Η άσκηση του διημέρου

lowbaper92 · 19-04-11

Πολύ σωστός στην πρώτη.
Ξανακοίταξε την παραγώγιση της h στην δεύτερη και πρόσεξε ότι f'(1)=0 και όχι το f'(2)

Exomag · 19-04-11

Αυτό θα πει λάθος απο απροσεξία... Με λίγο σβηστικό όμως όλα διορθώνονται

Devian · 19-04-11

https://img717.imageshack.us/f/ex9a.jpg/
https://img38.imageshack.us/f/891k.jpg/

Ενδιαφέρουσες όντως! Το δωράκι σου ηταν μια ευκαιρία να θυμηθούμε τα παλιά χD

lowbaper92 · 20-04-11

Σωστοί και οι δύο τώρα ! Μια παρατήρηση Devian, όταν ορίζεις μια συνάρτηση να γράφεις πάντα σε ποιο διάστημα την ορίζεις. Για να μην δώσεις δικαίωμα να σου κόψουν κανά μόριο.

Ορίστε μια άσκηση που θέλει υπομονή και ψυχραιμία. Δυσκολότερο ερώτημα κατά τη γνώμη μου είναι το (γ). Επίσης να σας θυμίσω να έχετε γενικά το νου σας στα προηγούμενα ερωτήματα. Μπορεί εκεί να κρύβεται η λύση.

Άσκηση 10

Έστω οι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το $\left[1,\alpha \right]\; , \alpha \in \left(1,+oo \right)$ για τις οποίες ισχύουν $f\left(1 \right)=g\left(1 \right)=1 \; \kappa \alpha \iota \; f\left(x \right)+g\left(x \right)=\int_{1}^{\alpha }f\left(t \right)g\left(t \right)dt\; ,\forall x\in \left[1,\alpha \right]$
Να αποδείξετε ότι :

α) $g(x)=2-f(x)$

β) Υπάρχει ${x}_{0}\in \left(1,\alpha \right):\; f\left({x}_{0} \right)\cdot g\left({x}_{0} \right)=\frac{2}{\alpha-1 }$

γ) Η εξίσωση $f'\left(x \right)-g'\left(x \right)=\frac{f\left(x \right)-g\left(x \right)}{\alpha -x}$ έχει λύση στο (1,α)

δ) Η εξίσωση ${\left(f\left(x \right) -1\right)}^{2}=\frac{\alpha -3}{\alpha -1}$ έχει λύση στο (1,α)

ε) $\alpha \geq 3$

στ) $\int_{1}^{\alpha }\left(f\left(x \right) +g\left(x \right)\right)\geq 4$

Exomag · 20-04-11

Πολύ καλή άσκηση. Προσωπικά με δυσκόλεψε πολύ περισσότερο το (δ) ερώτημα, παρά το (γ)... Επίσης το (ε) δε μου έκατσε πολύ καλά, και δεν είμαι τόσο σίγουρος για τη λύση μου :hmm:

vassilis498 · 20-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 10

Έστω οι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το $\left[1,\alpha \right]\; , \alpha \in \left(1,+oo \right)$ για τις οποίες ισχύουν $f\left(1 \right)=g\left(1 \right)=1 \; \kappa \alpha \iota \; f\left(x \right)+g\left(x \right)=\int_{1}^{\alpha }f\left(t \right)g\left(t \right)dt\; ,\forall x\in \left[1,\alpha \right]$
Να αποδείξετε ότι :
δ) Η εξίσωση ${\left(f\left(x \right) -1\right)}^{2}=\frac{\alpha -3}{\alpha -1}$ έχει λύση στο (1,α)

Βάζω μια άλλη λύση στο δ το οποίο και μένα μου φάνηκε πιο δύσκολο, στα άλλα πάνω κάτω τα ίδια με τον exomag έκανα.

έστω συνάρτηση

$h(x)=\left(x-\int_{1}^{x}f(t)g(t)dt \right)(\alpha -1)-x(\alpha -3),x\epsilon [1,\alpha ]$

$h'(x)=(1-f(x)g(x))(\alpha -1)-(\alpha -3)$

h(1)=h(α)=2

από Rolle στο [1,α] ...

για x=Xo έχω

$h'(Xo)=0\Leftrightarrow (1-f(x)g(x))(\alpha -1)=\alpha -3\Leftrightarrow 1-f(x)g(x)=\frac{\alpha -3}{\alpha -1}\Leftrightarrow 1-f(x)(2-f(x))=\frac{\alpha -3}{\alpha -1}\Leftrightarrow {f}^{2}(x)-2f(x)+1=\frac{\alpha -3}{\alpha -1}\Leftrightarrow {(f(x)-1)}^{2}=\frac{\alpha -3}{\alpha -1}$

lowbaper92 · 21-04-11

Σωστοί είστε και οι δύο. Η ιδιαιτερότητα του ξ που βρήκατε στο (δ) είναι ότι ταυτίζεται με το x0 του (β) γιατί:

$f\left({x}_{0} \right)g\left({x}_{0} \right)=\frac{1}{\alpha -1}\Leftrightarrow f\left({x}_{0} \right)\left(2-f\left({x}_{0} \right) \right)=\frac{1}{\alpha -1}\Leftrightarrow {f}^{2}\left({x}_{0} \right)-2f\left({x}_{0} \right)+1=1-\frac{2}{\alpha -1}\Leftrightarrow {\left(f\left({x}_{0} \right) -1\right)}^{2}=\frac{\alpha -3}{\alpha -1}$

Ας γράψω και τη διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης στο (γ) γιατί εκεί βρίσκεται όλη η ουσία του ερωτήματος

$f'\left(x \right)-g'\left(x \right)=\frac{f\left(x \right)-g\left(x \right)}{\alpha -x}\Leftrightarrow \left(f\left(x \right) -g\left(x \right)\right)'\left(\alpha -x \right)+\left(f\left(x \right) -g\left(x \right)\right)\left(\alpha -x \right)'=0\Leftrightarrow \left[\left(f\left(x \right) -g\left(x \right)\cdot \left(\alpha -x \right)\right) \right]'=0$

Άσκηση 11

Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R, για την οποία ισχύουν
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f\left(x \right)-{x}^{3}}{x-1}=-4\; \kappa \alpha \iota \; f''\left(x \right)>0.\forall x\in R$

Αν $f(3)=1$ , τότε:

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της $A\left(1,f\left(1 \right) \right)$

β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός στο διάστημα (1,3). στον οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο

γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση $f'\left({x}^{5} -{x}^{4}+{x}^{2}\right)=f'\left(2x-f\left(1 \right) \right)$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1)

Άσκηση δώρο
Έστω $f\left(x \right)={x}^{2}+lnx-1,\; x>0$
Να λυθεί η εξίσωση $f\left(x \right)+f\left({x}^{17} \right)=f\left(x \right)+f\left({x}^{2008} \right)$

Exomag · 21 Απριλίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 11

Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R, για την οποία ισχύουν
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f\left(x \right)-{x}^{3}}{x-1}=-4\; \kappa \alpha \iota \; f''\left(x \right)>0.\forall x\in R$

Αν $f(3)=1$ , τότε:

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της $A\left(1,f\left(1 \right) \right)$

β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός στο διάστημα (1,3). στον οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο

γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση $f'\left({x}^{5} -{x}^{4}+{x}^{2}\right)=f'\left(2x-f\left(1 \right) \right)$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1)

Άσκηση δώρο
Έστω $f\left(x \right)={x}^{2}+lnx-1,\; x>0$
Να λυθεί η εξίσωση $f\left(x \right)+f\left({x}^{17} \right)=f\left(x \right)+f\left({x}^{2008} \right)$

Ενδιαφέρουσες, αν και κάπως πιο απλές σε σχέση με τις προηγούμενες... Παρεπιπτόντως, μήπως έγραψες τίποτα λάθος στη δεύτερη? Γιατι μου φαίνεται περίερο να έχει f(x) και στα δύο σκέλη της εξίσωσης... Επίσης, στη πρώτη, θα μπορούσες να δώσεις το δεδομένο περι παραγωγισιμότητας της f(x) απο το δεύτερο ερώτημα και μετά, ώστε να μη μπορεί να χρησιμοποιήσει κανείς (σε αντίθεση με τον τρόπο που έκανα εγώ) την απλή λύση με de L'Hopital

lowbaper92 · 22-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση δώρο
Έστω $f\left(x \right)={x}^{2}+lnx-1,\; x>0$
Να λυθεί η εξίσωση $f\left(x \right)+f\left({x}^{17} \right)=f\left(x \right)+f\left({x}^{2008} \right)$

Προφανώς έχω κάνει λάθος :redface:

Η εξίσωση είναι $f\left(x \right)+f\left({x}^{17} \right)=f\left({x}^{3} \right)+f\left({x}^{2008} \right)$

Exomag · 22-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Προφανώς έχω κάνει λάθος
Η εξίσωση είναι $f\left(x \right)+f\left({x}^{17} \right)=f\left({x}^{3} \right)+f\left({x}^{2008} \right)$

Ορίστε και η "ανανεωμένη" (κάνει θαύματα αυτό το σβηστικό

) λύση μου...

lowbaper92 · 22-04-11

Σωστός ! Συνεχίζουμε

Άσκηση 12 (Μην την υποτιμήσετε :ropalo:

)

Θεωρούμε την εξίσωση $(x-1)lnx=x+1$

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες. Τις ονομάζουμε α,β

β) Να αποδείξετε ότι αβ=1

Άσκηση δώρο

Να υπολογιστεί το :

13diagoras · 22 Απριλίου 2011

Ανεβαζω λυση......

Exomag · 23-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση δώρο

Να υπολογιστεί το :

Αν δε κάνω λάθος, αυτό λύνεται έτσι...

lowbaper92 · 23 Απριλίου 2011

Μου αρέσει που βλέπω διαφορετικές λύσεις από αυτές που έχω. Ας βάλω μια άλλη:

α)
To 1 προφανώς δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Άρα για x διάφορο του 1 με x>0 θεωρούμε τη συνάρτηση $f\left(x \right)=lnx-\frac{x+1}{x-1}$
$f'\left(x \right)=\frac{1}{x}+\frac{2}{{\left(x-1 \right)}^{2}}>0$
Άρα η f γνησίως αύξουσα στα (0,1) και (1,+οο)
$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}f\left(x \right)=- \infty$
$\lim_{x\rightarrow {1}^{-}}f\left(x \right)=+ \infty$
$\lim_{x\rightarrow {1}^{+}}f\left(x \right)=- \infty$
$\lim_{x\rightarrow + \infty}f\left(x \right)=+ \infty$

Άρα το σύνολο τιμών της f σε καθένα από τα (0,1), (1,+οο) είναι το R. Κι επειδή το 0 ανήκει στο R, η f έχει μοναδική ρίζα (λόγω μονοτονίας) σε καθένα απ'αυτά τα διαστήματα. Τελικά η f έχει ακριβώς δύο ρίζες α,β
β)
$f\left(a \right)=0\Leftrightarrow lna-\frac{a+1}{a-1}=0\Leftrightarrow -lna+\frac{a+1}{a-1}=0\Leftrightarrow ln\left(\frac{1}{a} \right)+\frac{1+\frac{1}{a}}{1-\frac{1}{a}}=0\Leftrightarrow ln\frac{1}{a}-\frac{\frac{1}{a}+1}{\frac{1}{a}-1}=0\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{a} \right)=0$

Άρα και ο 1/α είναι ρίζα της f. Κι επειδή η f έχει μόνο δύο ρίζες α,β και $a\neq \frac{1}{a}$ προκύπτει ότι $\frac{1}{a}=\beta \Leftrightarrow a\beta =1$

Σωστός και ο Exomag !

Άσκηση 13
α) Να δείξετε ότι ${e}^{x}\geq \frac{1}{x+1}$
β) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:[0,+ \infty)\rightarrow [0,+ \infty)$ για την οποία ισχύει $\left(gog \right)\left(x \right)-g\left(x \right)={e}^{x}-ln\left(x+1 \right)-1,\; \forall x\in R$
i) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1
ii) Αν $g'\left(0 \right)\neq 0$ να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $A\left(0,g\left(0 \right) \right)$

Άσκηση δώρο (για να θυμηθούμε μια συγκεκριμένη παραγώγιση)
Δίνεται συνάρτηση f: (0,+oo)->R με $f\left(x \right)={x}^{\kappa }\cdot {e}^{2\kappa -x},\; \kappa >0$
Να βρεθεί για ποιες τιμές του κ, το μέγιστο της f γίνεται ελάχιστο.

vassilis498 · 23-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 12 (Μην την υποτιμήσετε )

Θεωρούμε την εξίσωση $(x-1)lnx=x+1$

β) Να αποδείξετε ότι αβ=1

αλλιώς

α, β οι ρίζες

$f(x)=xlnx-lnx-x-1,x>0$

$f(\frac{1}{x})=-\frac{lnx}{x}+lnx-\frac{1}{x}-1=lnx(1-\frac{1}{x})-(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}[lnx(x-1)-(x+1)]=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow f(\frac{1}{x})=\frac{f(x)}{x}$

$f(\frac{1}{\alpha })=\frac{f(\alpha )}{\alpha }=0$

όμως έχω 2 ρίζες, άρα $\beta =\frac{1}{\alpha }\Leftrightarrow \alpha \beta =1$

vassilis498 · 23-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 13
α) Να δείξετε ότι ${e}^{x}\geq \frac{1}{x+1}$
β) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:[0,+ \infty)\rightarrow [0,+ \infty)$ για την οποία ισχύει $\left(gog \right)\left(x \right)-g\left(x \right)={e}^{x}-ln\left(x+1 \right)-1,\; \forall x\in R$
i) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1
ii) Αν $g'\left(0 \right)\neq 0$ να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $A\left(0,g\left(0 \right) \right)$

κάτι μου θυμίζει αυτή

lowbaper92 · 23-04-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
κάτι μου θυμίζει αυτή

E-parea

Εσύ την είχες λύσει?

By the way τι απέγινε αυτό το forum? Γιατί εκλεισε?

vassilis498 · 23-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
E-parea
Εσύ την είχες λύσει?
By the way τι απέγινε αυτό το forum? Γιατί εκλεισε?

νομίζω, αλλά δεν πρέπει να χα βάλει λύση
ε, εντάξει ήταν στα τελευταία του θα κλεινε κάποια στιγμή

Exomag · 23-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 13
α) Να δείξετε ότι ${e}^{x}\geq \frac{1}{x+1}$
β) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:[0,+ \infty)\rightarrow [0,+ \infty)$ για την οποία ισχύει $\left(gog \right)\left(x \right)-g\left(x \right)={e}^{x}-ln\left(x+1 \right)-1,\; \forall x\in R$
i) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1
ii) Αν $g'\left(0 \right)\neq 0$ να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $A\left(0,g\left(0 \right) \right)$

Άσκηση δώρο (για να θυμηθούμε μια συγκεκριμένη παραγώγιση)
Δίνεται συνάρτηση f: (0,+oo)->R με $f\left(x \right)={x}^{\kappa }\cdot {e}^{2\kappa -x},\; \kappa >0$
Να βρεθεί για ποιες τιμές του κ, το μέγιστο της f γίνεται ελάχιστο.

Ορίστε και οι λύσεις μου... Μήπως, στο (α), ξέχασες να πεις για τα x>0;

13diagoras · 25-04-11

Περασε το διημερο και ασκησεις δεν εχουμε

Η άσκηση του διημέρου

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος