Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 3 Φεβρουαρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
εδιτ:Οπα,!!!Εκανα ενα τραγικο λαθος στην εκφωνηση. φ παραγωγισιμη στο R,οποτε δεν παιζει η μεγιστη τιμη

φ παραγωγίσιμη στο R===>φ παραγωγίσιμη στο $[a,\beta]\subset \mathbb{R}$ ===>φ συνεχής στο $[a,\beta]$ ===>φ παίρνει μέγιστη τιμή στο $[a,\beta]$

Φαντάζομαι ότι η παραγωγισιμότητα της φ σε όλο το R δόθηκε για να μήν υπάρχει πρόβλημα με τον ορισμό των φ'(α) και φ'(β) . Πιστεύω δηλαδή ότι αν έλεγε η εκφώνηση "φ:[α,β]-->R παραγωγίσιμη"(το βιβλίο από το οποίο έγραψα την απόδειξη έτσι ξεκινάει την διατύπωση) τότε θα έπρεπε να θεωρήσει τις φ'(α) και φ'(β) σαν "πλευρικές" παραγώγους όπως γράφω πιο πάνω.

Tonix · 03-02-11

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Δεν προκυπτει απο την εκφωνηση οτι η φ' ειναι συνεχης.
Αν δεις σε προηγουμενο ποστ μου ζητησα να αναρτησει καποιος μια παραγωγησιμη συναρτηση με μη συνεχη παραγωγο.Αυτη ειναι η χ^2ημ(1/χ) με χ<>ο και για χ=ο μηδενιζεται (κλαδικη,διευκρινιζω ,γιατι δεν τα γραψα καλα)

styt_geia,ευχαριστω,πολυ ενδιαφερον θεωρημα!
.Αυτο με την παραγωγο που αναφερετε δεν μας το εχουν διδαξει ετσι.

εδιτ:Οπα,!!!Εκανα ενα τραγικο λαθος στην εκφωνηση. φ παραγωγισιμη στο R,οποτε δεν παιζει η μεγιστη τιμη

βεβαια εχεις δικιο :/

δεν ειναι απαραίτητο η παραγωγος ειναι συνεχης

λαθος μου :/:

13diagoras · 03-02-11

Σωστα styt_geia,ευχαριστω και παλι.
Επισης ,το γινομενο της παραγωγου μιας αντιστροφης συναρτησης επι την παραγωγο της αντιστροφης της αποδεικνυεται πως κανει 1?

rebel · 04-02-11

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Σωστα styt_geia,ευχαριστω και παλι.
Επισης ,το γινομενο της παραγωγου μιας αντιστροφης συναρτησης επι την παραγωγο της αντιστροφης της αποδεικνυεται πως κανει 1?

Αποδεικνύεται ότι αν $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ (όπου Ι διάστημα $\subseteq\mathbb{R}$ ) 1-1 και συνεχής στο Ι και η f είναι παραγωγίσιμη στο $f^{-1}(y)$ με $f'\left(f^{-1}(y)\right)\neq 0$ τότε η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο y και ισχύει $\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}$ (*)

Ένας τρόπος για να δεις διαισθητικά πως βγαίνει αυτό είναι να πάρεις την σχέση $f\left(f^{-1}(y)\right)=y$ και να παραγωγίσεις οπότε με εφαρμογή του κανόνα αλυσίδας παίρνεις τελικά $f'\left(f^{-1}(y)\right)\left(f^{-1}\right)'(y)=1$ .Τεχνικά είναι λάθος βέβαια γιατί για να εφαρμόσεις τον κανόνα της αλυσίδας πρέπει να ξέρεις από την αρχή ότι η
$f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο y. Αν θες αναλυτική απόδειξη για την (*) μπορείς να ανατρέξεις σε ένα βιβλίο απειροστικού λογισμού όπως του Spivak από το οποίο πήρα και την διατύπωση.

petroskaz · 04-02-11

Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε με αυτό το ολοκλήρωμα :
∫ 1/ln (χ) dx

rebel · 04-02-11

Αρχική Δημοσίευση από petroskaz:
Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε με αυτό το ολοκλήρωμα :
∫ 1/ln (χ) dx

Δεν πρέπει να υπολογίζεται στοιχειωδώς
https://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html

petroskaz · 07-02-11

∫(5^χ * 3^2χ * 2^3χ)dx

Πως βγαίνει αυτο το ολοκλήρωμα;

