Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 2011-02-03T19:05:09+0200

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
εδιτ:Οπα,!!!Εκανα ενα τραγικο λαθος στην εκφωνηση. φ παραγωγισιμη στο R,οποτε δεν παιζει η μεγιστη τιμη

φ παραγωγίσιμη στο R===>φ παραγωγίσιμη στο $[a,\beta]\subset \mathbb{R}$ ===>φ συνεχής στο $[a,\beta]$ ===>φ παίρνει μέγιστη τιμή στο $[a,\beta]$

Φαντάζομαι ότι η παραγωγισιμότητα της φ σε όλο το R δόθηκε για να μήν υπάρχει πρόβλημα με τον ορισμό των φ'(α) και φ'(β) . Πιστεύω δηλαδή ότι αν έλεγε η εκφώνηση "φ:[α,β]-->R παραγωγίσιμη"(το βιβλίο από το οποίο έγραψα την απόδειξη έτσι ξεκινάει την διατύπωση) τότε θα έπρεπε να θεωρήσει τις φ'(α) και φ'(β) σαν "πλευρικές" παραγώγους όπως γράφω πιο πάνω.

Tonix · 2011-02-03T21:27:12+0200

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Δεν προκυπτει απο την εκφωνηση οτι η φ' ειναι συνεχης.
Αν δεις σε προηγουμενο ποστ μου ζητησα να αναρτησει καποιος μια παραγωγησιμη συναρτηση με μη συνεχη παραγωγο.Αυτη ειναι η χ^2ημ(1/χ) με χ<>ο και για χ=ο μηδενιζεται (κλαδικη,διευκρινιζω ,γιατι δεν τα γραψα καλα)

styt_geia,ευχαριστω,πολυ ενδιαφερον θεωρημα!
.Αυτο με την παραγωγο που αναφερετε δεν μας το εχουν διδαξει ετσι.

εδιτ:Οπα,!!!Εκανα ενα τραγικο λαθος στην εκφωνηση. φ παραγωγισιμη στο R,οποτε δεν παιζει η μεγιστη τιμη

βεβαια εχεις δικιο :/

δεν ειναι απαραίτητο η παραγωγος ειναι συνεχης

λαθος μου :/:

13diagoras · 2011-02-03T22:27:43+0200

Σωστα styt_geia,ευχαριστω και παλι.
Επισης ,το γινομενο της παραγωγου μιας αντιστροφης συναρτησης επι την παραγωγο της αντιστροφης της αποδεικνυεται πως κανει 1?

rebel · 2011-02-04T06:16:34+0200

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Σωστα styt_geia,ευχαριστω και παλι.
Επισης ,το γινομενο της παραγωγου μιας αντιστροφης συναρτησης επι την παραγωγο της αντιστροφης της αποδεικνυεται πως κανει 1?

Αποδεικνύεται ότι αν $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ (όπου Ι διάστημα $\subseteq\mathbb{R}$ ) 1-1 και συνεχής στο Ι και η f είναι παραγωγίσιμη στο $f^{-1}(y)$ με $f'\left(f^{-1}(y)\right)\neq 0$ τότε η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο y και ισχύει $\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}$ (*)

Ένας τρόπος για να δεις διαισθητικά πως βγαίνει αυτό είναι να πάρεις την σχέση $f\left(f^{-1}(y)\right)=y$ και να παραγωγίσεις οπότε με εφαρμογή του κανόνα αλυσίδας παίρνεις τελικά $f'\left(f^{-1}(y)\right)\left(f^{-1}\right)'(y)=1$ .Τεχνικά είναι λάθος βέβαια γιατί για να εφαρμόσεις τον κανόνα της αλυσίδας πρέπει να ξέρεις από την αρχή ότι η
$f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο y. Αν θες αναλυτική απόδειξη για την (*) μπορείς να ανατρέξεις σε ένα βιβλίο απειροστικού λογισμού όπως του Spivak από το οποίο πήρα και την διατύπωση.

petroskaz · 2011-02-04T14:04:20+0200

Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε με αυτό το ολοκλήρωμα :
∫ 1/ln (χ) dx

rebel · 2011-02-04T23:01:59+0200

Αρχική Δημοσίευση από petroskaz:
Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε με αυτό το ολοκλήρωμα :
∫ 1/ln (χ) dx

Δεν πρέπει να υπολογίζεται στοιχειωδώς
https://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html

petroskaz · 2011-02-07T20:32:19+0200

∫(5^χ * 3^2χ * 2^3χ)dx

Πως βγαίνει αυτο το ολοκλήρωμα;

Dias · 2011-02-07T21:39:16+0200

Αρχική Δημοσίευση από petroskaz:
∫(5^χ * 3^2χ * 2^3χ)dx
Πως βγαίνει αυτο το ολοκλήρωμα;

Αν κατάλαβα καλά εννοείς:

∫(5ˣ∙3²ˣ∙2³ˣ)dx

Αυτό είναι εύκολο γιατί:

5ˣ∙3²ˣ∙2³ˣ = (5∙3²∙2³)ˣ = 360ˣ

και ξέρουμε ότι:

∫αˣdx = αˣ/lnα + C

kbatsos · 2011-02-11T13:17:44+0200

μπορει να μην ειναι παραγωγισιμη και να υπαρχει εφαπτομενη που θα ειναι κατακορυφη ομωσ ειναι εκτος υλης

Θάλεια · 2011-02-13T18:19:14+0200

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και έχει συνεχή f''(x) στο (α,β).Αν ισχύει f(α)=f(β)=0 και υπάρχουν γ,δ που ανήκουν στο (α,β) τέτοια ώστε f(γ)f(δ)<0, να αποδείξετε:
i) υπάρχει τουλ.ένα ξ $\epsilon$ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=0
ii) υπάρχουν σημεία ξ1 , ξ2 $\epsilon$ (α,β) τέτοια ώστε f''(ξ1)>0 και f''(ξ2)<0
iii) υπάρχει τουλ.ένα ξ3 $\epsilon$ (α,β) τέτοιο ώστε f"(ξ)=0

Θέλω μια μικρή βοήθεια στο ii) αν γίνεται..Σκέφτηκα για Bolzano αλλά δεεεεεεν.... :hmm:

Καμιά ιδέα;; :worry:

vassilis498 · 2011-02-13T23:00:15+0200

σπάσε τη f(x) σε διαδοχικά διαστήματα α-γ, γ-δ, δ-β, και αφού πάρεις περιπτώσεις για τα πρόσημα του f(γ) και f(δ) κάνε 3 ΘΜΤ σε αυτά τα διαστήματα για να πάρεις χ1,χ2,χ3, και μετά άλλα 2 ΘΜΤ στα χ1-χ2, χ2-χ3 για την f''(x) αυτή τη φορά (όλα αυτά χωρίς πράξεις, με τα πρόσημα μόνο). δεν ξέρω βέβαια ίσως υπάρχει κάτι πιο γρήγορο

Dias · 2011-02-13T23:07:45+0200

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
ίσως υπάρχει κάτι πιο γρήγορο

Νομίζω Θ.Rolle στα (α,ξ) και (ξ,β).... (αλλά μετά κάπου κολλάω)...

lowbaper92 · 2011-02-14T04:39:13+0200

Αρχική Δημοσίευση από 9aleia:
Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και έχει συνεχή f''(x) στο (α,β).Αν ισχύει f(α)=f(β)=0 και υπάρχουν γ,δ που ανήκουν στο (α,β) τέτοια ώστε f(γ)f(δ)<0, να αποδείξετε:
i) υπάρχει τουλ.ένα ξ $\epsilon$ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=0
ii) υπάρχουν σημεία ξ1 , ξ2 $\epsilon$ (α,β) τέτοια ώστε f''(ξ1)>0 και f''(ξ2)<0
iii) υπάρχει τουλ.ένα ξ3 $\epsilon$ (α,β) τέτοιο ώστε f"(ξ)=0

Θέλω μια μικρή βοήθεια στο ii) αν γίνεται..Σκέφτηκα για Bolzano αλλά δεεεεεεν....
Καμιά ιδέα;;

Η άσκηση ήταν 4ο θέμα στις πανελλήνιες του 2003.. Χρονιά καραπαλούκι.. 3ο θέμα είχε μπει ολοκλήρωμα αντίστροφης με άγνωστο τύπο..
Στο 4ο θέμα το β ερώτημα ήθελε 6 ΘΜΤ και το δ ερώτημα ήταν λάθος καθώς στην εκφώνηση έλεγε "να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f" και όχι " να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ3 : f΄΄(ξ3)=0 " όπως δίνεται στην συγκεκριμένη άσκηση.

Θάλεια · 2011-02-16T15:20:36+0200

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
σπάσε τη f(x) σε διαδοχικά διαστήματα α-γ, γ-δ, δ-β, και αφού πάρεις περιπτώσεις για τα πρόσημα του f(γ) και f(δ) κάνε 3 ΘΜΤ σε αυτά τα διαστήματα για να πάρεις χ1,χ2,χ3, και μετά άλλα 2 ΘΜΤ στα χ1-χ2, χ2-χ3 για την f''(x) αυτή τη φορά (όλα αυτά χωρίς πράξεις, με τα πρόσημα μόνο). δεν ξέρω βέβαια ίσως υπάρχει κάτι πιο γρήγορο

Νομιζω πως μπερδευτηκα λίγο :redface:

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Νομίζω Θ.Rolle στα (α,ξ) και (ξ,β).... (αλλά μετά κάπου κολλάω)...

Με Rolle και Θεωρ.Ενδιαμέσων Τιμών νομίζω οτι βγαίνει

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Η άσκηση ήταν 4ο θέμα στις πανελλήνιες του 2003.. Χρονιά καραπαλούκι.. 3ο θέμα είχε μπει ολοκλήρωμα αντίστροφης με άγνωστο τύπο..
Στο 4ο θέμα το β ερώτημα ήθελε 6 ΘΜΤ και το δ ερώτημα ήταν λάθος καθώς στην εκφώνηση έλεγε "να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f" και όχι " να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ3 : f΄΄(ξ3)=0 " όπως δίνεται στην συγκεκριμένη άσκηση.

Ναι όντως θέμα πανελληνίων ήταν.Τελικά αφού το παίδεψα πολύ ώρα (και αφού δοκίμασα τα πάντα) το έλυσα με τον τρόπο που αναφέρεις.Έσπασα σε διαστήματα [α,γ] , [γ,xo] , [xo,δ] και [δ,β] έκανα Θ.Μ.Τ στο καθένα και μετά έκανα άλλα 2 Θ.Μ.Τ για τις παραγώγους.Ο καθηγητής μας είπε ότι υπάρχουν περίπου 10 λύσεις.Τόσες είχαν βρει στο εξεταστικό κέντρο.

vassilis498 · 2011-02-16T15:37:19+0200

Νομιζω πως μπερδευτηκα λίγο

πάνω κάτω αυτό που είπε κι ο lowbaper είναι, με διαφορετικά διαστήματα

strsismos88 · 2011-02-17T14:03:31+0200

Παιδια, πως δειχνουμε οτι η f(x)=x^3 + 1 ειναι 1-1 και ποια η αντιστροφη της?

koum · 2011-02-17T14:10:52+0200

Αρχική Δημοσίευση από strsismos88:
Παιδια, πως δειχνουμε οτι η f(x)=x^3 + 1 ειναι 1-1;

Από τον ορισμό. (Έστω $f({x}_{1})=f({x}_{2})\Rightarrow...\Rightarrow{x}_{1}={x}_{2}$ )

Αρχική Δημοσίευση από strsismos88:
και ποια η αντιστροφη της?

Για $f(x)=y$

$y=x^3+1\Rightarrow x=\sqrt[3]{y-1}\Rightarrow {f}^{-1}(y)=\sqrt[3]{y-1}\Rightarrow$
$\Rightarrow{f}^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1} , x\geq 1$

strsismos88 · 2011-02-17T14:22:11+0200

Αρχική Δημοσίευση από koum:
Από τον ορισμό. (Έστω $f({x}_{1})=f({x}_{2})\Rightarrow...\Rightarrow{x}_{1}={x}_{2}$ )

Για $f(x)=y$

$y=x^3+1\Rightarrow x=\sqrt[3]{y-1}\Rightarrow {f}^{-1}(y)=\sqrt[3]{y-1}\Rightarrow$
$\Rightarrow{f}^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1} , x\geq 1$

και για x<1, πρεπει να βγανει (-) αυτο, αλλα πως?

vavlas · 2011-02-17T14:26:04+0200

f'(x)=3x²>0 για κάθε σε όλο το R ως γινόμενο θετικών όρων.Άρα f γνησίως αύξουσα και 1-1.
f(x)=y.....x=∛(y-1) αν y≥1 ή x=-∛(-y+1) να y<1

koum · 2011-02-17T14:27:43+0200

Αρχική Δημοσίευση από strsismos88:
και για x<1, πρεπει να βγανει (-) αυτο, αλλα πως?

Το πεδίο ορισμού της ${f}^{-1}$ είναι το $[1, +\infty )$ .

Ps: Είναι απορία Γ' Λυκείου η $1-1$ , όχι Β' Λυκείου. :/

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος