mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Να και μια απο εμενα:
Έστω οι μιγαδικοί και
ΝΔΟ
Παλιό θέμα Θαλή... BCS στην
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σωστή μου φαινεται η λυση σου Στέλιο.
Και πολυ σωστη η παρατήρηση για το θ. Πτολεμαιου.
Αυτη ειναι ουσιαστικα η ανισοτητα του αν θεωρήσουμε
οτι το a ειναι το διανυσμα για το A, το b για το Β , το c για το Γ
και το 0 για το Δ
Το Θ Πτολεμαιου ειχα στην αρχη στο μυαλο μου οταν ζητησα ισοτητα
Μια λιγο συντομοτερη λυση ειναι η εξής
και τριγωνικη
Είναι συμπαθητική άσκηση, απλώς αν την έβαζες π.χ. στο σχολείο θα έτρωγες άπειρο κράξιμο
Καλά έκανες πάντως και την έβαλες, για να με (μας) κρατάς σε μια επαφή με την πανέμορφη ευκλείδια γεωμετρία, την οποία δυστυχώς έχω παρατήσει από τότε που έδωσα τελευταία φορά εξετάσεις σε μαθηματικούς διαγωνισμούς.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Οπότε αρκεί ν.δ.ό:
Η ισότητα ισχύει όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, σύμφωνα με το 1ο θεώρημα του Πτολεμαίου.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
όμως , άρα:
Αν , τότε θα 'χαμε , μιας και γινόμενο ρητού και άρρητου μας κάνει άρρητο. Άρα οφείλει . Αντίστοιχα και για το y. qed.
Πώς σου φάνηκε η άσκηση; Νομίζω ότι είναι καλή, δείχνει ποιος μαθητής μπορεί να σκεφτεί κάτι το παραπάνω, αλλά μπορεί και ο καθένας τη λύσει, αν όχι εξ' ολοκλήρου, το μεγαλύτερο μέρος της.
Στέλιος
Ps: Στο γεωμετρικό τόπο, όταν φεύγεις απ' τα τετράγωνα, παίρνεις δύο περιπτώσεις. Με τη μία περίπτωση βρίσκεις για γεωμετρικό τόπο την y=-x, ενώ με την άλλη x=y=0, που 'ναι άτοπο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
α) Να δειχθεί ότι το γινόμενο είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
β) Αν , τότε:
i) Να δειχθεί ότι η εικόνα του z ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
ii) Να δειχθεί ότι οι .
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν και για να μη μεθοδολογούμε εντελώς, μπορούμε να κάνουμε κλασικά το σχηματάκι μας και να δουλέψουμε από εκεί, έχοντας μια οπτική εικόνα για το τι κάνουμε.
Γενικά να θυμάστε:
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ = ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!
Επομένως, μη διστάσετε, αν δε σας έρχεται κάτι από άποψη εμπειρίας κατά νου, να κάνετε το σχήμα. Μας ανοίγει τα μάτια πολλές φορές!
Τα λέμε απ' την άλλη βδομάδα, μιας και την κάνω για διακοπές.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για , αν ισχύει ότι:
,
να δειχθεί ότι:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν και ισχύει ότι:
,
να δειχθεί ότι:
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν Β, Γ, Δ οι εικόνες των αντίστοιχα τότε
Α = (ΒΓ) + (ΒΔ)
Τα Γ, Δ είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου με κέντρο Ο και ρ = 4,
άρα η Α γίνεται ελάχιστη όταν Β, Γ, Δ συνευθειακά και
Α = (ΒΓ) + (ΒΔ) = (ΓΔ) = 2ρ = 8
Sorry για πριν, αντί για 8, είδα 6. Είναι σωστή η λύση σας.
Η δική μου έχει ως εξής:
Από ταυτότητα Euler για παρ/μο, παίρνουμε:
(Cauchy Schwarz)
Άρα
H ελάχιστη προκύπτει όταν είναι ομόρροπα, όπως αναφέρατε. Δηλαδή όταν έχουν απόσταση 2ρ=8
Υπάρχει και ακόμη μία λύση με καθαρά χρήση μιγαδικών. Δηλαδή:
όπου και
Μπορούμε να περιοριστούμε (όσον αφορά το τριγωνάκι που σχηματίζεται) στο [0,π] λόγω συμμετρίας και να έχουμε:
Αυτή με παραγώγιση , βρίσκουμε ότι έχει max το 10 και min το 8.
Υπάρχει και η γεωμετρική σαφώς λύση, με θεώρημα διαμέσων, κ.λπ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
8<=Α<=10
To max είναι σωστό, το min είναι λάθος.
Αν θέλετε, βάλτε αναλυτικά και τη λύση σας.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
ΥΣ: Δεν είναι και τόσο απλή...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Aν για τους μιγαδικούς , ισχύει και , να βρεθεί η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της παράστασης:
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έκανα βέβαια λάθος, γιατί θεώρησα από βιασύνη μου:
, που 'ναι λάθος.
Αυτά παθαίνει όταν πάει κάποιος να λύσει την άσκηση απευθείας στο pc και δε τη λύνει πρόχειρα σε χαρτί
Stelios.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Λοιπον, στην προηγουμενη ασκηση εχω καποιες αποριες (οχι που δε θα 'χα )
Ωραια, σ' αυτες τις σχεσεις κατεληξα κι εγω! Μετα πως πηγες στις επομενες δηλαδη τι πραξεις εκανες; (χαζη ερωτηση, αλλα στις πραξεις εχω μεγαλο προβλημα)
Επισης: γιατι το
ειναι ατοπο; (EDIT: οκ, καταλαβα ειναι αθροισμα τετραγωνων! ΤΙ ΒΛΑΚΑΣ ΠΟΥ ΕΙΜΑΙ)
Επισης καπου χαθηκα οσον αφορα το η και το και. Δηλαδη οταν λεμε οτι ισχυει η η μια σχεση η η αλλη, δεν υπαρχει περιπτωση να ισχυουν και οι δυο ταυτοχρονα; Μπερδευτηκα σ' αυτο :what:
Sorry αν σε κουρασα!
Υπάρχει περίπτωση, αλλά αυτό δεν έχει να κάνει με την εις άτοπο απαγωγή που έκανα. Απλώς, στην εις άτοπο, λέμε έστω ότι ισχύει το ανάποδο. Το οποίο ανάποδο το γράφουμε και πιο πάνω και ο Γιώργος κι εγώ.
Τώρα, για τις πράξεις, απλώς κάνω ανάπτυξη του τετράγωγου...
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έχουμε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Επειδή με προβλημάτισε το θέμα όμως ρε Στέλιο ο καθήγητης μου μου είπε οτι η πρόταση:
"p ή q" δεν είναι ισοδύναμη της άρνησης της πρότασης "p και q" αλλά της πρότασης "άρνηση p και άρνηση q"...
επιφυλάσσομαι ωστόσο γιατί μπορεί να μην κατάλαβε αυτό που τον ρώτησα(τώρα τελείωσα μάθημα και του το είπα στα γρήγορα)...
Έχει απόλυτο δίκαιο ο καθηγητής σου. Κι εγώ αυτό ακριβώς έκανα
Άρνηση P (δηλαδή από μεγαλύτερο ή ίσο το κάνω μικρότερο) ΚΑΙ Άρνηση Q (από μεγαλύτερο ή ίσο το κάνω μικρότερο).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Απορία:Εξασφαλίσαμε με το "και" οτι δεν ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα.Το "ή" σημαίνει οτι πρέπει οπωσδήποτε να ισχύει τουλάχιστον η μία από τις δύο σχέσεις!Το ενδεχόμενο να μην ισχύει καμία από τις σχέσεις εξετάζεται με αυτόν τον τρόπο?
Φυσικά.
Στην προτασιακή λογική, όταν δεν ισχύει το και, ισχύει το ή. (δηλαδή ισχύουν γενικά τα ανάποδα)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Άρα η παράγωγος μηδενίζεται στο , για το οποίο, από πίνακα μονοτονίας, παρατηρούμε ότι είναι ελάχιστο.
Επομένως, δεν έχει λύση στους πραγματικούς, άρα .
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Γενικά θα αποδείξω ότι δεν ισχύει: ( = KAI )
Για , θα έχουμε:
Έτσι θα έχουμε:
Ακόμη:
Δηλαδή θα έχουμε:
Προσθέτοντας και τις δύο πέρνουμε:
που είναι άτοπο.
Άρα ισχύει το ακριβώς αντίθετο, δηλαδή: ( = 'Η )
Στέλιος
PS: Βλέπουμε, ότι στο συγκεκριμένο άτοπο, παίζει πολύ σημαντικό ρόλο η κατανόηση της προτασιακής λογικής. Δηλαδή όταν μας λέει "ή", εμείς πάμε σε άτοπο με το "και" , και γενικά αντιστρέφουμε τη φορά της ανίσο-ισότητας. Αν είναι απλώς μεγαλύτερη, το κάνουμε μικρότερο ή ίσο, αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο, απλώς το κάνουμε μικρότερο, κ.λπ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Τι να πω και εγώ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σε αυτή την άσκηση που έδωσες Στέλιο,θα πάρουμε αρχικά την πρώτη σχέση(αφου θέσουμε z=x+iy)και θα δούμε για ποιούς μιγαδικούς ισχυει(πχ ισχύει για αυτους που έχουν y>0).Έπειτα θα αποδείξουμε οτι για τους υπόλοιπους μιγαδικούς(αυτούς για τους οποίους ισχύει y<ή=0) ισχύει η άλλη σχέση.
Σώστη είναι η λογική αυτή?δουλεύει για αυτή την άσκηση?
(παράδειγμα δίνω με το y>0,δεν έχω λύσει ακόμα την άσκηση)
Αν θες βάλε τη λύση σου ολοκληρωμένα και θα σου πω.
Η λυσή μου είναι διαφορετική και βασίζεται στην εις άτοπο απαγωγή.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Να αποδειχθεί ότι για κάθε μιγαδικό , ισχύει:
ή
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
να αλλη μια (ειναι αρκετα απλη αλλα μου αρεσει)
νδο |z+2w|+|2z+w|+|3z+2w|<ή=5|z+w|+|z|+2|w| ... αντε παρτε μολυβι και χαρτι
Easy and cute
Stelios
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Βέβαια, τα μαθηματικά του λυκείου δεν είναι αληθινά. Είναι μπούρδες :p
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
νομιζω οτι αν υψωσεις και τα δυο μελη στο τετραγωνο βγαινει
εσεις τι λετε ;
Ναι, έτσι βγαίνει, αλλά δε προκύπτει τόσο εύκολα. Αν θες βάλε τη λύση σου, γιατί πρόκειται περί διδακτικής άσκησης πάνω στην ευχέρεια πράξεων στους μιγαδικούς.
Γενικά αυτά τα θέματα δε τα πολυπάω, αλλά τα πάνε με 1000 η επιτροπή των θεμάτων, γι' αυτο συνίσταται προσοχή, υπομονή και επιμονή όταν κάποιος πιάνει μολύβι και χαρτί για να τα λύσει.
Θέλουμε δε θέλουμε, αν μπει κάτι τέτοιο στις πανελλαδικές, θα πρέπει να είστε έτοιμοι να το αντιμετωπίσετε :iagree:
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
θεωρώ το πρώτο ερώτημα ότι έχει αποδειχθεί, γιατί βαριέμαι να κάτσω να γράφω και τη λύση για το 1ο ερώτημα
Δηλαδή, ότι όντως ισχύει:
Έστω η ρίζα του πολυωνύμου.
Θα ισχύει: , άρα από το πρώτο ερώτημα για , παίρνουμε:
(1)
Αν ήταν , τότε θα είχαμε: και .
Δηλαδή:
( από (1) )
, που είναι άτοπο, γιατί υποθέσαμε ότι .
Άρα είναι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Δείτε αυτή εν τω μεταξύ:
Για , ν.δ.ό:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Θα σου δώσω παράδειγμα:
Έστω ότι έχεις τον:
Και τον:
Και οι δύο έχουν μέτρα 1.
Έτσι:
Έστω τώρα
Έχουμε:
και
Έχουμε δηλαδή:
Και
που είναι διαφορετικά.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν έχεις μια σχέση:
Δε σου εγγυάται κανείς ότι:
Stelios
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Από το |u-z|=|1-2z| τι αφαιρείς ακριβώς και πώς ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Α, και οι ρίζες σε αυτή δε βρίσκονται!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Λύση 2η:
Είναι γνωστό ότι το ορθόκεντρο τριγώνου βρίσκεται στο:
Στην προκειμένη είναι .
Ακόμη, το βαρύκεντρο δίνεται από τον τύπο:
Άρα ορθόκεντρο=βαρύκεντρο=περίκεντρο = ισόπλευρο.
Λύση 3η:
Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα:
Όμως
Άρα:
Το ίδιο και για τα άλλα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
αλλά δεν έχει σχέση με τη λύση που προτείνει ο Μάνος.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
ή
(1)
Όμως και:
(2)
( από (1) )
(3)
Ακόμη:
(από (2) )
Όμως
Άρα
(από (3) )
ή
Αντίστοιχα και για τα άλλα βγαίνει ότι:
(Μάλιστα βρήκα ακριβώς το μέτρο )
Υπάρχει και δεύτερος τρόπος όμως για να βρούμε το μέτρο των , κ.λπ.
Γενικά το εμβαδόν ισοπλεύρου, είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι δίνεται από τον τύπο:
(4)
Όμως και το εμβαδόν τριγώνου, περιγεγραμμένου σε κύκλο, είναι επίσης γνωστό από γεωμετρία ότι δίνεται από τον τύπο:
όμως στην προκειμένη και . Άρα:
(5)
Ταυτίζοντας τις (4) και (5), παίρνουμε:
Άρα:
, και το ίδιο για τα άλλα.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
και έχουν μέτρο μεγαλύτερο της μονάδας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Δηλαδή:
Stelios
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Stelios
PS: Το πόσταρες σε λάθος τόπικ!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έχουμε:
Άρα:
Δηλαδή:
Qed!
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Putnam contest, 1959
Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών , είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, τότε η τρίτη κορυφή αυτού του τριγώνου θα είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού , όπου w είναι μη πραγματική ρίζα της εξίσωσης .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στην πρώτη ...
Στη δεύτερη είναι η κλασική ταυτότητα
Στην τρίτη από την υπόθεση πας το ένα από την άλλη, μετρώνεις και τα κλασικά :iagree:
Δείτε αυτή που έδωσα με τα πολυώνυμα. Πραγματικά αξίζει τον κόπο!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αφού ικανοποιούν την αρχική εξίσωση!
Δείτε και μία που 'χει αρκετό ενδιαφέρον. Το β' ερώτημα που βάζω της δίνει κάτι το μαγικό!
Θεωρούμε το πολυώνυμο:
με και
α) Να αποδείξετε ότι:
β) Αν είναι ρίζα του πολυωνύμου , τότε .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν είναι ρίζες της εξίσωσης: , να δειχθεί ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για το δεύτερο βρήκα λύση... Υψώνουμε τη σχέση στο τετράγωνο, μετά σπάμε το μέτρο στο τετράγωνο σε μιγαδικό και συζυγή, αντικαθιστούμε τους συζυγείς από το πρώτο ερώτημα, πολλαπλασιάζουμε τις παρενθέσεις, μετά πολλαπλασιάζουμε με και αφού είναι διάφορα του μηδενός(τα μέτρα τους είναι 1) και μετά παραγοντοποιούμε και βγαίνει η σχέση που θέλουμε. Αλλά για το τρίτο ερώτημα δεν ξέρω.
Για το γ εκμεταλλεύσου το β. Δηλαδή ή
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Ωραία Βαγγέλη, δεν ισχύει :nono::no1:
Πάντως είναι σίγουρα ίσο με το 0 η αρχική ισότητα. Το βαλα για να δω ποιοι θα ψαρώσουν
Αν δε μπει λύση σε λίγες μέρες, θα τη βάλω.
Ναι ισχύει σύμφωνα με την ανισότητα:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στο ερώτημα β. Σίγουρα αυτό είναι ίσο με 0? Εγώ βγάζω οτι είναι ίσο με 2. Κοιτάξτε το μία!
Σίγουρα είναι ίσο με 0.
Δες πώς έχει:
Μετά από πράξεις αυτό γίνεται:
Τώρα μετρώνεις... και έχεις:
Όμως
Άρα:
Αυτό ισχύει μόνο όταν τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα. Προφανώς και είναι ίσα από την υπόθεση.
E;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για το β εκμεταλλευτείτε υπόθεση και για το γ εκμεταλλευτείτε το β...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
ΑΣΚΗΣΗ 1
Έστω οι μιγαδικοί , για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:
Να αποδειχθεί ότι:
α) και
β)
γ)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.