Dias · 07-02-11

Αρχική Δημοσίευση από petroskaz:
∫(5^χ * 3^2χ * 2^3χ)dx
Πως βγαίνει αυτο το ολοκλήρωμα;

Αν κατάλαβα καλά εννοείς:

∫(5ˣ∙3²ˣ∙2³ˣ)dx

Αυτό είναι εύκολο γιατί:

5ˣ∙3²ˣ∙2³ˣ = (5∙3²∙2³)ˣ = 360ˣ

και ξέρουμε ότι:

∫αˣdx = αˣ/lnα + C

kbatsos · 11-02-11

μπορει να μην ειναι παραγωγισιμη και να υπαρχει εφαπτομενη που θα ειναι κατακορυφη ομωσ ειναι εκτος υλης

Θάλεια · 13-02-11

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και έχει συνεχή f''(x) στο (α,β).Αν ισχύει f(α)=f(β)=0 και υπάρχουν γ,δ που ανήκουν στο (α,β) τέτοια ώστε f(γ)f(δ)<0, να αποδείξετε:
i) υπάρχει τουλ.ένα ξ $\epsilon$ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=0
ii) υπάρχουν σημεία ξ1 , ξ2 $\epsilon$ (α,β) τέτοια ώστε f''(ξ1)>0 και f''(ξ2)<0
iii) υπάρχει τουλ.ένα ξ3 $\epsilon$ (α,β) τέτοιο ώστε f"(ξ)=0

Θέλω μια μικρή βοήθεια στο ii) αν γίνεται..Σκέφτηκα για Bolzano αλλά δεεεεεεν.... :hmm:

Καμιά ιδέα;; :worry:

vassilis498 · 13-02-11

σπάσε τη f(x) σε διαδοχικά διαστήματα α-γ, γ-δ, δ-β, και αφού πάρεις περιπτώσεις για τα πρόσημα του f(γ) και f(δ) κάνε 3 ΘΜΤ σε αυτά τα διαστήματα για να πάρεις χ1,χ2,χ3, και μετά άλλα 2 ΘΜΤ στα χ1-χ2, χ2-χ3 για την f''(x) αυτή τη φορά (όλα αυτά χωρίς πράξεις, με τα πρόσημα μόνο). δεν ξέρω βέβαια ίσως υπάρχει κάτι πιο γρήγορο

Dias · 13-02-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
ίσως υπάρχει κάτι πιο γρήγορο

Νομίζω Θ.Rolle στα (α,ξ) και (ξ,β).... (αλλά μετά κάπου κολλάω)...

lowbaper92 · 14-02-11

Αρχική Δημοσίευση από 9aleia:
Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και έχει συνεχή f''(x) στο (α,β).Αν ισχύει f(α)=f(β)=0 και υπάρχουν γ,δ που ανήκουν στο (α,β) τέτοια ώστε f(γ)f(δ)<0, να αποδείξετε:
i) υπάρχει τουλ.ένα ξ $\epsilon$ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=0
ii) υπάρχουν σημεία ξ1 , ξ2 $\epsilon$ (α,β) τέτοια ώστε f''(ξ1)>0 και f''(ξ2)<0
iii) υπάρχει τουλ.ένα ξ3 $\epsilon$ (α,β) τέτοιο ώστε f"(ξ)=0

Θέλω μια μικρή βοήθεια στο ii) αν γίνεται..Σκέφτηκα για Bolzano αλλά δεεεεεεν....
Καμιά ιδέα;;

Η άσκηση ήταν 4ο θέμα στις πανελλήνιες του 2003.. Χρονιά καραπαλούκι.. 3ο θέμα είχε μπει ολοκλήρωμα αντίστροφης με άγνωστο τύπο..
Στο 4ο θέμα το β ερώτημα ήθελε 6 ΘΜΤ και το δ ερώτημα ήταν λάθος καθώς στην εκφώνηση έλεγε "να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f" και όχι " να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ3 : f΄΄(ξ3)=0 " όπως δίνεται στην συγκεκριμένη άσκηση.

Θάλεια · 16-02-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
σπάσε τη f(x) σε διαδοχικά διαστήματα α-γ, γ-δ, δ-β, και αφού πάρεις περιπτώσεις για τα πρόσημα του f(γ) και f(δ) κάνε 3 ΘΜΤ σε αυτά τα διαστήματα για να πάρεις χ1,χ2,χ3, και μετά άλλα 2 ΘΜΤ στα χ1-χ2, χ2-χ3 για την f''(x) αυτή τη φορά (όλα αυτά χωρίς πράξεις, με τα πρόσημα μόνο). δεν ξέρω βέβαια ίσως υπάρχει κάτι πιο γρήγορο

Νομιζω πως μπερδευτηκα λίγο :redface:

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Νομίζω Θ.Rolle στα (α,ξ) και (ξ,β).... (αλλά μετά κάπου κολλάω)...

Με Rolle και Θεωρ.Ενδιαμέσων Τιμών νομίζω οτι βγαίνει

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Η άσκηση ήταν 4ο θέμα στις πανελλήνιες του 2003.. Χρονιά καραπαλούκι.. 3ο θέμα είχε μπει ολοκλήρωμα αντίστροφης με άγνωστο τύπο..
Στο 4ο θέμα το β ερώτημα ήθελε 6 ΘΜΤ και το δ ερώτημα ήταν λάθος καθώς στην εκφώνηση έλεγε "να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f" και όχι " να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ3 : f΄΄(ξ3)=0 " όπως δίνεται στην συγκεκριμένη άσκηση.

Ναι όντως θέμα πανελληνίων ήταν.Τελικά αφού το παίδεψα πολύ ώρα (και αφού δοκίμασα τα πάντα) το έλυσα με τον τρόπο που αναφέρεις.Έσπασα σε διαστήματα [α,γ] , [γ,xo] , [xo,δ] και [δ,β] έκανα Θ.Μ.Τ στο καθένα και μετά έκανα άλλα 2 Θ.Μ.Τ για τις παραγώγους.Ο καθηγητής μας είπε ότι υπάρχουν περίπου 10 λύσεις.Τόσες είχαν βρει στο εξεταστικό κέντρο.

vassilis498 · 16-02-11

Νομιζω πως μπερδευτηκα λίγο

πάνω κάτω αυτό που είπε κι ο lowbaper είναι, με διαφορετικά διαστήματα

strsismos88 · 17-02-11

Παιδια, πως δειχνουμε οτι η f(x)=x^3 + 1 ειναι 1-1 και ποια η αντιστροφη της?

koum · 17-02-11

Αρχική Δημοσίευση από strsismos88:
Παιδια, πως δειχνουμε οτι η f(x)=x^3 + 1 ειναι 1-1;

Από τον ορισμό. (Έστω $f({x}_{1})=f({x}_{2})\Rightarrow...\Rightarrow{x}_{1}={x}_{2}$ )

Αρχική Δημοσίευση από strsismos88:
και ποια η αντιστροφη της?

Για $f(x)=y$

$y=x^3+1\Rightarrow x=\sqrt[3]{y-1}\Rightarrow {f}^{-1}(y)=\sqrt[3]{y-1}\Rightarrow$
$\Rightarrow{f}^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1} , x\geq 1$

strsismos88 · 17-02-11

Αρχική Δημοσίευση από koum:
Από τον ορισμό. (Έστω $f({x}_{1})=f({x}_{2})\Rightarrow...\Rightarrow{x}_{1}={x}_{2}$ )

Για $f(x)=y$

$y=x^3+1\Rightarrow x=\sqrt[3]{y-1}\Rightarrow {f}^{-1}(y)=\sqrt[3]{y-1}\Rightarrow$
$\Rightarrow{f}^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1} , x\geq 1$

και για x<1, πρεπει να βγανει (-) αυτο, αλλα πως?

vavlas · 17-02-11

f'(x)=3x²>0 για κάθε σε όλο το R ως γινόμενο θετικών όρων.Άρα f γνησίως αύξουσα και 1-1.
f(x)=y.....x=∛(y-1) αν y≥1 ή x=-∛(-y+1) να y<1

koum · 17-02-11

Αρχική Δημοσίευση από strsismos88:
και για x<1, πρεπει να βγανει (-) αυτο, αλλα πως?

Το πεδίο ορισμού της ${f}^{-1}$ είναι το $[1, +\infty )$ .

Ps: Είναι απορία Γ' Λυκείου η $1-1$ , όχι Β' Λυκείου. :/

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος