Ενδιαφέροντα προβλήματα φυσικής, μαθηματικών και μηχανικής

[Cade]

Νομίζω υπολογίζεται αλλά δεν αξίζει τον κόπο πλέον, το πηγαίνεις κλασικά με Νευτώνεια.

 

[Samael]

Μπορείς να θεωρήσεις h = d ! Εαν και όντως , δεν συγκλίνει το ολοκλήρωμα σου .

 

[ιωαννηs]

Εδω εχουμε ασκησεις βολης ..παραξενες ομως ..και μια αντιμετωπισιμη και με διανυσματικο τροπο..ειναι πολυ βαρετες και μεγαλες.. τα σχηματα ειναι απλα γιατι τοτε ημουν ντιπ αματερ.. Ειναι παραπανω απο λυκειο.

Spoiler: Απαντηση

 

[Dias]

Γιάννη μου με τρομάζεις. Γιατί εγώ το λύνω μόνο σε 3 γραμμές;

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

​

 

[Samael]

Πρόβλημα :
Δύο παιδιά βρίσκονται σε έναν παιδότοπο . Το ένα παιδί βρίσκεται στο ένα άκρο του παιδότοπου και το άλλο βρίσκεται στο απέναντι άκρο . Κάθε άκρο συνδέεται μέσω μιας τσουλήθρας με το κέντρο του παιδότοπου . Τα παιδιά αποφασίζουν να παίξουν ένα παιχνίδι στο οποίο νικητής θα είναι αυτός που θα φτάσει πιο γρήγορα στο κέντρο , αφού τσουλίσει πρώτα απο την τσουλήθρα που βρίσκεται στην πλευρά του . Εαν η τσουλήθρα για το ένα παιδί έχει μορφή που δίνεται απο την σχέση y = x , και για το άλλο έχει μορφή y = x² , ποιο παιδί θα νικήσει;

Θεωρήστε οτι τα άκρα ισαπέχουν απο το κέντρο του παιδότοπου κατά d , πως οι τσουλήθρες δεν έχουν τριβές , και πως βρίσκονται στο ίδιο ύψος h .

Ας δούμε μια λύση σε αυτό .

Spoiler

Παρακάτω μπορούμε να δούμε τα αποτελέσματα του κώδικα σχετικά με την διαφορά του χρόνου που χρειάζεται το παιδί Α ( τσουλήθρα μορφής y = x ) σε σχέση με τον χρόνο που χρειάζεται το παιδί Β ( τσουλήθρα μορφής y = x² ) για να βρεθούν στο κέντρο του παιδότοπου .

Όπως είναι φανερό ισχύει tA > tB για κάθε ύψος h . Οπότε το παιδί που έχει την τσουλήθρα μορφής y = x² θα κερδίσει το παιχνίδι !









Εδώ μπορούμε να δούμε κάποια αποτελέσματα για N = 1000 σημεία και αρχικό ύψος h = 5m :

Ο κώδικας στο MATLAB είναι :

Spoiler

h = 5; % Αρχικό ύψος
g = 9.81; % Επιτάχυνση βαρύτητας
N = 1000; % Πλήθος σημείων τροχιάς
dx = h/(N-1); % Χωρικό βήμα

x = h: (-dx):0; % Τετμημένες σημείων τροχιάς
y = x.^2/h; % Τεταγμένες σημείων τροχιάς

dy = zeros(1,N-1); % Αποστάσεις τεταγμένων
u = zeros(1,N); % Διάνυσμα ταχυτήτων
dt = zeros(1,N-1); % Διάνυσμα χρονικών διαστημάτων
t = zeros(1,N); % Διάνυσμα συνολικού χρόνου

% Υπολογισμός διαφοράς τεταγμένων
for j = 1: (N-1)
dy(j) = y(j+1) - y(j);
end

d = sqrt( dx^2 + dy.^2); % Υπολογισμός διανύσματος μηκών ευθύγραμμων τμημάτων της τροχιάς
a = (2*g*x)./(sqrt(h^2 + 4*x.^2)); % Υπολογισμός επιταχύνεων σε κάθε σημείο της τροχιάς

for i = 1:N-1
dt(i) = ( -u(i) + sqrt( u(i).^2 + 2*a(i)*d(i) ) ) / a(i) ;
u(i+1) = u(i) + a(i)*dt(i) ;
t(i+1) = t(i) + dt(i);
end

tB = sum(dt) ;
tA = 2*sqrt(h/g) ;

plot(x,y)
hold on
plot(t,y)
hold on
plot(t,x)
hold on
plot(x,a)
hold on
plot(t,a)
hold on
plot(x,u)
hold on
plot(t,u)
hold on
xlabel("x(m) , t(s)")
ylabel("y(m) , x(m) , α(m/s²) , u(m/s)")
legend("y = y(x)","y = y(t)","x = x(t)" , "a = a(x)" , "a = a(t)","u = u(x)","u = u(t)")

 

[41%]

Ας δούμε μια λύση σε αυτό .

Spoiler

Παρακάτω μπορούμε να δούμε τα αποτελέσματα του κώδικα σχετικά με την διαφορά του χρόνου που χρειάζεται το παιδί Α ( τσουλήθρα μορφής y = x ) σε σχέση με τον χρόνο που χρειάζεται το παιδί Β ( τσουλήθρα μορφής y = x² ) για να βρεθούν στο κέντρο του παιδότοπου .

Όπως είναι φανερό ισχύει tA > tB για κάθε ύψος h . Οπότε το παιδί που έχει την τσουλήθρα μορφής y = x² θα κερδίσει το παιχνίδι !









Εδώ μπορούμε να δούμε κάποια αποτελέσματα για N = 1000 σημεία και αρχικό ύψος h = 5m :

xαρά στο κουράγιο σου, μπορείς να βάλεις και τον κώδικα ;

 

[Samael]

xαρά στο κουράγιο σου, μπορείς να βάλεις και τον κώδικα ;

Το πρόσθεσα στο μήνυμα #265 , have fun !

 

[41%]

Το πρόσθεσα στο μήνυμα #265 , have fun !

εννοώ γραμμένο, ασε τις μαλαγανιες

 

[Samael]

εννοώ γραμμένο, ασε τις μαλαγανιες

No i literally mean οτι τον πρόσθεσα μόλις . Εαν ανοίξεις το spoiler έχει άλλο ένα spoiler στο τέλος με τον κώδικα μέσα ( εκτός απο το κομμάτι που φτιάχνει το γράφημα tA-tB , αλλά αυτό το παράγεις εύκολα φτιάχνοντας μια συνάρτηση ) . Εκτός εαν εννοείς κάτι άλλο που δεν καταλαβαίνω .

 

[Dias]

Και η άσκηση Φυσικής της ημέρας. Κατάλληλη και για Β' λυκείου θετικού προσανατολισμού.

​

ΛΥΣΗ

Spoiler

 

[ιωαννηs]

Γιάννη μου με τρομάζεις. Γιατί εγώ το λύνω μόνο σε 3 γραμμές;

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

​

Ε ναι ενταξει ωραιο ειναι
Καλα εγω ειμαι γνωστος Mπεν Χουρ ..αλλα εσυ κλεβεις..
Ποτε θαρθει καμιά μανα να σε πλακωσει.

Μπραβω σου παντως που τα διαβαζεις ..εχεις υπομονη.

 

[Dias]

ΛΥΣΗ

Spoiler

 

[ιωαννηs]

To be or not to be

Και γεννάται το ερωτημα ... εχει νοημα αυτο εδω το νημα?
Η φωτινη ιδεα του samael να το ανοιξει και οι .5,6 που το διαβαζουμε... λεει κατι?
Πρεπει ομως να υπαρχουν τετοια νηματα και οχι μονο στα πανεπιστημιακα μαθηματικα και φυσικα αλλά και άλλα...οπως:
στα μαθηματικα και φυσικη του λυκειου
στη χημεια
στην βιολογια
στα αρχαια
στην γλωσσα
και ...κλπ,,και οτι χρησιμο για τα παιδια
Αλλα δεν υπαρχουν !
Καλα ειναι βεβαια τα χρηστικα νηματα για τις εγγραφες.. για τις μετεγγραφες.. και πως θα γινω γιατρος ..και πως θα αλλαξω πεδιο.
Εδω ομως ειναι μαθητικο φορουμ ...τα παιδια που μπαινουν πρεπει να μπορουν να δουν και κατι απο γνωσιακες μεθοδους και ''τρυπες'' που ουτε στο φροντιστήριο δεν τις λενε.

Και το ερωτημα που μου ερχεται
Πρεπει να συνεχισουμε ή οχι.. και γιατι τα παιδια δεν τα βλεπουν..που κανουμε λαθος?

 

[ιωαννηs]

Διαιρεση πολυωνυμων ..ξεχασμενη υποθεση..οποιος ομως την θυμαται οτι υπαρχει δινει λυσεις καμια φορα.

Spoiler: Απαντηση

 

[Samael]

To be or not to be

Και γεννάται το ερωτημα ... εχει νοημα αυτο εδω το νημα?
Η φωτινη ιδεα του samael να το ανοιξει και οι .5,6 που το διαβαζουμε... λεει κατι?
Πρεπει ομως να υπαρχουν τετοια νηματα και οχι μονο στα πανεπιστημιακα μαθηματικα και φυσικα αλλά και άλλα...οπως:
στα μαθηματικα και φυσικη του λυκειου
στη χημεια
στην βιολογια
στα αρχαια
στην γλωσσα
και ...κλπ,,και οτι χρησιμο για τα παιδια
Αλλα δεν υπαρχουν !
Καλα ειναι βεβαια τα χρηστικα νηματα για τις εγγραφες.. για τις μετεγγραφες.. και πως θα γινω γιατρος ..και πως θα αλλαξω πεδιο.
Εδω ομως ειναι μαθητικο φορουμ ...τα παιδια που μπαινουν πρεπει να μπορουν να δουν και κατι απο γνωσιακες μεθοδους και ''τρυπες'' που ουτε στο φροντιστήριο δεν τις λενε.

Και το ερωτημα που μου ερχεται
Πρεπει να συνεχισουμε ή οχι.. και γιατι τα παιδια δεν τα βλεπουν..που κανουμε λαθος?

Σοφό ερώτημα Γιάννη.
Μπορεί να συμμετέχουμε ενεργά λίγοι αλλά δεν νομίζω πως αυτό σημαίνει οτι το θέμα δεν διαβάζεται και απο άλλους(θέλω να πιστεύω). Εκτός αυτού, δεν αφορά μόνο το πόσοι συμμετέχουν ή πόσοι το διαβάζουν τώρα, αλλά και τον μελλοντικό κόσμο που θα ανακαλύψει το θέμα. Πιθανώς να συμμετέχουν και εκείνοι, καθώς είναι τόσο μεγάλη η λίστα των προβλημάτων που σίγουρα η συνεισφορά μας δεν είναι εξαντλητική παρά ενδεικτική.

Θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα ξεχωριστό νήμα για τα μαθηματικά και να μεταφέρουμε εκεί τις αντίστοιχες ασκήσεις που γράφτηκαν εδώ. Τα άφησα μαζί γιατί η φυσική και τα μαθηματικά καθώς και η μηχανική , συνδέονται στενά μεταξύ τους. Εαν όμως κρίνετε οτι δημιουργεί θέμα στην συνοχή και την ευκολία ανάγνωσης, τότε φυσικά και μπορούμε να εξετάσουμε το ενδεχόμενο, και εδώ να αφήνουμε προβλήματα μαθηματικών τα οποία εμπλέκουν φυσική ή συνδέονται άμεσα με εκείνη.

Συμφωνώ επίσης μαζί σου οτι καλό θα ήταν να φτιαχτούν και για άλλα επιστημονικά πεδία παρόμοια θέματα. Αυτό όμως απαιτεί κόσμο και χρόνο. Δεν είναι κάτι για το οποίο μπορούμε να κάνουμε πολλά όσοι είμαστε εδώ. Το μόνο που θα μπορούσα να πω επί αυτού είναι οτι εαν κάποιος γνωρίζει κόσμο που θα ενδιαφερόταν να συνεισφέρει σε τέτοια θέματα, ή έστω που του αρέσουν και θέλει να τα διαβάζει, τότε να τον προσκαλέσει να τα δει εδώ.

 

[eukleidhs1821]

Διαιρεση πολυωνυμων ..ξεχασμενη υποθεση..οποιος ομως την θυμαται οτι υπαρχει δινει λυσεις καμια φορα.

Spoiler: Απαντηση

ωραιο ολοκληρωμα για εξασκηση στις τεχνικες ολοκληρωσης και μαλιστα ωραιο το κολπακι με το e^x αντικατασταση

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 10 Οκτωβρίου 2023

Κατι ενδιαφερον στην ασκηση ειναι ο προσδιορισμος των Α Και Β που ο γιαννης δεν το κανει με τον κλασσικο τροπο να τα μαζεψει σε ενα μελος και να παει με ισοτητα πολυωνυμων αλλα βαζει τιμη στο u για να εξουδετερωσει την μια μεταβλητη για να βρει την αλλη!!Πολυ εξυπνο κολπο για να γλιτωσεις πραξεις.Κατι ακομα πιο μαγκικο θα ηταν να παρεις τα ορια με τη μια μεταβλητη να τεινει εκει που θα μηδενισει την ποσοτητα που εχει η αλλη μεταβλητη....Το ιδιο πραγμα ουσιαστικα λεμε με αλλα λογια.

 

[Guest 691153]

Πρεπει να συνεχισουμε ή οχι.. και γιατι τα παιδια δεν τα βλεπουν..που κανουμε λαθος?

Δεν κάνετε εσείς λάθος πουθενά. Αν δεν ενδιαφέρονται πρόβλημα τους, σίγουρα υπάρχουν και καποιοι που τους αρέσει πολύ αυτό το νήμα. Μιλώντας για μένα παντα, αν δεν ειναι κοπος και για αυτους τους 4-5 που αναρτούν συνεχώς περιεχόμενο, να συνεχίσετε. Πραγματικά βλέποντας ανώτερα μαθηματικά νιώθω κάτι να ανάβει μέσα μου και τα κοιτάω με τις ώρες με δέος προσπαθόντας να καταλάβω έστω με τις ελάχιστες γνώσεις που έχω τι σημαίνει τι. Ελπίζω να μπορέσω να συνεισφέρω σε αυτο το νήμα σε εναν χρόνο ή δυο..

 

[ιωαννηs]

Δεν κάνετε εσείς λάθος πουθενά. Αν δεν ενδιαφέρονται πρόβλημα τους, σίγουρα υπάρχουν και καποιοι που τους αρέσει πολύ αυτό το νήμα. Μιλώντας για μένα παντα, αν δεν ειναι κοπος και για αυτους τους 4-5 που αναρτούν συνεχώς περιεχόμενο, να συνεχίσετε. Πραγματικά βλέποντας ανώτερα μαθηματικά νιώθω κάτι να ανάβει μέσα μου και τα κοιτάω με τις ώρες με δέος προσπαθόντας να καταλάβω έστω με τις ελάχιστες γνώσεις που έχω τι σημαίνει τι. Ελπίζω να μπορέσω να συνεισφέρω σε αυτο το νήμα σε εναν χρόνο ή δυο..

Ευγε νεε μου ...και μονο που τα διαβαζεις ειναι ενθαρυνση για εμας να συνεχισουμε
Εσυ προς το παρον συνεχισε τον σκληρο αγωνα σου για τις πανελληνιες
Ειμαστε και εμεις καποτε εκει και ξερουμε τι πα να πει.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 10 Οκτωβρίου 2023

ωραιο ολοκληρωμα για εξασκηση στις τεχνικες ολοκληρωσης και μαλιστα ωραιο το κολπακι με το e^x αντικατασταση

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 10 Οκτωβρίου 2023

Κατι ενδιαφερον στην ασκηση ειναι ο προσδιορισμος των Α Και Β που ο γιαννης δεν το κανει με τον κλασσικο τροπο να τα μαζεψει σε ενα μελος και να παει με ισοτητα πολυωνυμων αλλα βαζει τιμη στο u για να εξουδετερωσει την μια μεταβλητη για να βρει την αλλη!!Πολυ εξυπνο κολπο για να γλιτωσεις πραξεις.Κατι ακομα πιο μαγκικο θα ηταν να παρεις τα ορια με τη μια μεταβλητη να τεινει εκει που θα μηδενισει την ποσοτητα που εχει η αλλη μεταβλητη....Το ιδιο πραγμα ουσιαστικα λεμε με αλλα λογια.

Ναι ναι εστι Ευκλειδη ..ειναι οπως λετε και εσεις οι αρχαιοι ...τεμπελια τεχνας κατεργαζεται

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 10 Οκτωβρίου 2023

Σοφό ερώτημα Γιάννη.
Μπορεί να συμμετέχουμε ενεργά λίγοι αλλά δεν νομίζω πως αυτό σημαίνει οτι το θέμα δεν διαβάζεται και απο άλλους(θέλω να πιστεύω). Εκτός αυτού, δεν αφορά μόνο το πόσοι συμμετέχουν ή πόσοι το διαβάζουν τώρα, αλλά και τον μελλοντικό κόσμο που θα ανακαλύψει το θέμα. Πιθανώς να συμμετέχουν και εκείνοι, καθώς είναι τόσο μεγάλη η λίστα των προβλημάτων που σίγουρα η συνεισφορά μας δεν είναι εξαντλητική παρά ενδεικτική.

Θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα ξεχωριστό νήμα για τα μαθηματικά και να μεταφέρουμε εκεί τις αντίστοιχες ασκήσεις που γράφτηκαν εδώ. Τα άφησα μαζί γιατί η φυσική και τα μαθηματικά καθώς και η μηχανική , συνδέονται στενά μεταξύ τους. Εαν όμως κρίνετε οτι δημιουργεί θέμα στην συνοχή και την ευκολία ανάγνωσης, τότε φυσικά και μπορούμε να εξετάσουμε το ενδεχόμενο, και εδώ να αφήνουμε προβλήματα μαθηματικών τα οποία εμπλέκουν φυσική ή συνδέονται άμεσα με εκείνη.

Συμφωνώ επίσης μαζί σου οτι καλό θα ήταν να φτιαχτούν και για άλλα επιστημονικά πεδία παρόμοια θέματα. Αυτό όμως απαιτεί κόσμο και χρόνο. Δεν είναι κάτι για το οποίο μπορούμε να κάνουμε πολλά όσοι είμαστε εδώ. Το μόνο που θα μπορούσα να πω επί αυτού είναι οτι εαν κάποιος γνωρίζει κόσμο που θα ενδιαφερόταν να συνεισφέρει σε τέτοια θέματα, ή έστω που του αρέσουν και θέλει να τα διαβάζει, τότε να τον προσκαλέσει να τα δει εδώ.

Οποτε συνεχιζουμε Samael..λες? Ε ωραια ας συνεχισουμε..λοιπον
Οχι οχι ..ας διατηρησουμε ετσι τα μαθηματικα κολλημενα εδω ...ας μην τα αφησουμε μονα θα νιωσουν καπως .
Λεγοντας ενα αλλο νημα με καθηματικα και φυσικα λυκειου εννοουσα για το τι κανουν τωρα τα παιδια ..εγω δεν ξερω.
Αλλα οκ αυτο ειναι δυσκολο ...αλλα εχουν και την τραπεζα θεματων ..ολα καλα. ( την καταλαβαινουν αυτη την τραπεζα αραγε ? δεν εχω ακουσει κατι)

 

[Dias]

Ωραία, συνεχίζουμε! Ας κάνω μερικά σχόλια.
1) Γιάννη μου, δεν πιστεύω να κουράστηκες. Αν αυτό συνέβαινε θα με λυπούσε το γεγονός να σε χάσω από "συνεργάτη".
2) Οι απόψεις μου είναι πολύ κοντά με όσα έγραψε ο Σαμ.
2) Από τα προβλήματα που έχω βάλει, τα μισά είναι κατάλληλα για μαθητές Λυκείου, μάλλον κάπως αυξημένων απαιτήσεων. Μερικά είναι ανώτερου επιπέδου και άλλα αναφέρονται σε ύλη που δεν διδάσκεται πλέον στο λύκειο.
3) Θα συμφωνούσα να χωριστούν Μαθηματικά με Φυσική, για να μη μπλέκονται οι απαντήσεις. (Παρόμοιο μπλέξιμο έχουμε στο στέκι στο θέμα της επικαιρότητας όπου μπερδεύονται οι γυναικοκτονίες με το ΑΕΠ της Νέας Ζηλανδίας).
4) Να, και ένας μαθητής θέλει να συνεχίσουμε. Αυτό αυξάνει τις ελπίδες μου και τον ενθουσιασμό μου.

 

[41%]

To be or not to be

Και γεννάται το ερωτημα ... εχει νοημα αυτο εδω το νημα?
Η φωτινη ιδεα του samael να το ανοιξει και οι .5,6 που το διαβαζουμε... λεει κατι?
Πρεπει ομως να υπαρχουν τετοια νηματα και οχι μονο στα πανεπιστημιακα μαθηματικα και φυσικα αλλά και άλλα...οπως:
στα μαθηματικα και φυσικη του λυκειου
στη χημεια
στην βιολογια
στα αρχαια
στην γλωσσα
και ...κλπ,,και οτι χρησιμο για τα παιδια
Αλλα δεν υπαρχουν !
Καλα ειναι βεβαια τα χρηστικα νηματα για τις εγγραφες.. για τις μετεγγραφες.. και πως θα γινω γιατρος ..και πως θα αλλαξω πεδιο.
Εδω ομως ειναι μαθητικο φορουμ ...τα παιδια που μπαινουν πρεπει να μπορουν να δουν και κατι απο γνωσιακες μεθοδους και ''τρυπες'' που ουτε στο φροντιστήριο δεν τις λενε.

Και το ερωτημα που μου ερχεται
Πρεπει να συνεχισουμε ή οχι.. και γιατι τα παιδια δεν τα βλεπουν..που κανουμε λαθος?

Σκέφτηκες μήπως ότι το πρόβλημα δεν είναι εδώ σε εμάς αλλά στα παιδιά και γενικότερα στη παιδεία και τη νοοτροπία που υπάρχει σήμερα; Εγώ είμαι σίγουρος ότι εδώ δεν υπάρχει το πρόβλημα.

Για το αν πρέπει να συνεχίσουμε θα σου πω το εξής ο γνωστός μαθηματικός perelman απέδειξε την εικασία του πουανκαρε. Την απόδειξη σήμερα μπορούν να την κατανοήσουν πλήρως μονοψήφιος αριθμός ανθρώπων και αν. Δεν έπρεπε να είχε ασχοληθεί; Προφανώς το τελευταίο παράδειγμα δεν είναι τοσο εύστοχο καθώς δεν είμαστε καθόλου κοντά στο συγκεκριμένο μαθηματικό αλλά το point είναι επειδή απευθύνεται σε λίγους, δεν έπρεπε να ασχοληθεί ή να δημοσιεύσει;

Τα φροντιστήρια και η δευτεροβάθμια δεν έχουν τρύπες για να κλείσουν είναι σαν τα ετοιμόρροπα κτήρια που λίγο να τα πειράξεις έπεσαν και σε πλάκωσαν. Κατεδάφιση θέλουν και ανέγερση από το 0.