Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Guest 018946]

μαλακες γραφτε και κανα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Katerinamarkell]

Δίνεται η συνάρτηση f(z)=(z+2i)/(z-2i) (η κάθετος είναι γραμμή κλάσματος), z διάφορο του 2i.Να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z όταν:
i) f(z) εR
ii) f(z) εI
iii) αν Α,Β αντίστοιχα είναι τα παραπάνω σύνολα, τότε να βρείτε το σύνολο Α τομή Β και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα που βρήκατε.
iv) υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ διάφορο του 0, ώστε f(κ+1) εR
v) Αν f(κ+i) είναι φανταστικός, τότε να δείξετε ότι (f(κ+i))^2006 <0

Αν μπορείτε δώστε μία βοήθεια, ευχαριστώ!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Alexl1996]

Δίνεται η συνάρτηση f(z)=(z+2i)/(z-2i) (η κάθετος είναι γραμμή κλάσματος), z διάφορο του 2i.Να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z όταν:
i) f(z) εR
ii) f(z) εI
iii) αν Α,Β αντίστοιχα είναι τα παραπάνω σύνολα, τότε να βρείτε το σύνολο Α τομή Β και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα που βρήκατε.
iv) υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ διάφορο του 0, ώστε f(κ+1) εR
v) Αν f(κ+i) είναι φανταστικός, τότε να δείξετε ότι (f(κ+i))^2006 <0

Αν μπορείτε δώστε μία βοήθεια, ευχαριστώ!

Θα θέσεις z=x+yi και θα έχεις:

Άρα για το i) θα πρέπει με περιορισμό από τον παρονομαστή θεωρ'ωντας έστω και θα λύσεις το τρι'ωνυμο ως προς y. Αν δεν έκανα λάθος στις πράξεις θα βρεις χ διάφορο του 0, άρα δεν υπάρχει γεωμετρικός τόπος τέτοιος ώστε η f(z) να ανήκει στο R (Δείτε το μήπως έχω κάνει βλακεία)
Αντίχτοιχα για το 2, θα δουλέψεις με τον ίδιο τρόπο και θα βρεις εύκολα ότι είναι κύκλος με κέντρο Κ (0,0) και ακτίνα ρ=2 με τον ίδιο περιορισμό χ διάφορο του 0 που δεν επηρεάζει.
(Μετά βαριέμαι να συνεχίσω, ελπίζω να βο'ηθησα )

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

Αν z ανήκει στο C, |z|=1 και |z+1|=1 ν.δ.ο z^3=1 με z διαφορετικό του 1 και αντίστροφα.

Μπορώ να πάω αντίστροφα και να καταλήξω στο |z|=1,άλλα δε θα ισχύει διπλή συνεπαγωγή,και θέλει να είναι και αντίστροφα.Τι διάολο θα κάνω;
Έχω απογοητευτεί είναι η αλήθεια...υποτίθεται ότι τελειώνουμε τους μιγαδικούς και δε μπορώ να λύσω (ούτε και τα άλλα παιδιά βέβαια) απλές ασκήσεις όπως αυτή.Απορώ πως και τι θα γράψω στο τέλος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Stavri_]

Αν z ανήκει στο C, |z|=1 και |z+1|=1 ν.δ.ο z^3=1 με z διαφορετικό του 1 και αντίστροφα.

Μπορώ να πάω αντίστροφα και να καταλήξω στο |z|=1,άλλα δε θα ισχύει διπλή συνεπαγωγή,και θέλει να είναι και αντίστροφα.Τι διάολο θα κάνω;
Έχω απογοητευτεί είναι η αλήθεια...υποτίθεται ότι τελειώνουμε τους μιγαδικούς και δε μπορώ να λύσω (ούτε και τα άλλα παιδιά βέβαια) απλές ασκήσεις όπως αυτή.Απορώ πως και τι θα γράψω στο τέλος.

Πες Έστω ότι ισχύει το ζητούμενο z^3=1. Πας το 1 αριστερά, σχηματίζεται γνωστή ταυτότητα. z^3-1=...
Αναπτύσσεις και βγαίνει!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

ο συζυγής του z είναι Z
|z|=1 => zZ=1
|z+1|=1 => (z+1)(Z+1)=1 => zZ + z + Z + 1 =1 => z + Z =-1 => Re(z)=-1/2 => z διάφορο του 1
Επίσης 1 + z + Z =0 => z + 1/z + 1= 0 ( αφού zZ=1 )
=> z^2 + z + 1 =0 => (z-1)(z^2 + z + 1)=0 => z^3 = 1

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ξαροπ]

Για το αντίστροφο, βρες τις λύσεις της .

Από τις συνθήκες

... και με πράξεις θα βρεις τις ίδιες λύσεις με την παραπάνω εξίσωση.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

Για το αντίστροφο, βρες τις λύσεις της .

Από τις συνθήκες

... και με πράξεις θα βρεις τις ίδιες λύσεις με την παραπάνω εξίσωση.

Επειδή το έκανα πριν και έχω γεμίσει ένα τετράδιο με τσαπατσουλιές και πράξεις βαριέμαι να το ψάξω,άλλα το έκανα και δε μου έβγαζε τις ίδες.Θα έκανα κάποιο λάθος προφανώς.Το άφησα να το λύσουμε στο φροντιστήριο.

ο συζυγής του z είναι Z
|z|=1 => zZ=1
|z+1|=1 => (z+1)(Z+1)=1 => zZ + z + Z + 1 =1 => z + Z =-1 => Re(z)=-1/2 => z διάφορο του 1
Επίσης 1 + z + Z =0 => z + 1/z + 1= 0 ( αφού zZ=1 )
=> z^2 + z + 1 =0 => (z-1)(z^2 + z + 1)=0 => z^3 = 1

Πως το έκανες αυτό;

Επίσης:
Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του |z| αν |z-3| μεγαλύτερο-ίσο του 1.Σε αυτήν εδώ χρησιμοποιώ τριγωνική ανισότητα άλλα μου βγάζει για μέγιστη τιμή του |z| το -2 οπότε προφανώς κάνω κάτι λάθος πάλι.Από τις 10:30 το πρωί λύνω χωρίς να χασομεράω και με διαλείμματα ίσα ίσα να φάω και κανά 15λεπτο να ξελαμπικαρω και είμαι ακόμα ούτε στη μέση από αυτά που έχουμε.Και βλέπω ότι είναι και δύσκολες έννοιες προς το παρόν,και απελπίζομαι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

Πολλαπλασιάζεις την z +1/z +1=0 με z
Για το άλλο, έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή;
Γεωμετρικά, |z-3|>=1 είναι όλα τα σημεία που απέχουν από το K(3,0) απόσταση μεγαλύτερη από 1, δηλαδή όλα τα σημεία του επιπέδου που είναι εξωτερικά του κύκλου με κέντρο K(3,0) και ακτίνα ρ=1, ενώ το |z| είναι η απόσταση των σημείων από την αρχή των αξόνων. Άρα το |z| δεν έχει κάποια μέγιστη τιμή. Ελάχιστη τιμή έχει το 0 για z=0.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

...οk,άκυρο για την άσκηση,θα μάθω να χορεύω και θα γίνω στριπτιζέρ τελικά.Μέχρι τη 2α λυκείου νόμιζα ότι είμαι πολύ καλός στα μαθηματικά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Katerinamarkell]

Θα θέσεις z=x+yi και θα έχεις:

Άρα για το i) θα πρέπει με περιορισμό από τον παρονομαστή θεωρ'ωντας έστω και θα λύσεις το τρι'ωνυμο ως προς y. Αν δεν έκανα λάθος στις πράξεις θα βρεις χ διάφορο του 0, άρα δεν υπάρχει γεωμετρικός τόπος τέτοιος ώστε η f(z) να ανήκει στο R (Δείτε το μήπως έχω κάνει βλακεία)
Αντίχτοιχα για το 2, θα δουλέψεις με τον ίδιο τρόπο και θα βρεις εύκολα ότι είναι κύκλος με κέντρο Κ (0,0) και ακτίνα ρ=2 με τον ίδιο περιορισμό χ διάφορο του 0 που δεν επηρεάζει.
(Μετά βαριέμαι να συνεχίσω, ελπίζω να βο'ηθησα )

Σ'ευχαριστώ πολύ, αλλά αν ξέρεις τι μπορώ να κάνω στη συνέχεια, πες το μου γιατι κυριως στο iii) και στα τελευταία κόλλησα!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

...οk,άκυρο για την άσκηση,θα μάθω να χορεύω και θα γίνω στριπτιζέρ τελικά.Μέχρι τη 2α λυκείου νόμιζα ότι είμαι πολύ καλός στα μαθηματικά.

Ναι αυτο με το πολ/μο το κατάλαβα από πριν.Τώρα με την ανίσωση,δε καταλαβαίνω καν πως προέκυψε ότι ο γ.τ. είναι κύκλος.Βασικά πρώτη φορά το ακούω,δε το έχει αναφέρει κανείς στο φροντ.Είναι μέτρο και λύνεται κάπως με τριγωνική ανισότητα.Μας έλυσε ένα γελοίο και μας έβαλε να κάνουμε αυτό.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

Είναι σίγουρα |z-3|>=1 ; Μήπως είναι |z-3|<=1 ;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

Ουπς,μπορείς να με βρίσεις,ναι είναι μικρότερο ίσο.Και επειδή το κάνω συνέχει αυτό το λάθος υποψιάζομαι ότι κάπως εμπλέκεται το ασπεργκερ.Τέλος πάντων :Ρ Συγνώμη.

Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει:

z=|z|-2 -(|z|-1)i

Κάτι μου λέει ότι είναι εύκολη αυτή απλώς κάτι δε βλέπω.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Ουπς,μπορείς να με βρίσεις,ναι είναι μικρότερο ίσο.Και επειδή το κάνω συνέχει αυτό το λάθος υποψιάζομαι ότι κάπως εμπλέκεται το ασπεργκερ.Τέλος πάντων :Ρ Συγνώμη.

Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει:

z=|z|-2 -(|z|-1)i

Κάτι μου λέει ότι είναι εύκολη αυτή απλώς κάτι δε βλέπω.

|z|^2=[(|z|-2)^2)+[(-(|z|-1))^2] => |z|^2=[(|z|-2)^2)+[(|z|-1)^2] => |z|^2=(|z|^2)-4|z|+4+(|z|^2)-2|z|+1 => (|z|^2)-6|z|+5=0 => [(|z|^2)-6|z|+9]-4=0 => [(|z|-3)^2]-4=0 => (|z|-1)(|z|-5)=0 => |z|=1 ή |z|=5

Για |z|=1 προκύπτει z=-1 => |z|=1
Για |z|=5 προκύπτει z=3-4i => |z|=5

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

Χαχαχα, no problem, εύκολα γίνονται λάθη με φορές , πρόσημα κλπ κλπ
Για την άσκηση,
z= (|z|-2) + (1 - |z|)i , δηλαδή σου δίνεται ο z έτοιμος σε μορφή x + y*i με x,y ε R
Άρα |z|= sqrt(x^2 +y^2) και συνεχίζεις από εκεί.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

|z|^2=[(|z|-2)^2)+[(-(|z|-1))^2] => |z|^2=[(|z|-2)^2)+[(|z|-1)^2] => |z|^2=(|z|^2)-4|z|+4+(|z|^2)-2|z|+1 => (|z|^2)-6|z|+5=0 => [(|z|^2)-6|z|+9]-4=0 => [(|z|-3)^2]-4=0 => (|z|-1)(|z|-5)=0 => |z|=1 ή |z|=5

Για |z|=1 προκύπτει z=-1 => |z|=1
Για |z|=5 προκύπτει z=3-4i => |z|=5

Ευχαριστώ!!

Το i γιατί το αφήνω και δε το συμπεριλαμβάνω στη ύψωση του 2ου μέλους; δηλαδη (yi)^2
Διόρθωση: Το κατάλαβα.

Χαχαχα, no problem, εύκολα γίνονται λάθη με φορές , πρόσημα κλπ κλπ
Για την άσκηση,
z= (|z|-2) + (1 - |z|)i , δηλαδή σου δίνεται ο z έτοιμος σε μορφή x + y*i με x,y ε R
Άρα |z|= sqrt(x^2 +y^2) και συνεχίζεις από εκεί.

Αυτό το έκανα και βγαίνουν μακρινάρια που μάλλον σημαίνει ότι είναι κάπως ανορθόδοξη λύση από άποψη πράξεων.
Θα δοκιμάσω το από πάνω quote,το οποίο το έκανα και πριν άλλα το έκανα λάθος,ύψωσα το z στο τετράγωνο,ύψωσα όμως και όλο το 2ο μέλος,όχι το κάθε όρο ξεχωριστά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Alexl1996]

Παιδιά να ρωτήσω λίγο κάτι. Μία άσκηση λέει το εξής:
Έστω f ορισμένη στο R με f(f(x))=x^2 -x + 1. Ν.δ.ο.
α) f(1)=1
b) η g(x)=1+x(1-f(x)) δεν είναι 1-1.

Έχω κολλήσει μέχρι και στο α) και τα χω πάρει

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

f(f(x))=x^2-x+1. Βάζω όπου x το f(x).
f(f(f(x)))= (f(x))^2 -f(x)+1 => f(x^2-x+1)= (f(x))^2 -f(x) +1
Για x=1 στην τελευταία σχέση : f(1)= (f(1))^2 -f(1)+1 => (f(1)-1)^2=0 => f(1)=1
Για x=0, f(1)=(f(0))^2 -f(0)+1 => (f(0))^2-f(0)=0 => f(0)=0 ή f(0)=1
Αν f(0)=0 τότε f(f(0))=f(0) => 1=f(0) => 1=0 άτοπο. Άρα f(0)=1.
g(0)=1. g(1)=1+(1-f(1))=1
Δηλαδή g(0)=g(1) άρα η g δεν είναι 1-1.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Alexl1996]

f(f(x))=x^2-x+1. Βάζω όπου x το f(x).
f(f(f(x)))= (f(x))^2 -f(x)+1 => f(x^2-x+1)= (f(x))^2 -f(x) +1
Για x=1 στην τελευταία σχέση : f(1)= (f(1))^2 -f(1)+1 => (f(1)-1)^2=0 => f(1)=1
Για x=0, f(1)=(f(0))^2 -f(0)+1 => (f(0))^2-f(0)=0 => f(0)=0 ή f(0)=1
Αν f(0)=0 τότε f(f(0))=f(0) => 1=f(0) => 1=0 άτοπο. Άρα f(0)=1.
g(0)=1. g(1)=1+(1-f(1))=1
Δηλαδή g(0)=g(1) άρα η g δεν είναι 1-1.

Τώρα θα έμπαινα για να πω ότι τελικά βρήκα τη λύση, οπότε σε ευχαριστώ για τη βοήθειά σου φίλε αλλά άδικος κόπος τελικά
Εγώ στο δεύτερο έκανα το εξής:
Για χ=0 έχουμε g(0)=1+0(1-f(0))=> g(0)=1
Για χ=1 έχουμε g(1)=1+1(1-f(1)) και με δεδομένο ότι f(1)=1 έχουμε g(1)=1+1(1-1)=> g(1)=1
και κατέληξα εκεί που έφτασες κι εσύ
Βασικά παίζει να κάναμε και το ίδιο αλλά λόγω ώρας να μην το κατάλαβα :p

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.