Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[BaSO4]

Πρέπει να υπολογίσω αυτό το τέρας τώρα ;
Καλώς

Έλα έλα το 'χεις
με την αφαίρεση ειδικά θα βγει στο τσακ μπαμ

 

[Cade]

βρήκα (e-2)/2 τ.μ.

e-2/2 ναι

 

[BaSO4]

Αν θέλεις καμία άλλη φορά καμία παρόμοια, έχω μπόλικες τέτοιες.

 

[Cade]

Αν θέλεις καμία άλλη φορά καμία παρόμοια, έχω μπόλικες τέτοιες.

Θα σε χω υπ'όψιν μου

 

[Cade]

την ξανανεβάζω. Αν δεν απαντηθεί κάποια στιγμή θα επανέλθω με την λύση.

 

[BaSO4]

την ξανανεβάζω. Αν δεν απαντηθεί κάποια στιγμή θα επανέλθω με την λύση.

Ενδιαφέρουσα φαίνεται η άσκηση, αλλά προς το παρόν μπόρεσα να λύσω μόνο το Δ2 χωρίς τον τύπο της f.
Ίσως αύριο, αν την ξαναδώ, κάνω κάτι καλύτερο...

Στο τέλος ήθελα να βάλω και το ότι "η ανίσωση είναι τελικά αδύνατη".
(ευπρόσδεκτη κάθε παρατήρηση)

 

[Guest 586541]

Έχω μία λύση για ολόκληρο το θέμα που θα ανεβάσω αύριο, νομίζω σωστή, θα την ελέγξω και θα την καθαρογράψω πρώτα.

Όλα τα λεφτά το Δ1, θέλει τρομερά κόλπα για να βγει. Πολύ ωραίο το Δ4.

 

[Alexandros28]

Για λογους απλοποιησης θέτω τη παράσταση f(x)-e^e^x-lnx=ω
Για το Δ1 “lnίζωντας» και δυο μέλη προκύπτει ln(ω)>=ω-1
όμως για κάθε ω ισχύει lnω=<ω-1,άρα η σχέση συναληθευει στην ισότητα η οποία ισχύει αν και μονο αν ω=1 άρα και από κει προκύπτει ο τύπος της f. Αν κάνω κάποιο λάθος διορθώστε γιατί με το μάτι βγήκε περίπου

 

[Guest 586541]

Επί της ουσίας για το Δ1 έκανα τα εξής:

Πέρασα ln κατά μέλη. Είπα ln(x(f(x)-e^e^x-lnx))=lnx+ln(f(x)-e^e^x-lnx) και μετά πρόσθεσα κατά μέλη το 1-lnx. Μετά από αυτό παίρνουμε e^f(x)-e^e^x-lnx>=1+ln(f(x)-e^e^x-lnx). Θέτουμε u=f(x)-e^e^x-lnx και βγαίνει lnu>=u-1. Όμως lnu<=u-1 όπως αποδεικνύεται εύκολα, άρα ισχύει το ίσον και είναι u=1, άρα f(x)=e^e^x+lnx+1, x>0.


@BaSO4 Πολύ ωραία η λύση σου. Έβγαινε πιο εύκολα αν είχες τον τύπο πάντως.

Η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική, άρα αυτή αύξουσα και συνεπώς 1-1. Αν θυμάμαι καλά καταλήγεις εύκολα μέσω πράξεων στο ότι f(f(x))<=f(1)<=>f(x)<=1 που είναι προφανώς άτοπο από τον τύπο, αφού ζητάει για x>=1.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 17 Αυγούστου 2022

Ελπίζω να μην σας έβγαλα τα μάτια.

Τα άλλα αύριο, γιατί είναι δύσκολο να τα γράψω έτσι.

 

[Cade]

όλοι οι τρόποι σωστοί, μπράβο

Δ1 7μ, Δ2 6μ, Δ3 4μ, Δ4 8μ

 

[Guest 586541]

Δ3, Δ4. Ελπίζω να καταλαβαίνετε τα γράμματά μου, καλύτερα δεν μπορώ να κάνω, αν δεν βγάζετε άκρη με κάτι πείτε μου. Αν δεν βγάζετε άκρη γενικά πάλι πείτε μου, για να την γράψω σε LATEX.

Στο Δ4 ο θεματοθέτης μου διευκρίνισε ότι η πρώτη ανισότητα είναι για x>=x0.

Ίσως να μην ειναι αρκετά σαφής η απάντηση εκεί που αναφέρομαι στην μονοτονία της g. Η g' γνησίως αύξουσα στο (x0,+oo) και άρα αυτή "ανεβαίνει", στο διάστημα που θέλουμε . Και επειδή x0<1, το πρόσημο της g' αλλάζει εκατέρωθεν του σημείου μηδενισμού της, του 1. Άρα και η μονοτονία της g, και το 1 θα είναι η θέση ολικού ελαχίστου της g στο διάστημα (x0,+oo).

 

[BaSO4]

Spoiler: Δ3

Spoiler: Δ4

(Ελπίζω να μη μου ξέφυγε κάτι)

 

[Guest 586541]

Η αλήθεια είναι ότι βαριόμουν αρκετά χθες το βράδυ.

Spoiler: Δ3

Spoiler: Δ4

(πείτε αν η λογική είναι λάθος, γιατί μπορεί να μου ξέφυγε κάτι )

Επί της ουσίας κάνουμε το ίδιο στο Δ3, με την διαφορά πως αντί να πάρω το f''(1) πήρα όριο.

Ωραία και η λύση του Δ4!

 

[Cade]

Spoiler: Δ3

Spoiler: Δ4

(Ελπίζω να μη μου ξέφυγε κάτι)

πες μου ότι όντως έκατσες να τη λύσεις χθες βράδυ
όλα σωστά, απλώς δε πρέπει να δείξεις ότι πράγματι το χο είναι μικρότερο του 1;

edit: το έδειξες στο δ3, όλα καλά

 

[Guest 586541]

Δ3, Δ4. Ελπίζω να καταλαβαίνετε τα γράμματά μου, καλύτερα δεν μπορώ να κάνω, αν δεν βγάζετε άκρη με κάτι πείτε μου. Αν δεν βγάζετε άκρη γενικά πάλι πείτε μου, για να την γράψω σε LATEX.

Στο Δ4 ο θεματοθέτης μου διευκρίνισε ότι η πρώτη ανισότητα είναι για x>=x0.

Ίσως να μην ειναι αρκετά σαφής η απάντηση εκεί που αναφέρομαι στην μονοτονία της g. Η g' γνησίως αύξουσα στο (x0,+oo) και άρα αυτή "ανεβαίνει", στο διάστημα που θέλουμε . Και επειδή x0<1, το πρόσημο της g' αλλάζει εκατέρωθεν του σημείου μηδενισμού της, του 1. Άρα και η μονοτονία της g, και το 1 θα είναι η θέση ολικού ελαχίστου της g στο διάστημα (x0,+oo).

Εδώ όπου (x0,+oo) ήθελα να γράψω [x0,+oo).

 

[BaSO4]

πες μου ότι όντως έκατσες να τη λύσεις χθες βράδυ

Με έπιασε το πείσμα εκείνη την ώρα.

απλώς δε πρέπει να δείξεις ότι πράγματι το χο είναι μικρότερο του 1;

Στην εικόνα Α1, που χρησιμοποίησα για να δείξω τη μοναδικότητα της ρίζας, το διάστημα αναφέρεται στο (0,1] και το f’’(1) είναι διάφορο του μηδέν, άρα το xo δεν είναι μικρότερο του 1; Παρόλα αυτά, έπρεπε μάλλον να το αναφέρω κάπου. Thanks για τη διευκρίνιση.

edit: τώρα είδα το edit σου

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 17 Αυγούστου 2022

Επί της ουσίας κάνουμε το ίδιο στο Δ3, με την διαφορά πως αντί να πάρω το f''(1) πήρα όριο.

Στην αρχή, πήγα κι εγώ να βρω το όριο, αλλά εκείνη τη στιγμή μου φάνηκε μπελαλίδικο και είπα να πάω με μια τιμή της f’’.

 

[Cade]

Τη βρήκα στο ίντερνετ και μου κέντρισε το ενδιαφέρον...δεν ξέρω τι επιφυλάσσει, πάντως είναι ψαρωτική

 

[BaSO4]

Τη βρήκα στο ίντερνετ και μου κέντρισε το ενδιαφέρον...δεν ξέρω τι επιφυλάσσει, πάντως είναι ψαρωτική

Θα έπρεπε να δίνεται το πεδίου ορισμού της g ή όχι;

 

[ultraviolence]

Χαίρομαι να βλέπω νέα παιδιά να ασχολούνται με την επίλυση ασκήσεων στα μαθηματικά ενώ οι πανελλήνιες είναι παρελθόν. Αυτό δείχνει ότι τα αγαπήσατε, κατά κάποιο τρόπο. Κι εγώ πριν κάποια χρόνια, έκανα το ίδιο και μου θυμίσατε αυτή την εποχή, σας ευχαριστώ.

Μπράβο σας! ​

 

[Cade]

Θα έπρεπε να δίνεται το πεδίου ορισμού της g ή όχι;

όχι, δεν χρειάζεται. Τα άκρα ολοκλήρωσης είναι