Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

3v@Ki · 29 Απριλίου 2011 στις 20:13

ευχαριστώ πάρα πολύ κώστα

....το 'ξερα ότι το είχα λύσει σωστά !!! :clapup:

akis95 · 1 Μαΐου 2011 στις 12:43

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Θα δώσω μια λύση χωρίς την ανισότητα Cauchy.

Θέλουμε να δείξουμε ότι:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3$

$\frac{ab+bc+ca}{abc}\geq 3$

$ab+bc+ca\geq 3abc$ (1)

'Ομως ισχύει:

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

Αυτό γιατί:

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2ab + 2bc + 2ca$

΄΅Ετσι:

$(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)= a^2+b^2+c^2-ab -bc-ca=\frac{1}{2}\left[2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ab-2bc-2ca\right]=\frac{1}{2}\left[a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 +c^2-2ca+a^2\right]=\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]$

Άρα:

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3$

Άρα:

$ab+bc+ca\leq 3$ .

Επομένως αρχικά ζητούσαμε να δειχθεί ότι (1):

$ab+bc+ca\geq 3abc$

Τώρα, αρκεί να δείξουμε ότι:

$3\geq 3abc$

$1\geq abc$

ή $abc\leq 1$

Αφού ισχύει όμως:

$a+b+c=3$

θα ισχύει και:

$\left(\sqrt[3]{a^3}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b^3}\right)^3+\left(\sqrt[3]{c^3}\right)^3=3$

Δηλαδή, αν θέσουμε $\sqrt[3]{a}=x$ , $\sqrt[3]{b}=y$ , $\sqrt[3]{c}=z$ , θα έχουμε πως:

$x^3+y^3+z^3=3$

Όμως από την ταυτότητα του Euler (βιβλίο πρώτης λυκείου), έχουμε ότι:

$x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-y)^2\right]$

Επειδή $x+y+z\geq 0$ , και γενικά το δεύτερο μέλος μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, το ίδιο θα ισχύει και για το πρώτο. Δηλαδή:

$x^3+y^3+z^3 -3xyz\geq 0$

$x^3+y^3+z^3\geq 3xyz$

Και αν ξανακάνουμε την αντικατάσταση:

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$3\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\sqrt[3]{abc}\leq 1$

$abc\leq 1$

Άρα η ανίσωση έχει αποδειχθεί.

Στέλιος

φιλε Στέλιο η ασκηση δεν θα μπορουσε να λυθει και προσθετωντας το 1/α το 1/β και το 1/c στην α+β+γ=3 αρα θα δημιουργωταν μια ανισωση μεγαλυτερη ιση του 3 αφου α,β,γ θετικοι και α +1/α μεγαλυερο ισο του 2 αυτο βγαινει αντισοιχα με το β και το γ και εστι 6 μεγαλυερο του 3 που ισχυει.Αν ειπα βλακεια πειτε μου

JaneWin · 1 Μαΐου 2011 στις 13:14

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
φιλε Στέλιο η ασκηση δεν θα μπορουσε να λυθει και προσθετωντας το 1/α το 1/β και το 1/c στην α+β+γ=3 αρα θα δημιουργωταν μια ανισωση μεγαλυτερη ιση του 3 αφου α,β,γ θετικοι και α +1/α μεγαλυερο ισο του 2 αυτο βγαινει αντισοιχα με το β και το γ και εστι 6 μεγαλυερο του 3 που ισχυει.Αν ειπα βλακεια πειτε μου

O mostel έγραψε στις 13:10, 26-10-08:

Αυτό,το ότι πάντα είστε επίκαιροι,με τρελαίνει. :hehe:

rebel · 2 Μαΐου 2011 στις 17:35

Άλλη λύση είναι να θέσουμε $y=x^2 \geq 0$ οπότε η μεγιστοποίηση της f ισοδυναμεί με μεγιστοποίηση της
$g(y)=y-y^2, \, y \geq 0$ . Αυτή παίρνει την μέγιστη τιμή της για $y=-\frac{\beta}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$ και αυτή είναι ίση με $g\left(\frac{1}{2}\left)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ .

Eπεξεργασία: Υπόψιν ότι η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο $[0,+\infty)$ . Αν επομένως ήταν $-\frac{\beta}{2a}<0$ τότε θα έπαιρνε μέγιστη τιμή για y=0.
Ένα παράδειγμα όπου φαίνεται αυτό είναι να θεωρήσουμε την συνάρτηση $f(x)=-x^2-4x-3, \, x \in \mathbb{R}$ η οποία παίρνει μέγιστη τιμή για $x=-2<0$ .
Αν όμως θεωρήσουμε την συνάρτηση $f(x)=-x^2-4x-3, \, x \in [0,+\infty)$ τότε αυτή παίρνει μέγιστη τιμή για χ=0 αφού είναι γνησίως φθίνουσα στο $[0,+\infty)$ οπότε $x \geq 0 \Rightarrow f(x) \leq f(0)$

Υ.Γ.: Dias νομίζω η λύση σου θα είναι πλήρης αν επαληθεύσεις ότι υπάρχει κάποιο χ για το οποίο ισχύει η ισότητα.

Φιλικά Κώστας

Dias · 2 Μαΐου 2011 στις 18:59

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Dias νομίζω η λύση σου θα είναι πλήρης αν επαληθεύσεις ότι υπάρχει κάποιο χ για το οποίο ισχύει η ισότητα.

Έχεις δίκιο. Κάτι που το κάνω πολλές φορές στα μαθηματικά (και προβλέπω ότι θα το κάνω και στις πανελλήνιες) είναι να θεωρώ κάποια πράγματα αυτονόητα (όπως εδώ ότι η ισότητα ισχύει για χ = ± 1/√2̅ ), ενώ θα έπρεπε να τα εξηγώ.
Σ' ευχαριστώ.

jim_1995 · 6 Μαΐου 2011 στις 17:41

μήπως μπορεί κανείς να μου βρει το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης;;;
f(x)\frac{4}{{x}^{2}+x-2}-\sqrt{2-|{x}^{2}-5x+2|}

alex2395 · 6 Μαΐου 2011 στις 23:11

$f(x)\frac{4}{{x}^{2}+x-2}-\sqrt{2-|{x}^{2}-5x+2|}$
αυτο ενοεις??

βρηκα
$x\in [0,1)\bigcup [4,5]$

δεν ειμαι σιγουρος αν εχεις την απαντηση επιβεβαιωσε με(το εκανα γρηγορα και υπαρχει μεγαλη πιθανοτητα να εκανα λαθος)

θα σου πω τι εκανα

${x}^{2}+x-2\neq 0$
και συνεχιζεις

και $2-\left|{x}^{2}-5x+2 \right|\geq 0$
και συνεχιζεις...

ας με επιβεβαιωσει καποιος

gregory nub · 6 Μαΐου 2011 στις 23:31

Μηπως υπαρχει κανα σαιτ με ασκησεις της αλγεβρας α' λυκειου; τις θελω για τις εξετασεις γιατι απο το βιβλιο πανω κατω ολες τις ειχα λυσει στην διαρκεια του χρονου, και θελω να κανω εξασκηση σε νεες.

alex2395 · 6 Μαΐου 2011 στις 23:34

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=19&t=15247

θα σου ελεγα βεβαια να παρεις καποιο βοηθημα αν προλαβαινεις

gregory nub · 6 Μαΐου 2011 στις 23:58

Δεν αξιζει φιλε, τα πουλανε 20+ ευρω και ακομα και να μην παρω καλο βαθμο στις εξετασεις δεν θα εχει καποια συνεπεια στο μελλον μου. Πιστευω πως την εχω καταλαβει την Αλγεβρα φετος, οποτε δεν θα με πειραξει ιδιαιτερα...

panabarbes · 7 Μαΐου 2011 στις 00:21

Επίσης υπάρχουν και θέματα εξετάσεων από την τράπεζα θεμάτων της στερεάς Ελλάδας τα οποία μπορείς να δουλέψεις που είναι ακριβώς ίδια στο στυλ με αυτά που θα πέσουν στις εξετάσεις https://physics.yooblog.gr/2010/12/18/57/

akis95 · 7 Μαΐου 2011 στις 10:59

ναι τοσο βγαινει το εκανα και εγω αλλα δεν εξρω να γραφω με latex οποτε....

αδαμαντια52071 · 7 Μαΐου 2011 στις 11:02

ισχυει...

Μαρκέλλα Μ. · 7 Μαΐου 2011 στις 20:50

Επειγον... Ασκηση 4 σελ. 72.. Οποιος εχει κανει την ασκηση ας με βοηθησει... Η ασκηση ειναι στην υλη και δινω την παρασκευη...
Ευχαριστω εκ των προτερων.

Υ.Γ ειναι για το βιβλιο των μαθηματικών της Α΄ Λυκειου.

alex2395 · 8 Μαΐου 2011 στις 19:31

Αρχική Δημοσίευση από Μαρκέλλα Μ.:
Επειγον... Ασκηση 4 σελ. 72.. Οποιος εχει κανει την ασκηση ας με βοηθησει... Η ασκηση ειναι στην υλη και δινω την παρασκευη...
Ευχαριστω εκ των προτερων.

σιγουρα ???
γιατι σε αυτη τη σελιδα εχει ερωτησεις κατανοησης

Μαρκέλλα Μ. · 8 Μαΐου 2011 στις 19:36

ναι σε αυτη την σελιδα είναι. βρηκα την απάντηση βέβαια αν και με μπέρδεψε αυτο το θέμα.. ειναι το κεφάλαιο 2.3

alex2395 · 8 Μαΐου 2011 στις 19:47

ε αρκει το χ να ειναι +1 η -1
γιατι το απολυτο χ αποκλειεται να ειναι -2
αρα μονο δυο λυσεις

akis95 · 9 Μαΐου 2011 στις 18:32

παιδια θελω να κανω μια ερωτηση επειδη ο μπαρλας τουλαχιστον εμενα μου φαινεται αρκετα ευκολος αν υπαρχει καπιο βιβλιο το οπιο να ειναι καποια επιπεδα πιο πανω απο τον μπαρλα εχψ ακουσει για το βιβλιο θεωρια των αριθμων μαλιστα πηγα και στην ιστοσελιδα του παπασωτηριου αλλα λεει πως το βιβλιο απευθυνεται κυριως σε φοιτητεσ θετικων επιστημων.Επισης εχω ακουσει και ενα αλλο του σαβαλλα ολυμπιαδεσ των μαθηματικών παντως και τα δυο βιβλια απο οτι ειδα σε αλλα θεματα λενε πως ειναι πολυ καλα και συνδυαζουν θεωρεια και ασκησεισ απλα θκλενω να ξερω αν τα βιβλια αυτα ειναι καλα οπως λενε θα σας ημουν υποχρεως αν ανεβαζατε καποιεσ σελιδεσ απο τα βιβλια αυτα.Ευχαριστω

Μαρκέλλα Μ. · 9 Μαΐου 2011 στις 19:11

αν θελεις βοηθητικά βιβλία μαθηματικών για να λύνεις ασκήσεις θα σε βοηθήσουν πολύ τα βιβλία Σαββάλας (Βασίλης Παπαδάκης).. εχει αρκετό υλικό και σε ασκήσεις και σε θεωρήματα. Στο συνιστώ.! το γνωρίζω γιατί εχω και εγώ αυτα τα βιβλία.

Παιδιά μια τελευταία βοήθεια στην Αλγεβρα.Δίνω Αλγεβρα την Παρασκευή...

ΑΣΚΗΣΗ:
Α)Να εξετάσετε ποιες απο τις παρακάτω εξισώσεις έχουν λύση και να προσδιορίσετε το πλήθος των ριζών τους:
1)χ^-3χ-10=0, 2)χ^+6χ+9=0, 3)χ^+3χ+5=0

Β)Να βρείτε την ρίζα ή τις ρίζες σε όσες από τις παραπάνω εξισώσεις, 1), 2), 3) απαντήσατε ότι έχουν ρίζα ή οχι.

επίσης: να λυθεί η εξίσωση: 2χ^-8=0.(την ελυσα αλλά δεν είμαι σίγουρη)

Υ.Γ. ( ^ = αριθμός υψωμένο στο τετράγωνο)

ευχαριστώ!

αδαμαντια52071 · 9 Μαΐου 2011 στις 19:30

στην πρωτη ασκηση το μονο που εχεις να κανεις ειναι να τα λυσεις με διακρινουσα.
και την 2η ασκηση 2χ²-8 λυς την και αυτη με διακρινουσα...

ασχετο η 2x²-8 ειναι ολο στο τετραγωνο ή μονο το χ???

παντως για να μην μπερδευτεις με παραγοντοποιηση χρησιμοποιησε διακρινουσα

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος