Η άσκηση του διημέρου

lowbaper92 · 7 Απριλίου 2011 στις 02:09

Εδώ θα ανεβάζω ανά δύο μέρες το αργότερο επαναληπτικές ασκήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης ενόψει των Πανελληνίων. Μετά από 48 ώρες θα δίνω τη λύση της άσκησης αν έχει μείνει άλυτη. Όταν λύνεται μια άσκηση θα πηγαίνουμε αμέσως στην επόμενη. Άνοιξα καινούργιο θέμα για να μείνουν συγκεντρωμένες οι ασκήσεις και να μην χαθούν στη Συλλογή. Ελπίζω να μην υπάρχει πρόβλημα. Ξεκινάμε !

ΆΣΚΗΣΗ 1

Δίνονται μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί ${z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}$ των οποίων οι εικόνες $A\left({z}_{1} \right),B\left({z}_{2} \right),\Gamma \left({z}_{3} \right)$ στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία του κύκλου ${x}^{2}+{y}^{2}=1$

α) Να αποδείξετε ότι $\left|{z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right|=\left|\frac{1}{{z}_{1}}+\frac{1}{{z}_{2}}+\frac{1}{{z}_{3}} \right|$

β) Να αποδείξετε ότι $\left|{z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right|=\left|{z}_{1}{z}_{2} +{z}_{2}{z}_{3}+{z}_{3}{z}_{1}\right|$

γ) Να αποδείξετε ότι $\left({z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right)\left(\frac{1}{{z}_{1}}+\frac{1}{{z}_{2}} +\frac{1}{{z}_{3}}\right)\leq 9$

δ) Να υπολογίσετε το $\left|{z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3} \right|$ όταν ισχύει ότι
$\int_{0}^{1}x{e}^{\left|{z}_{1} {z}_{2}+{z}_{2}{z}_{3}+{z}_{3}{z}_{1}\right|\cdot {x}^{2}}dx=\frac{{e}^{2}-1}{2\left|{z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right|}$

tebelis13 · 7 Απριλίου 2011 στις 15:49

Ισχύει λόγω του γ.τ. των μιγαδικών z̅z=1 ⇒ z̅=1/z (1)

α)|z₁+z₂+z3|=|z̅₂+z̅₁+z̅₃|=|1/z₁+1/z₂+1/z3|
β)|z₁+z₂+z3|=|1/z₁+1/z₂+1/z3|=|z₂*z3/(z₁*z₂*z3) +z₁*z3/(z₁*z₂*z3)+z₁*z₂/(z₁*z₂*z3)|=|z₂*z3 +z₁*z3+z₁*z₂|/|z₁*z₂*z3|=|z₂*z3 +z₁*z3+z₁*z₂|/|z₁|*|z₂|*|z3|=|z₂*z3 +z₁*z3+z₁*z₂|
γ)(z₁+z₂+z3)(1/z₁+1/z₂+1/z3)≤9 ⇒ (z₁+z₂+z3)(z̅₂+z̅₁+z̅₃)≤9 ⇒ |z₁+z₂+z3|^2 ≤9
και εφόσον |z₁+z₂+z3|max=3 ⇒ |z₁+z₂+z3|^2 ≤9 ΙΣΧΥΕΙ
δ) $\int_{0}^{1}{2\left|{z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right| x{e}^{\left|{z}_{1} {z}_{2}+{z}_{2}{z}_{3}+{z}_{3}{z}_{1}\right|\cdot {x}^{2}}dx=\int_{0}^{1}({e}^{\left|{z}_{1} {z}_{2}+{z}_{2}{z}_{3}+{z}_{3}{z}_{1}\right|\cdot {x}^{2})'}dx=\left[ {e}^{\left|{z}_{1} {z}_{2}+{z}_{2}{z}_{3}+{z}_{3}{z}_{1}\right|\cdot {x}^{2}\right]={e}^{\left|{z}_{1} {z}_{2}+{z}_{2}{z}_{3}+{z}_{3}{z}_{1}\right|}-{e}^0={e}^{\left|{z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right| }-1$
Άρα ${e}^{\left|{z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right| }-1={e}^3-1$
Oπότε ${e}^{\left|{z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right| }={e}^3$
Άρα ${\left|{z}_{1} +{z}_{2}+{z}_{3}\right| }=3$

lowbaper92 · 7 Απριλίου 2011 στις 19:25

@tebelis13
Είχα e^2 οπότε βγαίνει 2 το δ, αλλά η λύση σου είναι σωστή

Άσκηση 2

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β] με $f\left(x \right)>0$ για την οποία για κάθε xε[α,β] ισχύει $f'\left(x \right)={f}^{2}\left(x \right)$

α) Να δείξετε ότι:
i) $\frac{1}{f\left(\beta \right)}-\frac{1}{f\left(\alpha \right)}=\alpha -\beta$

ii) Υπάρχει ${x}_{0}\in \left(\alpha ,\beta \right): 2ln\left(f\left({x}_{0} \right) \right)=ln\left(f\left(\alpha \right) \right)+ln\left(f\left(\beta \right) \right)$

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα.

γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι $2011f\left(\alpha \right)=f\left(\beta \right)$ , τότε:
i) Υπολογίστε το
$I=\int_{\alpha }^{\beta }f\left(x \right)dx$

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει
$\xi \in \left(\alpha ,\beta \right):f\left(\xi \right)=\frac{ln2011}{\beta -\alpha }$

Και δώρο ένα Σ-Λ:
Άν η f δεν είναι συνεχής στα α και β , τότε δεν είναι συνεχής και στο [α,β]

vassilis498 · 8 Απριλίου 2011 στις 00:09

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 2

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β] με $f\left(x \right)>0$ για την οποία για κάθε xε[α,β] ισχύει $f'\left(x \right)={f}^{2}\left(x \right)$

α) Να δείξετε ότι:
i) $\frac{1}{f\left(\beta \right)}-\frac{1}{f\left(\alpha \right)}=\alpha -\beta$

ii) Υπάρχει ${x}_{0}\in \left(\alpha ,\beta \right): 2ln\left(f\left({x}_{0} \right) \right)=ln\left(f\left(\alpha \right) \right)+ln\left(f\left(\beta \right) \right)$

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα.

γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι $2011f\left(\alpha \right)=f\left(\beta \right)$ , τότε:
i) Υπολογίστε το
$I=\int_{\alpha }^{\beta }f\left(x \right)dx$

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει
$\xi \in \left(\alpha ,\beta \right):f\left(\xi \right)=\frac{ln2011}{\beta -\alpha }$

Και δώρο ένα Σ-Λ:
Άν η f δεν είναι συνεχής στα α και β , τότε δεν είναι συνεχής και στο [α,β]

a) i) $f'\left(x \right)={f}^{2}\left(x \right)$

$f'(x)={f}^{2}(x)\Leftrightarrow \frac{f'(x)}{{f}^{2}(x)}=1\Leftrightarrow -\frac{1}{f(x)}=x+c\Leftrightarrow f(x)=-\frac{1}{x+c}$

$f(a)=-\frac{1}{a+c}\Leftrightarrow \frac{1}{f(a)}=-(a+c)$

$f(b)=-\frac{1}{b+c}\Leftrightarrow \frac{1}{f(b)}=-(b+c)$

$\frac{1}{f(b)}-\frac{1}{f(a)}=-(b+c)+(a+c)=a-b$

ii) $\frac{1}{f(b)}-\frac{1}{f(a)}=a-b\Leftrightarrow \frac{f(a)-f(b)}{f(a)f(b)}=a-b\Leftrightarrow \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f(a)f(b)$

f παραγωγίσιμη, από ΘΜΤ έχω Χο στο (α,β) τέτοιο ώστε
$f'(Xo)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\Leftrightarrow {f}^{2}(Xo)=f(a)f(b)\Leftrightarrow ln[{f}^{2}(Xo)]=ln[f(a)f(b)]\Leftrightarrow 2lnf(Xo)=lnf(a)+lnf(b)$

b) $f'(x)={f}^{2}(x)>0$ άρα f γν αύξουσα
για χ1,χ2 στο [α,β] τέτοια ώστε χ1<χ2

$x1<x2\Leftrightarrow f(x1)<f(x2)\Rightarrow {f}^{2}(x1)<{f}^{2}(x2)\Leftrightarrow f'(x1)<f'(x2)$ f' γν αύξουσα δηλαδή f κυρτή

γ) $f'(x)={f}^{2}(x)\Leftrightarrow f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$

$I=\int_{\alpha }^{\beta }f\left(x \right)dx=\int_{a}^{b}\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\left[ln[f(x)] \right]=lnf(b)-lnf(a)=ln\left[\frac{f(b)}{f(a)} \right]=ln\left[\frac{2011f(a)}{f(a)} \right]=ln2011$

ii) έστω F(x) μια παράγουσα της f στο [α,β] με F'(x)=f(x).
F παραγωγίσιμη, από ΘΜΤ έχω ξ στο [α,β] τέτοιο ώστε

$F'(\xi )=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\Leftrightarrow f(\xi )=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}\Leftrightarrow f(\xi )=\frac{ln2011}{b-a}$

Το Σ-Λ πρέπει να είναι λάθος, γιατί δεν ισχύει πάντα. Μπορεί τα πλευρικά να είναι μεταξύ τους διαφορετικά, αλλά τα πλευρικά από τη μεριά του διαστήματος να είναι ίσα με τα f(a),f(b).

lowbaper92 · 8 Απριλίου 2011 στις 12:08

Β τρόπος για το αii (χρησιμοποιώντας μονοτονία)

Έστω $g\left(x \right)={f}^{2}\left(x \right)-f\left(\alpha \right)f\left(\beta \right),\, x\in \left[\alpha ,\beta \right]$ η οποία είναι συνεχής στο [α,β].

$\bullet \; g\left(a \right)={f}^{2}\left(a \right)-f\left(\alpha \right)f\left(\beta \right)=f\left(\alpha \right)\left(f\left(\alpha \right)-f\left(\beta \right) \right)$
$\bullet \; g\left(\beta \right)={f}^{2}\left(\beta \right)-f\left(\alpha \right)f\left(\beta \right)=f\left(\beta \right)\left(f\left(\beta \right)-f\left(\alpha \right) \right)$

$f'\left(x \right)={f}^{2}\left(x \right)>0\; \alpha \rho \alpha \; f\; \gamma \nu .\; \alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha$ στο [α,β]
Όμως $\alpha <\beta \Leftrightarrow f\left(\alpha \right)<f\left(\beta \right)\Leftrightarrow f\left(\alpha \right)-f\left(\beta \right)<0$
Άρα $g\left(\alpha \right)<0\; \kappa \alpha \iota \; g\left(\beta \right)>0$

$g\left(\alpha \right)g\left(\beta \right)<0\rightarrow (Bolzano)\; {x}_{0}\in \left(\alpha ,\beta \right):g\left({x}_{0} \right)=0\Leftrightarrow {f}^{2}\left({x}_{0} \right)=f\left(\alpha \right)f\left(\beta \right)\Leftrightarrow 2ln\left(f\left({x}_{0} \right) \right)=ln\left(f\left(\alpha \right) \right)+ln\left(f\left(\beta \right) \right)$

Γ τρόπος για το αii (χωρίς μονοτονία)

$\frac{1}{f\left(\beta \right)}-\frac{1}{f\left(\alpha \right)}=\alpha -\beta <0\Leftrightarrow \frac{1}{f\left(\beta \right)}<\frac{1}{f\left(\alpha \right)}\Leftrightarrow f\left(\alpha \right)<f\left(\beta \right)$

Άρα
$\bullet \; f\left(\alpha \right)<f\left(\beta \right)\Leftrightarrow {f}^{2}\left(\alpha \right)<f\left(\alpha \right)f\left(\beta \right)$
$\bullet \; f\left(\alpha \right)<f\left(\beta \right)\Leftrightarrow {f}^{2}\left(\beta \right)>f\left(\alpha \right)f\left(\beta \right)$
Συνεχίζουμε όμοια με τον Β τρόπο κάνοντας Bolzano στην $g\left(x \right)={f}^{2}\left(x \right)-f\left(\alpha \right)f\left(\beta \right)$

Στο (β) ερώτημα δεν ισχύει αυτό που έκανες για να αποδείξεις την κυρτότητα. Όταν υψώνεις στο τετράγωνο δεν διατηρείται πάντα η φορά της ανίσωσης. Πχ: -3<2 αλλά 9>4 (πάντα όταν έχεις αμφιβολία σε τέτοιες περιπτώσεις να δοκιμάζεις με αριθμούς)
Μπορείς να πεις ότι

$f''\left(x \right)=2f\left(x \right)f'\left(x \right)>0$

Επίσης ξέχασες τα ακρότατα

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] άρα θα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Κι επειδή είναι γνησίως αύξουσα, θα έχει σύνολο τιμών το [f(a),f(b)]. Άρα fmin=f(a) και fmax=f(b)

Β τρόπος για το γii

Θέλουμε λύση της εξίσωσης $f\left(t \right)=\frac{ln2011}{\beta -\alpha }\Rightarrow \int_{\alpha }^{x}f\left(t \right)dt=\int_{\alpha }^{x}\frac{ln2011}{\beta -\alpha }dt\Leftrightarrow \int_{\alpha }^{x}f\left(t \right)dt=\frac{ln2011}{\beta -\alpha } \left(x-\alpha \right)$

Έστω $h\left(x \right)=\int_{\alpha }^{x}f\left(t \right)dt-\frac{ln2011}{\beta -\alpha }\left(x-\alpha \right),\; x\in \left[\alpha ,\beta \right]$

$\bullet \; h\left(\alpha \right)=0$
$\bullet \; h\left(\beta \right)=\int_{\alpha }^{\beta }f\left(t \right)dt-ln2011=ln2011-ln2011=0$

$Rolle\rightarrow \xi \in \left(\alpha ,\beta \right):h'\left(\xi \right)=0\Leftrightarrow f\left(\xi \right)=\frac{ln2011}{\beta -\alpha }$

Γ τρόπος για το γii

Έστω $k\left(x \right)=lnf\left(x \right),\; x\in \left[\alpha ,\beta \right]$

$\Theta .M.T\rightarrow \xi \in \left(\alpha ,\beta \right):k'\left(\xi \right)=\frac{lnf\left(\beta \right)-lnf\left(\alpha \right)}{\beta -\alpha }\Leftrightarrow \frac{f'\left(\xi \right)}{f\left(\xi \right)}=\frac{ln\left(2011f\left(\alpha \right) \right)-lnf\left(\alpha \right)}{\beta -\alpha }\Leftrightarrow \frac{{f}^{2}\left(\xi \right)}{f\left(\xi \right)}=\frac{ln2011+lnf\left(\alpha \right)-lnf\left(\alpha \right)}{\beta -\alpha }\Leftrightarrow f\left(\xi \right)=\frac{ln2011}{\beta -\alpha }$

Για το Σ-Λ

Είσαι τσάκαλος :thumbsup:

Δες και ένα σχηματάκι

lowbaper92 · 8 Απριλίου 2011 στις 12:28

Άσκηση 3

Δίνεται η γνησίως μονότονη και συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f\left(x \right)+{f}^{-1}\left(x \right)=2x\; \forall x\in R$ και $f\left(0 \right)=2$

Α)
i) Να λύσετε την εξίσωση $f\left(x \right)=0$

ii) Να δείξετε ότι $f\left(-4 \right)=-2$

iii) Να δείξετε ότι $\int_{0}^{2}f\left(x \right)dx=4+\int_{-2}^{0}f\left(x \right)dx$

B) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να δείξετε ότι:

i) Υπάρχουν τουλάχιστον δύο εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες στο διάστημα $\left(-4,0 \right)$ οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία $y=x$

ii) $2\leq f\left(x \right)\leq 2x+2 \;\; \forall x\geq 0$

iii) $0\leq \int_{-2}^{0}f\left(x \right)dx\leq 4$

Και δώρο μια υπαρξιακή
Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] για την οποία ισχύουν $\int_{0}^{1}f\left(x \right)dx=c$ και $f\left(0 \right)=f\left(1 \right)=c$
Να δείξετε ότι υπάρχει ${x}_{0}\in \left(0,1 \right):f''\left({x}_{0} \right)=0$

tebelis13 · 8 Απριλίου 2011 στις 14:43

Στο Α) θές ν.δ.ο. φ(-4)=φ(0)
Εφόσον η συνάρτηση είναι γν.μονότονη δεν θα είναι και "1-1"?
Αν ναί πως γίνεται για φ(-4)=φ(0) => -4<>0

vassilis498 · 8 Απριλίου 2011 στις 14:53

Στο (β) ερώτημα δεν ισχύει αυτό που έκανες για να αποδείξεις την κυρτότητα. Όταν υψώνεις στο τετράγωνο δεν διατηρείται πάντα η φορά της ανίσωσης. Πχ: -3<2 αλλά 9>4 (πάντα όταν έχεις αμφιβολία σε τέτοιες περιπτώσεις να δοκιμάζεις με αριθμούς)

το έκανα με το σκεπτικό ότι αφού μου δίνεται ότι φ(χ)>0 δε νομίζω να υπάρχει πρόβλημα.

Επίσης ξέχασες τα ακρότατα

αι στο διάολο όλο τα ξεχνάω και λέω τι τα ζητάει αφού είναι μονότονη

13diagoras · 8 Απριλίου 2011 στις 22:22

tebelis13 δικιο εχεις -2 θελει
εδιτ:ερχεται λυση σε λιγο...

lowbaper92 · 8 Απριλίου 2011 στις 22:55

Παιδιά σορρυ f(-4)=-2 να δείξετε

Tonix · 8 Απριλίου 2011 στις 23:54

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Και δώρο ένα Σ-Λ:
Άν η f δεν είναι συνεχής στα α και β , τότε δεν είναι συνεχής και στο [α,β]

νμζω ειναι ελλιπείς η εκφώνηση , δεν θα επρεπε να πει και που οριζεται η f ή εστω για πιο διαστημα συνολικα μιλαμε διοτι στην απαντηση σου λες για ενα διαστημα πιο ευρυ απο το [α.β]

Leo 93 · 8 Απριλίου 2011 στις 23:54

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Και δώρο μια υπαρξιακή
Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] για την οποία ισχύουν $\int_{0}^{1}f\left(x \right)dx=c$ και $f\left(0 \right)=f\left(1 \right)=c$
Να δείξετε ότι υπάρχει ${x}_{0}\in \left(0,1 \right):f''\left({x}_{0} \right)=0$

Λύση:

Με Θ.Μ.Τ. για μια αρχική της $f$ στο $[0,1]$ από την υπόθεση παίρνουμε ότι υπάρχει $a\in (0,1):f(a)=c=f(0)=f(1)$ .

Οπότε, με θ.Rolle στα $[0,a]$ και $[a,1]$ έχουμε ότι υπάρχουν ${x}_{1}\in (0,a):f'\left({x}_{1})=0, {x}_{2}\in (a,1):f'\left({x}_{2})=0$ .

Τώρα θ.Rolle στο $\left[{x}_{1},{x}_{2} \right]$ .

lowbaper92 · 9 Απριλίου 2011 στις 16:27

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
tebelis13 δικιο εχεις -2 θελει
εδιτ:ερχεται λυση σε λιγο...

A ερώτημα ολόσωστος !

Βi)

ΔΙΑΒΑΖΟΥΜΕ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ ΤΗΝ ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΡΕΕΕΕΕ

Ζητάει 2 εφαπτομένες παράλληλες στον y=x, άρα θέλει Rolle στα [4,-2] και [-2,0]

Στο Bii δεν βλέπω λάθος. Εναλλακτικά και πιο εύκολα:
$-4<0\Rightarrow f\left(-4 \right)=-2<f\left(0 \right)=2$ . Και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα. Άρα και η αντίστροφη της f γνησίως αύξουσα. Άρα:
$x\geq 0\Leftrightarrow f\left(x \right)\geq f\left(0 \right)\Leftrightarrow f\left(x \right)\geq 2$
$x\geq 0\Leftrightarrow {f}^{-1}\left(x \right)\geq {f}^{-1}\left(0 \right)\Leftrightarrow 2x-f\left(x \right)\geq -2\Leftrightarrow f\left(x \right)\leq 2x+2$

Στο Βiii, εφόσον στο προηγούμενο ερώτημα έχεις αποδείξει τη σχέση για x>=0, να ολοκληρώσεις από 0 έως 2 και μετά να αντικαταστήσεις τη σχέση από το Αiii

Αρχική Δημοσίευση από Leo 93:
Λύση:

Με Θ.Μ.Τ. για μια αρχική της $f$ στο $[0,1]$ από την υπόθεση παίρνουμε ότι υπάρχει $a\in (0,1):f(a)=c=f(0)=f(1)$ .

Οπότε, με θ.Rolle στα $[0,a]$ και $[a,1]$ έχουμε ότι υπάρχουν ${x}_{1}\in (0,a):f'\left({x}_{1})=0, {x}_{2}\in (a,1):f'\left({x}_{2})=0$ .

Τώρα θ.Rolle στο $\left[{x}_{1},{x}_{2} \right]$ .

Σωστός. Ας γράψω όμως την αρχή για να έχουμε τη λύση

$\int_{0}^{1}f\left(x \right)dx=c\Leftrightarrow \int_{0}^{1}F'\left(x \right)dx=c\Leftrightarrow \left[F\left(x \right) \right]{}^{1}{}_{0}=c\Leftrightarrow F\left(1 \right)-F\left(0 \right)=c\Leftrightarrow \frac{F\left(1 \right)-F\left(0 \right)}{1-0}=c\Leftrightarrow \left(\Theta .M.T \right)\Leftrightarrow F'\left(\alpha \right)=c\Leftrightarrow f\left(\alpha \right)=c\; \mu \varepsilon \; \alpha \in \left(0.1 \right)$
Και συνεχίζουμε όπως εσύ

Αρχική Δημοσίευση από Tonix:
νμζω ειναι ελλιπείς η εκφώνηση , δεν θα επρεπε να πει και που οριζεται η f ή εστω για πιο διαστημα συνολικα μιλαμε διοτι στην απαντηση σου λες για ενα διαστημα πιο ευρυ απο το [α.β]

Στο $R$ ορίζεται. Ίσως έπρεπε να το διευκρινίσω. Τώρα νομίζω είναι εντάξει.

lowbaper92 · 9 Απριλίου 2011 στις 17:07

Άσκηση 4 (4 ανεξάρτητες υπαρξιακές)

Α) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο $\left[\alpha ,\beta \right]$ . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
${x}_{0}\in \left(\alpha ,\beta \right): \int_{\alpha }^{{x}_{0}}f\left(t \right)dt-\int_{{x}_{0}}^{\beta }f\left(t \right)dt=\left(\alpha +b-2{x}_{0} \right)\cdot f\left({x}_{0} \right)$

Β) Έστω συνάρτηση $f:\left[a.b \right]\rightarrow R, (0<a<b)$ παραγωγίσιμη στο [a,b] για την οποία ισχύει $xf'\left(x \right)>f\left(x \right)$
Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \left[a,b \right]:f\left(\xi \right)=\frac{2\xi }{{b}^{2}-{a}^{2}}\int_{a}^{b}f\left(x \right)dx$

Γ) Έστω f συνεχής στο και γνησίως φθίνουσα στο R με $f\left(0 \right)=0$
Θεωρούμε τη συνάρτηση $g\left(x \right)=\int_{0}^{x}f\left(t \right)dt, \; x\in R$
Να αποδείξετε ότη η εξίσωση $1+\int_{x}^{2x}f\left(t \right)dt=x$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\left(0,1 \right)$

Δ) (απ΄τις αγαπημένες μου ασκήσεις)
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] με $f\left(\alpha \right)>1$ και $\int_{\alpha }^{\beta }f\left(x \right)dx<\eta \mu \beta -\eta \mu \alpha$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \left(\alpha ,\beta \right):f\left(\xi \right)=\sigma \upsilon \nu \xi$

Leo 93 · 11 Απριλίου 2011 στις 12:06

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Α) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο $\left[\alpha ,\beta \right]$ . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
${x}_{0}\in \left(\alpha ,\beta \right): \int_{\alpha }^{{x}_{0}}f\left(t \right)dt-\int_{{x}_{0}}^{\beta }f\left(t \right)dt=\left(\alpha +b-2{x}_{0} \right)\cdot f\left({x}_{0} \right)$

Λύση για την Α)

Η δοσμένη, αν θέσω όπου $x$ το ${x}_{0}$ , γράφεται:

Έτσι, εφαρμόζουμε Rolle στην $g(x)=(x-a)\int_{b}^{x}f(t)dt+(x-b)\int_{a}^{x}f(t)dt$ στο [α,β].

Xάρη οι ασκήσεις φαίνονται πολύ ωραίες και θα προτιμούσα να λύνω τέτοιες παρά "πιθανά" θέματα Πανελληνίων. Όμως επειδή κάνω επανάληψη αυτό τον καιρό δεν έχω πολύ χρόνο να ασχολούμαι με αυτές.

Αν βρω χρόνο, θα λύσω και τος υπόποιπες.

Φιλικά

edit: διόρθωσα τα άκρα των ολοκληρωμάτων.

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Γ) Έστω f συνεχής στο και γνησίως φθίνουσα στο R με $f\left(0 \right)=0$
Θεωρούμε τη συνάρτηση $g\left(x \right)=\int_{0}^{x}f\left(t \right)dt, \; x\in R$
Να αποδείξετε ότη η εξίσωση $1+\int_{x}^{2x}f\left(t \right)dt=x$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\left(0,1 \right)$

Λύση:

Η εξίσωση γράφεται και $1+\int_{x}^{0}f(t)dt+\int_{0}^{2x}f(t)dt-x=0\Leftrightarrow 1+g(2x)-g(x)-x=0$

Θεωρώ τη συνάρτηση $h(x)= 1+g(2x)-g(x)-x, x \in [0,1]$ .

H $h$ είναι παραγωγίσιμη με $h'(x)=f(2x)-f(x)-1<0$ γιατί για κάθε $x \in [0,1]$ είναι $x\preceq 2x\Rightarrow f(x)\preceq f(2x)\Rightarrow f(x)-f(2x)-1<0$ άρα $h$ γνησίως φθίνουσα.

Ακόμη, $h(0)=1>0$ και
$h(1)=\int_{1}^{0}f(t)+\int_{0}^{2}f(t)dt+1-1=\int_{1}^{2}f(t)dt<0$ ,
αφού για κάθε $t\in [1,2]$ είναι $0<1\preceq t\preceq 2\Rightarrow f(t)<f(0)=0$ .

H $h$ είναι συνεχής στο $[0,1]$ , oπότε με Bolzano στο διάστημα αυτό προκύπτει το ζητούμενο.

lowbaper92 · 13 Απριλίου 2011 στις 21:39

Μήπως θέλετε κάποια βοήθεια?

vassilis498 · 13 Απριλίου 2011 στις 21:47

άστη άμα είναι άλλη μια μέρα και μετά αν θες βάζεις λύση

lowbaper92 · 13 Απριλίου 2011 στις 22:02

Απλά απαραίτητη προϋπόθεση για να λειτουργήσει το thread είναι η συμμετοχή ή τουλάχιστον η ενασχόληση, γι'αυτό ρωτάω. Αν θεωρείτε ότι σας κουράζουν, δεν προλαβαίνετε, σας αγχώνουν ή οτιδήποτε άλλο, μου το λέτε και σταματάω !

Leo 93 · 14 Απριλίου 2011 στις 12:23

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Απλά απαραίτητη προϋπόθεση για να λειτουργήσει το thread είναι η συμμετοχή ή τουλάχιστον η ενασχόληση, γι'αυτό ρωτάω. Αν θεωρείτε ότι σας κουράζουν, δεν προλαβαίνετε, σας αγχώνουν ή οτιδήποτε άλλο, μου το λέτε και σταματάω !

Προσωπικά αυτές οι ασκήσεις δεν με κουράζουν καθόλου, ούτε με αγχώνουν - το αντίθετο, βρίσκω την ενασχόληση με αυτές ευχάριστη.

Θα προτιμούσα να συνεχίσεις να βάζεις ασκήσεις. Εξάλλου, κάποια ιδέα/τεχνική που περιέχεται σε αυτές τις ασκήσεις μπορεί να χρησιμεύσει και στις Πανελλήνιες.

Αύριο μπορεί να στείλω τη λύση μου στη (Β).

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 3

...

B) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να δείξετε ότι:

i) Υπάρχουν τουλάχιστον δύο εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες στο διάστημα $\left(-4,0 \right)$ οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία $y=x$ ]...

¨Η με

Θ.Μ.Τ. στα [-4,-2], [-2,0]

Αρχική Δημοσίευση από Leo 93:
Αύριο μπορεί να στείλω τη λύση μου στη (Β).

Τελικά η λύση μου ήταν λάθος, οπότε θα γράψω μερικές σκέψεις, που δεν ξέρω πόσο θα βοηθήσουν.

H συνάρτηση $g(x)=\int_{a}^{x}\frac{f(t)}{t}dt,x\in (\alpha ,\beta )$ είναι κυρτή (αφού $g''(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{{x}^{2}}>0$ ).

Για κάθε κυρτή (και παραγωγίσιμη) συνάρτηση η εφαπτομένη είναι "κάτω" από τη γραφική παράσταση.

Για τις κυρτές σε διάστημα [α,β] εύκολα αποδεικνύεται (Θ.Μ.Τ. στα [α,x], [x,β] , $x\in (\alpha ,\beta )$ ) ότι $\int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx<\left(\beta -\alpha \right)\frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2}$ .

Από τη σχέση που δίνεται αν προσθέσουμε και στα δύο μέλη το f(x) και ολοκληρώσουμε από α ως β προκύπτει... $\beta f(\beta )-\alpha f(\alpha )>2\int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx$

lowbaper92 · 14 Απριλίου 2011 στις 12:40

Υπόδειξη 1 (Α τρόπος)

Μονοτονία κάποιας βοηθητικής συνάρτησης

Υπόδειξη 2 (Β τρόπος)

Άτοπο (Με αυτόν τον τρόπο δεν θα σου χρειαστεί η ανισοτική σχέση)

Η άσκηση του διημέρου

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος