν σε εχω πιασει σε γενικες γραμμες :xixi:

george_k214 · 22-07-08

έχεις δίκαιο 169...το συνειδητοποίησα και εγώ οτι έχω κάνει λάθος αλλά με πρόλαβες!
ενώ ο τρόπος αυτος περπατάει για τις δύο πρώτες περιπτώσεις,όταν χ^2<ή=1/4 και y^2<ή=1/2,τοτε δεν ξέρουμε αν ισχύει κάποια από τις δύο σχέσεις!

σορρυ για το λάθος...αγνόησε όμως τη λύση και προσπάθησε να βγάλεις την άσκηση με απαγωγή σε άτοπο(έτσι πρότεινε ο Στέλιος)!

Γιώργος

mostel · 22-07-08

Βασικά η λύση με άτοπο δεν είναι τόσο απλή, οπότε την παραθέτω. Όποια άλλη λύση βρείτε, είναι ευπρόσδεκτη.

Γενικά θα αποδείξω ότι δεν ισχύει: ( $\wedge$ = KAI )

$|1+z|<\frac{1}{\sqrt{2}}\qquad\wedge\qquad |1+z^2|<1$

Για $z=a+bi$ , θα έχουμε:

$z^2=a^2-b^2+2abi$

Έτσι θα έχουμε:

$|1+a+bi|<\frac{1}{\sqrt{2}}$

$(1+a)^2+b^2<\frac{1}{2}$

Ακόμη:

$|1+z^2|<1$

$|1+a^2+2abi-b^2|<1$

$(1+a^2-b^2)^2+4(ab)^2<1$

$(a^2+b^2)^2+2(a^2-b^2)<0$

Δηλαδή θα έχουμε:

$(a^2+b^2)^2+2(a^2-b^2)<0\qquad\wedge\qquad 2(a^2+b^2)+4a+1<0$

Προσθέτοντας και τις δύο πέρνουμε:

$(a^2+b^2)^2+(2a+1)^2<0$

που είναι άτοπο.

Άρα ισχύει το ακριβώς αντίθετο, δηλαδή: ( $\vee$ = 'Η )

$|1+z|\geq\frac{1}{\sqrt{2}}\qquad\vee\qquad|1+z^2|\geq 1$

Στέλιος

PS: Βλέπουμε, ότι στο συγκεκριμένο άτοπο, παίζει πολύ σημαντικό ρόλο η κατανόηση της προτασιακής λογικής. Δηλαδή όταν μας λέει "ή", εμείς πάμε σε άτοπο με το "και" , και γενικά αντιστρέφουμε τη φορά της ανίσο-ισότητας. Αν είναι απλώς μεγαλύτερη, το κάνουμε μικρότερο ή ίσο, αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο, απλώς το κάνουμε μικρότερο, κ.λπ.

george_k214 · 22-07-08

Στέλιο έιχα φτάσει ακριβώς στις δύο σχέσεις που έφτασες και εσύ αλλά δεν ήμουν σίγουρος οτι αρκούσε να αποδείξω οτι δεν ισχύει το "και"!Όποτε ξαναέχεις ελεύθερο χρόνο βάλε και καμιά άλλη ασκηση!

Ευχαριστώ εκ των προτέρων,
Γιώργος

Απορία:Εξασφαλίσαμε με το "και" οτι δεν ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα.Το "ή" σημαίνει οτι πρέπει οπωσδήποτε να ισχύει τουλάχιστον η μία από τις δύο σχέσεις!Το ενδεχόμενο να μην ισχύει καμία από τις σχέσεις εξετάζεται με αυτόν τον τρόπο?

Undead · 22-07-08

ΑΣΚΗΣΗ

Αν για τον μιγαδικό $z$ ισχύει $z^{2008}-2008z+2008=0$

Ν.Δ.Ο ο $z$ δεν είναι πραγματικός

mostel · 22-07-08

Έστω $z\in\mathbf{R}$ .

$f(z)=z^{2008}-2008z+2008$

$f'(z)=2008z^{2007}-2008=2008(z^{2007}-1)$

Άρα η παράγωγος μηδενίζεται στο $z=1$ , για το οποίο, από πίνακα μονοτονίας, παρατηρούμε ότι είναι ελάχιστο.

$f_{min}=f(1)=1>0$

Επομένως, δεν έχει λύση στους πραγματικούς, άρα $z\notin\mathbf{R}$ .

Στέλιος

mostel · 22-07-08

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
Απορία:Εξασφαλίσαμε με το "και" οτι δεν ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα.Το "ή" σημαίνει οτι πρέπει οπωσδήποτε να ισχύει τουλάχιστον η μία από τις δύο σχέσεις!Το ενδεχόμενο να μην ισχύει καμία από τις σχέσεις εξετάζεται με αυτόν τον τρόπο?

Φυσικά.

Στην προτασιακή λογική, όταν δεν ισχύει το και, ισχύει το ή. (δηλαδή ισχύουν γενικά τα ανάποδα)

chris_90 · 22-07-08

Λοιπον, στην προηγουμενη ασκηση εχω καποιες αποριες (οχι που δε θα 'χα

)

$(1+a)^2+b^2<\frac{1}{2}$
$(1+a^2-b^2)^2+4(ab)^2<1$

Ωραια, σ' αυτες τις σχεσεις κατεληξα κι εγω! Μετα πως πηγες στις επομενες δηλαδη τι πραξεις εκανες; (χαζη ερωτηση, αλλα στις πραξεις εχω μεγαλο προβλημα)

Επισης: γιατι το

$(a^2+b^2)^2+(2a+1)^2<0$

ειναι ατοπο; (EDIT: οκ, καταλαβα ειναι αθροισμα τετραγωνων! ΤΙ ΒΛΑΚΑΣ ΠΟΥ ΕΙΜΑΙ)

Επισης καπου χαθηκα οσον αφορα το η και το και. Δηλαδη οταν λεμε οτι ισχυει η η μια σχεση η η αλλη, δεν υπαρχει περιπτωση να ισχυουν και οι δυο ταυτοχρονα; Μπερδευτηκα σ' αυτο :what:
Sorry αν σε κουρασα!

169 · 22-07-08

αλλη μια αρκετα εξυπνη
Αν |α|=|β|=|α-β|=1 και γ=α/β με α,β,γ μιγαδικοι ναο
(α)γ^3=-1
(β)|α^2006+β^2006|=1

george_k214 · 22-07-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Φυσικά.

Στην προτασιακή λογική, όταν δεν ισχύει το και, ισχύει το ή. (δηλαδή ισχύουν γενικά τα ανάποδα)

Επειδή με προβλημάτισε το θέμα όμως ρε Στέλιο ο καθήγητης μου μου είπε οτι η πρόταση:
"p ή q" δεν είναι ισοδύναμη της άρνησης της πρότασης "p και q" αλλά της πρότασης "άρνηση p και άρνηση q"...
επιφυλάσσομαι ωστόσο γιατί μπορεί να μην κατάλαβε αυτό που τον ρώτησα(τώρα τελείωσα μάθημα και του το είπα στα γρήγορα)...

mostel · 22-07-08

Σίγουρα είανι έτσι η εκφώνηση ;

mostel · 22-07-08

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
Επειδή με προβλημάτισε το θέμα όμως ρε Στέλιο ο καθήγητης μου μου είπε οτι η πρόταση:
"p ή q" δεν είναι ισοδύναμη της άρνησης της πρότασης "p και q" αλλά της πρότασης "άρνηση p και άρνηση q"...
επιφυλάσσομαι ωστόσο γιατί μπορεί να μην κατάλαβε αυτό που τον ρώτησα(τώρα τελείωσα μάθημα και του το είπα στα γρήγορα)...

Έχει απόλυτο δίκαιο ο καθηγητής σου. Κι εγώ αυτό ακριβώς έκανα

Άρνηση P (δηλαδή από μεγαλύτερο ή ίσο το κάνω μικρότερο) ΚΑΙ Άρνηση Q (από μεγαλύτερο ή ίσο το κάνω μικρότερο).

george_k214 · 22-07-08

Σωστός!Ευχαριστώ πολύ πάντως,τώρα το πρόσεξα και εγω!

Γιώργος

169 · 22-07-08

Στελιο η εκφωνηση ειναι σωστη

mostel · 22-07-08

Ok, τότε η λύση μου:

Έχουμε:

$a\overline{b}+\overline{a}b=1$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1$

$a^2-ab+b^2=0$

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=0$

$a^3+b^3=0$

$\frac{a^3}{b^3}=-1$

$\left(\frac{a}{b}\right)^3=-1$

$c^3=-1$

mostel · 22-07-08

Αρχική Δημοσίευση από chris_90:
Λοιπον, στην προηγουμενη ασκηση εχω καποιες αποριες (οχι που δε θα 'χα )
Ωραια, σ' αυτες τις σχεσεις κατεληξα κι εγω! Μετα πως πηγες στις επομενες δηλαδη τι πραξεις εκανες; (χαζη ερωτηση, αλλα στις πραξεις εχω μεγαλο προβλημα)

Επισης: γιατι το
ειναι ατοπο; (EDIT: οκ, καταλαβα ειναι αθροισμα τετραγωνων! ΤΙ ΒΛΑΚΑΣ ΠΟΥ ΕΙΜΑΙ)

Επισης καπου χαθηκα οσον αφορα το η και το και. Δηλαδη οταν λεμε οτι ισχυει η η μια σχεση η η αλλη, δεν υπαρχει περιπτωση να ισχυουν και οι δυο ταυτοχρονα; Μπερδευτηκα σ' αυτο :what:
Sorry αν σε κουρασα!

Υπάρχει περίπτωση, αλλά αυτό δεν έχει να κάνει με την εις άτοπο απαγωγή που έκανα. Απλώς, στην εις άτοπο, λέμε έστω ότι ισχύει το ανάποδο. Το οποίο ανάποδο το γράφουμε και πιο πάνω και ο Γιώργος κι εγώ.

Τώρα, για τις πράξεις, απλώς κάνω ανάπτυξη του τετράγωγου...

Στέλιος

169 · 22-07-08

το πρωτο ειναι σωστο:no1:
για το δευτερο ειναι
|α^2006+β^2006|=|β^2006||γ^2006+1|=|γ^2006+1|(1)
ομως απο το πρωτο γ^3=-1<=>(γ^3)^668=(-1)^668<=>γ^2006=γ^2
αρα η (1)=|γ^2+1|=|γ^2-γ^3|=|1-γ|=|α-β|/|β|=1

mostel · 22-07-08

Καταρχήν έχω λάθος εγώ, γιατί δεν είδα το 2006. Κατά δεύτερον έχεις λάθος και εσύ ( $c^{2006}=c^2$ ? lol ) . Βέβαια, καταλαβαίνω τι κάνεις, αλλά μη περιμένεις στις πανελλαδικές αυτό να στο πάρουν σωστό. Αν πίανει 8 μόρια, ούτε 2 δε θα πάρεις έτσι!

Έκανα βέβαια λάθος, γιατί θεώρησα από βιασύνη μου:

$<br /> 2006\pmod 3\equiv 0$ , που 'ναι λάθος.

Αυτά παθαίνει όταν πάει κάποιος να λύσει την άσκηση απευθείας στο pc και δε τη λύνει πρόχειρα σε χαρτί

Stelios.

chris_90 · 22-07-08

Thanks Στελιο :no1:
Οσο για την ασκηση της 169, το α ερωτημα το ελυσα περιπου οπως ο Στελιος (οχι τοσο συντομη λυση βεβαια, πηγα λιγο μεσω Τρικαλων) αλλα το β δεν το καταλαβα.

169 · 22-07-08

Βρε Στελιο γιατι ειναι λαθος αυτο που κανω; μπορεις να γραψεις αναλυτικα την λυση σου για το δευτερο

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος