Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Rania. · 7 Ιουλίου 2011 στις 22:01

Ναι αλλα σου λεει οτι οριζεται για χ στο διαστημα (-οο,0]ενωση[1,+οο), δηλαδη βλεπεις οτι στο (0,1) δεν υπαρχει συναρτηση, επομενως δεν μπορεις να προσεγγισεις την τιμη της στο 0 απο το ενα ακρο, δηλαδη δεν υπαρχει το ενα πλευρικο οριο! Αρα δεν υπαρχει και οριο, επομενως δεν ειναι συνεχης.

qwerty111 · 7 Ιουλίου 2011 στις 22:26

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Ναι αλλα σου λεει οτι οριζεται για χ στο διαστημα (-οο,0]ενωση[1,+οο), δηλαδη βλεπεις οτι στο (0,1) δεν υπαρχει συναρτηση, επομενως δεν μπορεις να προσεγγισεις την τιμη της στο 0 απο το ενα ακρο, δηλαδη δεν υπαρχει το ενα πλευρικο οριο! Αρα δεν υπαρχει και οριο, επομενως δεν ειναι συνεχης.

Το όριο υπάρχει και είναι ίσο με το αριστερό όριο

dark_knight · 7 Ιουλίου 2011 στις 22:27

Η σωστή απάντηση είναι αυτή που σου έδωσε ο exc στο α) :

α) Αυτή η συνάρτηση ΔΕΝ ορίζεται στο (0,1) και συνεπώς δεν μπορείς να μιλάς για όριο από τα θετικά στο 0. Σε αυτήν την περίπτωση το όριο στο 0 είναι όσο είναι το όριο από τα αρνητικά. Η f δηλαδή τείνει στο 5 για χ->0.

Αυτό που έγραψε στο β), όπως σωστά παρατήρησες, δεν ισχύει (μάλλον θα μπήκε από αβλεψία του exc, αφού άλλωστε έρχεται σε αντίθεση με όσα έγραψε στο α). Εδώ σου αρκεί να πάρεις το ένα πλευρικό όριο, αφού το άλλο δεν έχει νόημα. Το (0,1) δεν υπάρχει στον χώρο σου, δουλεύεις στο R\(0,1) και η συνάρτησή σου είναι συνεχής παντού στο R\(0,1).

exc · 7 Ιουλίου 2011 στις 23:04

Εγώ στο β δεν είπα ότι δεν υπάρχει όριο. Είπα ότι η f ΔΕΝ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, αφού αυτό δεν είναι συνεχές.

dark_knight · 8 Ιουλίου 2011 στις 00:07

Δεν υφίσταται έννοια "συνεχές πεδίο ορισμού", το πεδίο ορισμού είναι ένα συγκεκριμένο σύνολο πχ. το R, ή το σύνολο των ρητών, ή το R/(0,1). Για να ελέγξεις τη συνέχεια μιας συνάρτησης f θα πρέπει να παίρνεις ακολουθίες x_n μέσα στο σύνολό σου που να συγκλίνουν στο x_0 και να αποδείξεις ότι η f(x_n) συγκλίνει στο f(x_0). Εδώ, στην περίπτωση x_0=0, δεν μπορείς να θεωρήσεις την ακολουθία 1/ν διότι, αν και συγκλίνει στο 0, δεν ανήκει στον χώρο μας. Όλες οι ακολουθίες που πρέπει να ελέγξουμε θα είναι "από τα αριστερά", αυτό που έδειξες δηλαδή στο α).

exc · 8 Ιουλίου 2011 στις 01:37

dark_knight,
ως διάστημα ορίζεται ένα συνεχές σύνολο πραγματικών αριθμών. Το R\(0,1) δεν είναι ένα συνεχές σύνολο πραγματικών αριθμών και για αυτό χαρακτήρισα ως ασυνεχές το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Τα συνήθη θεωρήματα, όταν μιλούν για συνέχεια, εννοούν πάντα συνέχεια σε διάστημα (και εδώ το π.ο. της δεν είναι διάστημα), γι' αυτό παρότι βάσει του κλασικού ορισμού ε-δ για τη συνέχεια, που εφαρμόζεται μόνο εντός του πεδίου ορισμού, είναι συνεχής, δεν τη χαρακτήρια συνεχή.

Αν σου δώσω π.χ. την λ(x) που είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και σου πω ότι λ(α)<0 και λ(β)>0 τότε βάσει ορισμού ε-δ για τη συνέχεια ΔΕΝ μπορείς να μου πεις ότι έχει ρίζα μεταξύ α και β γιατί η συνέχεια στο π.ο. δεν σημαίνει ότι το π.ο. είναι διάστημα.

Είναι λοιπόν καθαρά θέμα ορισμών και όχι ουσίας.

dark_knight · 8 Ιουλίου 2011 στις 14:32

Τα συνήθη θεωρήματα, όταν μιλούν για συνέχεια, εννοούν πάντα συνέχεια σε διάστημα

Δεν το εννοούν απλά, χρειάζεται να το δηλώνουν ρητά στις υποθέσεις, γιατί αλλιώς δεν είναι αυτονόητο, πχ. στο θ. Μπολζάνο που αναφέρεις "Έστω f συνεχής στο διάστημα [α,β]...". Στη συνάρτηση του qwerty δεν μπορείς να εφαρμόσεις θ. Μπολζάνο στο [-1,5] επειδή η συνάρτηση δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μπολζάνο στο διάστημα αυτό (δεν είναι συνεχής στο [-1,5] αφού δεν ορίζεται σε αυτό).

Είναι λοιπόν καθαρά θέμα ορισμών και όχι ουσίας.

Ο ορισμός της συνέχειας συναρτήσεων είναι ένας και αν θες να δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής ή όχι, θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις είτε αυτόν, είτε κάποιον από τους ισοδύναμους χαρακτηρισμούς του. Το να κατανοήσεις τον ορισμό είναι το πιο ουσιαστικό βήμα για να προχωρήσεις στην απόδειξη ενός ισχυρισμού.

Για να επανέλθουμε στο αρχικό ερώτημα του qwerty,

Στο πεδίο ορισμού της είναι συνεχής;

ναι είναι συνεχής παντού στο πεδίο ορισμού της. Ένα άλλο παράδειγμα είναι να θεωρήσεις τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού τους φυσικούς $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία $f(n)=\sqrt{n}, \forall n \in \mathbb{N}$ . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής παντού στο $\mathbb{N}$ . Γενικώς, οποιαδήποτε συνάρτηση $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο $\mathbb{N}$ .

Civilara · 8 Ιουλίου 2011 στις 16:30

Αρχική Δημοσίευση από dark_knight:
Για να επανέλθουμε στο αρχικό ερώτημα του qwerty, ναι είναι συνεχής παντού στο πεδίο ορισμού της. Ένα άλλο παράδειγμα είναι να θεωρήσεις τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού τους φυσικούς $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία $f(n)=\sqrt{n}, \forall n \in \mathbb{N}$ . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής παντού στο $\mathbb{N}$ . Γενικώς, οποιαδήποτε συνάρτηση $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο $\mathbb{N}$ .

Εδώ είσαι λάθος. Η συνάρτηση f(n) όπου n φυσικός είναι ακολυθία και για καμία ακολουθία δεν ορίζεται όριο lim(n->n0)f(n) για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n0. Ο λόγος είναι απλός και θέλει κατανόηση του ορισμού του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης. Για να είναι συνεχής μία συνάρτηση F στο x0 του πεδίου ορισμού της πρέπει να είναι ορισμένη τουλάχιστον σε ένα διάστημα της μορφής (α,x0], [x0,β) ή μπορεί να είναι ορισμένη στο (α,β) όπου α<x0<β. Για μία ακολουθία f(n) ορισμένη στο Ν, δεν υπάρχει κανένα διάστημα της μορφής (α,n0] ή [n0, β) ή (α,β) με α<n0<β για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n0, γιατί πολύ απλά περιέχονται σε αυτά τα διαστήματα πραγματικοί αριθμοί που ΔΕΝ είναι φυσικοί. Γι αυτό το λόγο όχι μόνο οι ακολουθίες δεν είναι συνεχείς συναρτήσεις αλλά δεν ορίζεται για κανένα φυσικό αριθμό n0 και για καμία ακολουθία το όριο lim(n->n0)f(n). Το μόνο όριο που υφίσταται ως έννοια για μία ακολουθία f(n) ορισμένη στο N, είναι το lim(n->+άπειρο)f(n).

Kostas741 · 8 Ιουλίου 2011 στις 18:34

Οποτε μπορειτε δωστε λιγο τα φωτα σας

Εστω f,g 2 γνησιως μονοτονες συναρτησεις με f,g: R-->R. Η Cf τεμνει τον αρνητικο ημιαξονα Ox' και τον αξονα y'y στο Α(0,-1) και η Cg τεμνει τον αξονα χ'χ στο -1 και τον θετικο ημιαξονα Oy.
Ποια η μονοτονια των f και g?

qwerty111 · 8 Ιουλίου 2011 στις 18:47

Αρχική Δημοσίευση από Kostas741:
Οποτε μπορειτε δωστε λιγο τα φωτα σας
Εστω f,g 2 γνησιως μονοτονες συναρτησεις με f,g: R-->R. Η Cf τεμνει τον αρνητικο ημιαξονα Ox' και τον αξονα y'y στο Α(0,-1) και η Cg τεμνει τον αξονα χ'χ στο -1 και τον θετικο ημιαξονα Oy.
Ποια η μονοτονια των f και g?

Εκμεταλλεύσου τη γνήσια μονοτονία των συναρτήσεων και κάνε ένα πρόχειρο σχήμα με τα δεδομένα που σου δίνει. Αν πάλι δεν τα καταφέρεις, πες μας

Insomnie · 8 Ιουλίου 2011 στις 18:53

Αρχική Δημοσίευση από Kostas741:
Οποτε μπορειτε δωστε λιγο τα φωτα σας
Εστω f,g 2 γνησιως μονοτονες συναρτησεις με f,g: R-->R. Η Cf τεμνει τον αρνητικο ημιαξονα Ox' και τον αξονα y'y στο Α(0,-1) και η Cg τεμνει τον αξονα χ'χ στο -1 και τον θετικο ημιαξονα Oy.
Ποια η μονοτονια των f και g?

Για την f: f(a)=0>f(0),όπου α η τετμημένη του σημείου τομής με τον Οχ'
με α<0 άρα φ γνησίως φθίνουσα.
Βρές με παρόμοιο τρόπο τη μονοτονία της g^^

dark_knight · 8 Ιουλίου 2011 στις 19:31

civilara, είναι πολύ εύκολο να δείξεις το ότι οποιαδήποτε συνάρτηση από το Ν στο R είναι συνεχής ως εξής: Έστω ακολουθία $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{N}$ η οποία συγκλίνει στον φυσικό αριθμό $x_0 \in \mathbb{N}$ . Αρκεί να δείξουμε ότι και η $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ συγκλίνει στο $f(x_0)$ . Για ε=1/3 παίρνεις ότι η ακολουθία $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ είναι τελικά σταθερή και ίση με $x_0$ , άρα και η $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ θα είναι τελικά σταθερή και ίση με $f(x_0)$ , άρα $f(x_n)\rightarrow f(x_0)$ και η f συνεχής.

Για να είναι συνεχής μία συνάρτηση F στο x0 του πεδίου ορισμού της πρέπει να είναι ορισμένη τουλάχιστον σε ένα διάστημα της μορφής (α,x0], [x0,β) ή μπορεί να είναι ορισμένη στο (α,β) όπου α<x0<β.

Εδώ, για ε=1/3, η ανοικτή περιοχή $\left(n_0-\frac{1}{3}, n_0+\frac{1}{3}\right)$ είναι ακριβώς το μονοσύνολο $\{n_0\}$ .

θέλει κατανόηση του ορισμού του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης.

Σε αυτό συμφωνώ απόλυτα, άλλωστε ο λόγος που κάνουμε αυτή τη συζήτηση είναι ότι δεν έχετε κατανοήσει σε βάθος την έννοια αυτή. Από ότι βλέπω οι σχολές σας (Φυσικό και Πολ. Μηχανικοί), αν και χτίζουν ένα πολύ καλό μαθηματικό υπόβαθρο, δεν υπεισέρχονται (και δικαιολογημένα άλλωστε) σε λεπτομέρειες σε θεμελιώδη θέματα ανάλυσης. Ακόμα και αρκετοί συνάδελφοί μου μαθηματικοί θα μπερδεύονταν εύκολα στο συγκεκριμένο.
Τέλοσπάντων, αυτό για την f από το Ν στο R μπορείτε να το ελέγξετε και στις σημειώσεις του κυριού Γιαννόπουλου, σελίδα 28, Παραδείγματα 2.2.2, β), όπου γράφει Χ εννοεί μετρικό χώρο, πχ. το R είναι μετρικός χώρος.

Civilara · 8 Ιουλίου 2011 στις 20:14

Έχεις δίκιο dark night και είναι φυσικό ως μαθηματικός να ξέρεις καλύτερα. Με λίγα λόγια, αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα Δ και συνεχής στο n0 ανήκει Δ, όπου n0 φυσικός αριθμός, τότε η ακολουθία αn=f(n) όπου n ανήκει Α=N τομή Df είναι συνεχής στο n0. Ισχύει αυτό;

exc · 8 Ιουλίου 2011 στις 22:26

@dark_knight:
Έχεις δίκαιο. Είπα τεράστια βλακεία πριν.
Sorry.

Kostas741 · 8 Ιουλίου 2011 στις 22:45

Ευχαριστω παιδες

dark_knight · 9 Ιουλίου 2011 στις 00:05

Καλά, δεν τίθεται θέμα συγγνώμης, άλλωστε προέκυψαν ενδιαφέροντα σημεία που αξίζει ένας μαθητής που πάει να δώσει πανελλήνιες να ξεκαθαρίσει. Επιπλέον η μαθηματική μου ιδιότητα δεν μειώνει τη δική μου επιρρέπεια στο λάθος. Ίσα ίσα σε τομείς όπως διαφορικές εξισώσεις, διπλά, τριπλά ολοκληρώματα, εφαρμοσμένα μαθηματικά κλπ. ένας μηχανικός ή ένας φυσικός έχει πολύ μεγαλύτερη κατάρτιση από τη δική μου.

@Civilara

Με λίγα λόγια, αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα Δ και συνεχής στο n0 ανήκει Δ, όπου n0 φυσικός αριθμός, τότε η ακολουθία αn=f(n) όπου n ανήκει Α=N τομή Df είναι συνεχής στο n0. Ισχύει αυτό;

Αν κατάλαβα καλά ρωτάς:
Έστω συνάρτηση $f: D_f \rightarrow \mathbb{R}$ , διάστημα $\Delta \subseteq D_f$ τέτοιο ώστε η $f$ να είναι συνεχής στο $n_0\in \Delta \cap \mathbb{N}$ . Ορίζουμε $g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $g(n)=f(n), \forall n \in \mathbb{N}\cap D_f$ . Είναι η $g$ συνεχής στο $n_0$ ;
Απάντηση: Ναι, όπως και σε κάθε άλλο σημείο του πεδίου ορισμού της, δηλαδή του $\mathbb{N}\cap D_f$ .
Απλά δεν καταλαβαίνω τί ρόλο παίζει η f εδώ. Το ότι η f είναι συνεχής δεν έχει σημασία για τη συνέχεια της g.

Πρόσεξε ότι στο αρχικό πρόβλημα με την τυχούσα $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ η ακολουθία $(f(n))_{n \in\mathbb{N}}$ δεν είναι κατ'ανάγκην συγκλίνουσα, πχ. αν $f(n)=n, \forall n \in \mathbb{N}$ , φυσικά η ακολουθία αυτή δεν συγκλίνει. Δεν έχει καν συγκλίνουσα υπακολουθία. Όμως η f είναι συνεχής γιατί μεταφέρει συγκλίνουσες ακολουθίες σε συγκλίνουσες: Οι μόνες ακολουθίες φυσικών που συγκλίνουν είναι οι τελικά σταθερές. Η απαίτηση της συνέχειας ισχύει με έναν εντελώς τετριμμένο τρόπο, αλλά ισχύει.

Kostakis3 · 10 Ιουλίου 2011 στις 20:58

Καλησπέρα σε όλη την κοινότητα... Βρίσκομαι στα μέσα της προετοιμασίας μου για την γ λυκείου και τα έχω βρεί σκούρα με μεερικές ασκήσεις του μπάρλα... Οποιαδήποτε βοήθεια δεκτή..

Έστω η συνάρτηση f: R->R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g(x)= f(3x-2)-f(1-2x), x ανήκει R
Να εξετάσετε την g ως προς την μονοτονία της. (Εδώ πρέπει να δουλέψουμε με προφανής ρίζα??)

ΚΑΙ

Έστω η συνάρτηση f:[0, +άπειρο)->R με f(0)=0, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g(x)=f(x)/ln(x+1), x>0. Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R

Και πάλι ευχαριστώ!!

Civilara · 10 Ιουλίου 2011 στις 21:23

Αρχική Δημοσίευση από Kostakis3:
Έστω η συνάρτηση f: R->R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g(x)= f(3x-2)-f(1-2x), x ανήκει R. Να εξετάσετε την g ως προς την μονοτονία της.

Θεωρώ x1, x2 ανήκουν R τέτοια ώστε x1<x2. Έχουμε:

g(x2)-g(x1)=f(3x2-2)-f(1-2x2)-f(3x1-2)+f(1-2x1)=[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]

x1<x2 => 3x1

x2 => 3x1-2

x2-2 => f(3x1-2)>f(3x2-2) => f(3x2-2)-f(3x1-2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα
x1<x2 => -2x1>-2x2 => 1-2x1>1-2x2 => f(1-2x1)<f(1-2x2) => f(1-2x1)-f(1-2x2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα

Αν προσθέσω κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει:
[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]<0 => g(x2)-g(x1)<0 => g(x1)>g(x2)

Για κάθε x1, x2 στο R με x1<x2 ισχύει g(x1)>g(x2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

Αρχική Δημοσίευση από Kostakis3:
Έστω η συνάρτηση f:[0, +άπειρο)->R με f(0)=0, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g(x)=f(x)/ln(x+1), x>0. Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R.

Για x>0 προκύπτει f(x)>f(0) => f(x)>0 αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα f(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

x>0 => x+1>1 => ln(x+1)>ln1 => ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

Επειδή f(x)>0 και ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε g(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

Το "Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R" είναι λάθος αφού το πεδίο ορισμού της g είναι το (0,+άπειρο).

Kostakis3 · 10 Ιουλίου 2011 στις 21:36

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Θεωρώ x1, x2 ανήκουν R τέτοια ώστε x1<x2. Έχουμε:

g(x2)-g(x1)=f(3x2-2)-f(1-2x2)-f(3x1-2)+f(1-2x1)=[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]

x1<x2 => 3x1x2 => 3x1-2x2-2 => f(3x1-2)>f(3x2-2) => f(3x2-2)-f(3x1-2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα
x1<x2 => -2x1>-2x2 => 1-2x1>1-2x2 => f(1-2x1)<f(1-2x2) => f(1-2x1)-f(1-2x2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα

Αν προσθέσω κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει:
[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]<0 => g(x2)-g(x1)<0 => g(x1)>g(x2)

Για κάθε x1, x2 στο R με x1<x2 ισχύει g(x1)>g(x2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Για x>0 προκύπτει f(x)>f(0) => f(x)>0 αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα f(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

x>0 => x+1>1 => ln(x+1)>ln1 => ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

Επειδή f(x)>0 και ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε g(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

Το "Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R" είναι λάθος αφού το πεδίο ορισμού της g είναι το (0,+άπειρο).

Φίλε μου είσαι φοβερός κατάλαβα τον τρόπο λύσης σου!! όσο για την δεύτερη άσκηση έχει απόλυτο δίκιο είναι δικό μου λάθος!! Και πάλι ένα μεγάλο ευχαριστώ!!

antwwwnis · 10 Ιουλίου 2011 στις 22:07

Έχω αρχίσει να διαβάζω μόνος μαθηματικά (ναι, δεν άρχισα ακόμα τα ιδιαίτερα

και είμαι πολύ πίσω ).
Είμαι στους μιγαδικούς (Πολύ πίσω ε;

).
Έχω μια απορία, λοιπόν.
Μέχρι τώρα ήξερα πως η εξίσωση ( χ^ν=α ) με ν περιττο και α>0 έχει ως ριζα μία και μοναδική, την νιοστή ρίζα του α.
Τώρα με τους μιγαδικούς, βρήκα την εξίσωση χ³=1 η οποία αν λυθεί με τα παραπάνω, έχει ρίζα το χ=1
Αν όμως γίνει χ³-1=0 και γινει παραγοντοποίηση, τότε βγάζουμε άλλες 2 ρίζες, μιγαδικές.
Τελικά, σε μια εξίσωση τέτοιου τύπου, ποιος είναι ο σίγουρος τρόπος να μην χάνουμε ρίζες;
πχ στο χ^5=2

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος