Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

t00nS · 18 Απριλίου 2013 στις 11:23

αν γίνεται μια άσκηση στα πολυώνυμα
1)Εστω Π(X)=Αv*x^v+..A1*x+Ao, Av#0. An vεΝ είναι περιττός, να δείξετε ότι η εξίσωση Π(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R
2)έστω πολώνυμο Π(x),βαθμού v>=3.Aν οι εξισώσεις Π(x)=0,Π΄΄(χ)=0 δεν έχουν ρίζεσ στο R,να δείξετε ότι η εξίσωση Π΄(χ) έχει μια ακριβώς ρίζα στο R
3)Να δείξετε ότι η παραπάνω ρίζα έιναι οπωσδήποτε θέση ακροτάτου για την συνάρτση Π(χ)

Lost in the Fog · 18 Απριλίου 2013 στις 12:25

ναι ηταν πραγματικα δυσκολες οι ασκησεις! δεν ξερω και γω που τις σκεφτηκε ο καθηγητης μου. ευχαριστω παντως!

JKaradakov · 18 Απριλίου 2013 στις 13:13

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
αν γίνεται μια άσκηση στα πολυώνυμα
1)Εστω Π(X)=Αv*x^v+..A1*x+Ao, Av#0. An vεΝ είναι περιττός, να δείξετε ότι η εξίσωση Π(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R
2)έστω πολώνυμο Π(x),βαθμού v>=3.Aν οι εξισώσεις Π(x)=0,Π΄΄(χ)=0 δεν έχουν ρίζεσ στο R,να δείξετε ότι η εξίσωση Π΄(χ) έχει μια ακριβώς ρίζα στο R
3)Να δείξετε ότι η παραπάνω ρίζα έιναι οπωσδήποτε θέση ακροτάτου για την συνάρτση Π(χ)

1. Αφού ν περιττός:

$\lim_{x \to - \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to - \infty } {a_v}{x^v} = - \infty$ άρα $\exists {\rho _1} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _1}) < 0$
$\lim_{x \to + \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to + \infty } {a_v}{x^v} = + \infty$ άρα $\exists {\rho _2} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _2}) > 0$

Άρα απο Θ.Bolzano $\exists {x_0} \in \mathbb{R}:\Pi ({x_0}) = 0$

2. Αφου $\Pi (x) \ne 0$ τότε απο το πρώτο ερώτημα συμπαιραίνουμε πως ν άρτιος, άρα ο βαθμός της παραγώγου θα είναι περιττός επομένως και πάλι απο το πρώτο ερώτημα έχει μια τουλάχιστον ρίζα. Έστω ότι η παράγωγος έχει και δεύτερη ρίζα ${x_1} \in \mathbb{R}$ τότε:

Π(x) συνεχής στο R.
Π(x) παραγωγίσημη στο R.
$\Pi '({x_0}) = \Pi '({x_1}) = 0$

άρα απο Θ.Rolle $\exists \xi \in \mathbb{R}:\Pi ''(\xi ) = 0$ . Άτοπο. Άρα η Π'(x) έχει μοναδική ρίζα.

3. Η $\Pi '(x)$ είναι γν. μονότονη αφου $\Pi ''(x) \ne 0$ και καθώς είναι συνεχής ώς πολυωνυμική διατηρεί πρόσημο. Άρα το πρόσημο της Π' αλλάζει εκατέρωθεν της ρίζας.Άρα η ρίζα είναι θέση ακροτάτου για την συνάρτηση Π(x).

Για το τρίτο νομίζω υπάρχει και καλύτερος τρόπος να το πεις. :hmm:

t00nS · 18 Απριλίου 2013 στις 13:41

στο 2) εννοείς ότι για περιτού βαθμού έχουμε ρίζα,όταν μας λέει μετά ότι η Π(χ)#0 συμπεραίνουμε ότι έχουμε ν άρτιο(εδώ κόλλησα και πριν)

JKaradakov · 18 Απριλίου 2013 στις 13:44

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
στο 2) εννοείς ότι για περιτού βαθμού έχουμε ρίζα,όταν μας λέει μετά ότι η Π(χ)#0 συμπεραίνουμε ότι έχουμε ν άρτιο(εδώ κόλλησα και πριν)

Αφού Π(χ) δίαφορο του μηδενος και στο πρώτο έχουμε αποδείξη πως για ν περιττό έχουμε ρίζα τότε το Π(χ) είναι άρτιου βαθμού.

Guest 845212 · 18 Απριλίου 2013 στις 14:05

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
1. Αφού ν περιττός:

$\lim_{x \to - \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to - \infty } {a_v}{x^v} = - \infty$ άρα $\exists {\rho _1} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _1}) < 0$

$\lim_{x \to + \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to + \infty } {a_v}{x^v} = + \infty$ άρα $\exists {\rho _2} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _2}) < 0$

Άρα απο Θ.Bolzano $\exists {x_0} \in \mathbb{R}:\Pi ({x_0}) = 0$

2. Αφου $\Pi (x) \ne 0$ τότε απο το πρώτο ερώτημα συμπαιραίνουμε πως ν άρτιος, άρα ο βαθμός της παραγώγου θα είναι περιττός επομένως και πάλι απο το πρώτο ερώτημα έχει μια τουλάχιστον ρίζα. Έστω ότι η παράγωγος έχει και δεύτερη ρίζα ${x_1} \in \mathbb{R}$ τότε:

Π(x) συνεχής στο R.

Π(x) παραγωγίσημη στο R.

$\Pi '({x_0}) = \Pi '({x_1}) = 0$

άρα απο Θ.Rolle $\exists \xi \in \mathbb{R}:\Pi ''(\xi ) = 0$ . Άτοπο. Άρα η Π'(x) έχει μοναδική ρίζα.

3. Η $\Pi '(x)$ είναι γν. μονότονη αφου $\Pi ''(x) \ne 0$ και καθώς είναι συνεχής ώς πολυωνυμική διατηρεί πρόσημο. Άρα το πρόσημο της Π' αλλάζει εκατέρωθεν της ρίζας.Άρα η ρίζα είναι θέση ακροτάτου για την συνάρτηση Π(x).

Για το τρίτο νομίζω υπάρχει και καλύτερος τρόπος να το πεις.

Στο 1ο εκανες μια απροσεξια. Π(ρ2)>0. Αλλιως δεν θα ισχυει το μπολζανο.

JKaradakov · 18 Απριλίου 2013 στις 14:12

Αρχική Δημοσίευση από Dimitris_Väinämöinen:
Στο 1ο εκανες μια απροσεξια. Π(ρ2)>0. Αλλιως δεν θα ισχυει το μπολζανο.

Yep, απροσεξία. Την διόρθωσα.

exc · 18 Απριλίου 2013 στις 16:51

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
αν γίνεται μια άσκηση στα πολυώνυμα
1)Εστω Π(X)=Αv*x^v+..A1*x+Ao, Av#0. An vεΝ είναι περιττός, να δείξετε ότι η εξίσωση Π(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R
2)έστω πολώνυμο Π(x),βαθμού v>=3.Aν οι εξισώσεις Π(x)=0,Π΄΄(χ)=0 δεν έχουν ρίζεσ στο R,να δείξετε ότι η εξίσωση Π΄(χ) έχει μια ακριβώς ρίζα στο R
3)Να δείξετε ότι η παραπάνω ρίζα έιναι οπωσδήποτε θέση ακροτάτου για την συνάρτση Π(χ)

εδιτ: λολ, γιατί δεν είδα ότι έχει απαντηθεί ήδη;

1) Πάρε το όριο για χ->+οο και μετά στο -οο. Θα δεις ότι έχουν αντίθετο πρόσημο.
2) Π' ' διάφορο του 0 => Π' γνησίως μονότονη => αν έχει ρίζα είναι μοναδική
Π διάφορο του 0 => απορρίπτονται από (α) όσα πολυώνυμα είναι περιττού βαθμού => Η παράγωγος, όμως, ενός πολυωνύμου άρτιου βαθμού, είναι πολυώνυμο περιττό και έχει ρίζα πάντα => ύπαρξη ρίζας
3) Εμ... Προφανώς; Αφού είναι ρίζα της παραγώγου της.

Αρίκος · 18 Απριλίου 2013 στις 18:29

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
1. Αφού ν περιττός:

$\lim_{x \to - \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to - \infty } {a_v}{x^v} = - \infty$ άρα $\exists {\rho _1} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _1}) < 0$

$\lim_{x \to + \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to + \infty } {a_v}{x^v} = + \infty$ άρα $\exists {\rho _2} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _2}) > 0$

Άρα απο Θ.Bolzano $\exists {x_0} \in \mathbb{R}:\Pi ({x_0}) = 0$

2. Αφου $\Pi (x) \ne 0$ τότε απο το πρώτο ερώτημα συμπαιραίνουμε πως ν άρτιος, άρα ο βαθμός της παραγώγου θα είναι περιττός επομένως και πάλι απο το πρώτο ερώτημα έχει μια τουλάχιστον ρίζα. Έστω ότι η παράγωγος έχει και δεύτερη ρίζα ${x_1} \in \mathbb{R}$ τότε:

Π(x) συνεχής στο R.

Π(x) παραγωγίσημη στο R.

$\Pi '({x_0}) = \Pi '({x_1}) = 0$

άρα απο Θ.Rolle $\exists \xi \in \mathbb{R}:\Pi ''(\xi ) = 0$ . Άτοπο. Άρα η Π'(x) έχει μοναδική ρίζα.

3. Η $\Pi '(x)$ είναι γν. μονότονη αφου $\Pi ''(x) \ne 0$ και καθώς είναι συνεχής ώς πολυωνυμική διατηρεί πρόσημο. Άρα το πρόσημο της Π' αλλάζει εκατέρωθεν της ρίζας.Άρα η ρίζα είναι θέση ακροτάτου για την συνάρτηση Π(x).

Για το τρίτο νομίζω υπάρχει και καλύτερος τρόπος να το πεις.

Ωραιος, αλλα στο πρωτο ξεχασες να διακρινεις περιπτωσεις για το α.

JKaradakov · 18 Απριλίου 2013 στις 18:38

Αρχική Δημοσίευση από Αρίκος:
Ωραιος, αλλα στο πρωτο ξεχασες να διακρινεις περιπτωσεις για το α.

Όντως. Αυτά που έκανα είναι για α>0. :redface:

saktop · 18 Απριλίου 2013 στις 22:25

Παιδιά, έχω δύο απορίες:
1) Ποιες αποδείξεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης χρειάζονται και τα σχήματα;
2) Πώς λύνεται το Θέμα 97, σελίδα 408, στον Μπάρλα;;

P@NT?LO$ · 19 Απριλίου 2013 στις 11:52

βοηθεια με τη μονοτονια τα ακροτατα και τις ασυμπτωτες τις f(x)=x^2lnx
δεν τα καταφερνω... ευχαριτω εκ των προτερων

Sarantis_Ts · 19 Απριλίου 2013 στις 13:18

Δεν είναι δύσκολη συνάρτηση...
Κατ αρχάς, εχει πεδιο ορισμου (0,+00) όπου και ειναι παρ/μη
1) Για την μονοτονια παραγωγίζεις φυσικά.
f'(x) = 2xlnx + 1/x^2 * x^2 = 2xlnx + x = x(2lnx +1)
το χ ειναι θετικό αφού ανοίκει στο (0,+00) αρα μελετας πρόσημο (2lnx+1)
2lnx+1 > 0 <=> lnx > -1/2 <=> x > e^(-1/2) [ δηλαδή 1/(ρίζα e) ]
επομενως ειναι γν αύξουσα στο [ e^(-1/2), +00) και γν φθίνουσα στο (0, e^(-1/2)]
Το μηδεν είναι ανοιχτο ακρο του ΠΟ αρα τ μονο ακροτατο ειναι στο x= e^(-1/2) (ολικό ελαχιστο)
f( e^(-1/2)) = -1/2e
Όσο για τις ασυμπτωτες, αν πας να βρεις οριο lim (f/x) στο +00 θα βγαλεις +00, δεν ειναι αριθμος, αρα δεν εχει οριζοντια/πλαγια ασυμπτωτη. Ομως εχει κατακορυφη ασυμπτωτη την χ=0 (ο αξονας yy') γιατι limf(x) στο 0 ειναι 0. αρα χ=0 ασυμπτωτη.
Αυτα

JKaradakov · 19 Απριλίου 2013 στις 13:21

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
βοηθεια με τη μονοτονια τα ακροτατα και τις ασυμπτωτες τις f(x)=x^2lnx
δεν τα καταφερνω... ευχαριτω εκ των προτερων

$f(x) = {x^2}\ln x,{\text{ }}x > 0$
H f(x) παραγωγίσημη ως γινόμενο παραγωγίσημων συναρτήσεων με παράγωγο:

$f'(x) = 2x\ln x + x,{\text{ }}x > 0$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x\ln x + x = 0 \Leftrightarrow x(2\ln x + 1) = 0$
Άρα:

$x = 0$ , Άτοπο αφού $x>0$
$2\ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt e }}$

$f'(x) > 0 \Leftrightarrow x(2\ln x + 1) > 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \ln x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt e }}$
$f'(x) < 0 \Leftrightarrow x(2\ln x + 1) < 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \ln x < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < \frac{1}{{\sqrt e }}$
Άρα:

$f \uparrow ,\forall x \in [\frac{1}{{\sqrt e }}, + \infty )$
$f \downarrow ,\forall x \in (0,\frac{1}{{\sqrt e }}]$
Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ${x_0} = \frac{1}{{\sqrt e }}$ με τιμή $f(\frac{1}{{\sqrt e }}) = - \frac{1}{{2e}}$ .

Ασύμπτωτες:

Πλαγιες/Οριζόντιες Ασύμπτωτες:
- $\lim_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} =\lim_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}\ln x}}{x}=\lim_{x \to + \infty } x\ln x = + \infty$
Άρα δεν έχει Πλάγιες/Οριζόντιες Ασύμπτωτες.
Κατακόρυφες Ασύμπτωτες:
Δεν έχει.

Αρχική Δημοσίευση από Sarantis_Ts:
Δεν είναι δύσκολη συνάρτηση...
Κατ αρχάς, εχει πεδιο ορισμου (0,+00) όπου και ειναι παρ/μη
1) Για την μονοτονια παραγωγίζεις φυσικά.
f'(x) = 2xlnx + 1/x^2 * x^2 = 2xlnx + x = x(2lnx +1)
το χ ειναι θετικό αφού ανοίκει στο (0,+00) αρα μελετας πρόσημο (2lnx+1)
2lnx+1 > 0 <=> lnx > -1/2 <=> x > e^(-1/2) [ δηλαδή 1/(ρίζα e) ]
επομενως ειναι γν αύξουσα στο [ e^(-1/2), +00) και γν φθίνουσα στο (0, e^(-1/2)]
Το μηδεν είναι ανοιχτο ακρο του ΠΟ αρα τ μονο ακροτατο ειναι στο x= e^(-1/2) (ολικό ελαχιστο)
f( e^(-1/2)) = -1/2e
Όσο για τις ασυμπτωτες, αν πας να βρεις οριο lim (f/x) στο +00 θα βγαλεις +00, δεν ειναι αριθμος, αρα δεν εχει οριζοντια/πλαγια ασυμπτωτη. Ομως εχει κατακορυφη ασυμπτωτη την χ=0 (ο αξονας yy') γιατι limf(x) στο 0 ειναι 0. αρα χ=0 ασυμπτωτη.
Αυτα

Το όριο πρέπει να είναι άπειρο για να έχεις κατακόρυφη ασύμπτωτη.

P@NT?LO$ · 19 Απριλίου 2013 στις 13:41

σας ευχαριστω!!

Αμελί · 19 Απριλίου 2013 στις 19:29

Αρχική Δημοσίευση από Isom1312:
Aν σε μια ασκηση πρεπει να χρησιμοποιησω οτι η αντιστροφη της f ειναι 1-1 (εφοσον η f ειναι 1-1) πρεπει να το αποδειξω;Μονο με ατοπο μπορω.σωστα;

Για να αντιστρέφεται η f προφανως και ειναι "1-1". Η αντίστροφή της όμως δεν σημαίνει πως θα είναι κι εκείνη "1-1". Η αντιστρεψιμότητα της αντίστροφης είναι δηλαδή νέα άσκηση, συνεπώς πρέπει να το αποδείξεις.

Η αντιστρεψιμότητα αποδυκνείεται ως εξής:

Έστω f ορισμένη σε διάστημα Δ, τότε:

f(x1)=f(x2) \Leftrightarrow x1=x2

ή

x1\neq x2 \Leftrightarrow f(x1)\neq f(x2)

ή

ότι η f(x)=y έχει μοναδική λύση ως προς y

ή

έχοντας αποδείξει ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ, συνεπώς και "1-1".

alexalchemist · 19 Απριλίου 2013 στις 20:20

παιζει να μπει ευρεση τυπου ξανα για 4ο θεμα?

akis95 · 19 Απριλίου 2013 στις 20:23

nobody knows

JKaradakov · 19 Απριλίου 2013 στις 21:15

Αρχική Δημοσίευση από alexalchemist:
παιζει να μπει ευρεση τυπου ξανα για 4ο θεμα?

Είναι ένα πολύ καλό ερώτημα για 4ο αυτό.

alexalchemist · 19 Απριλίου 2013 στις 21:37

ρε συ Ιορδανη το λεω γτ ποτε την επομενη χρονια δν ειχε πεσει ζητουμενο ιδιο ...(καθε χρονο τα αλλαζουν τελειως)...τεσπα αν πεσει ξανα κατα 80 % θα ειναι με δυο σταθερες

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 845212

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος