παιδια θα ηθελα μια βοηθεια σε αυτες τις ασκησεις
https://f.imagehost.org/view/0159/img068
24)
i)Παραγωγίζεις την f.
Άρα: f '(x)+[-(2x)/(x^2+1)]f(x)=0 και λύνεις την διαφορική εξίσωση με τον γνωστό τρόπο:
Βρίσκεις την παράγουσα (έστω J) της συνάρτησης που βρίσκεται μπροστά από τη f, εδώ της -(2x)/(x^2+1) και πολλαπλασιαζεις τα δύο μέλη με e^J. Στην προκειμένη περίπτωση με e^(-ln(x^2+1)) και άρα καταλήγεις στην e^(-ln(x^2+1))*f '(x)+e^(-ln(x^2+1))*[-(2x)/(x^2+1)]*f(x)=0<=>(e^(-ln(x^2+1))*f(x))'=0<=>f(x)=c*e^(ln(x^2+1).
Έχεις f(1)=6=c*e^(ln2)=c*2<=>c=3 [To c αυτό καμία σχέση δεν έχει με αυτό που γράφεις στην εκφώνηση της άσκησης]
Άρα f(x)=3*e^(ln(x^2+1)=3x^2+3.
ii)Κάνε αντικατάσταση της f μέσα στο ολοκλήρωμα. Παρατήρησε ότι η παράγωγος της υπόριζης συνάρτησης είναι η f(x). Θέσε u=x^3+3x+2
du=(3x^2+3)dx
και εύκολα από εδώ και πέρα θα βρεις ότι το ολοκλήρωμα ισούται με: 2*ρίζα{χ^3+3*χ+1}+c2
25)
i)Ο τρόπος για να βρεις τον τύπο είνα ό ίδιος με πάνω. Τώρα που τον έμαθες λύσε εσύ αυτό το ερώτημα.
ii)Νομίζω ότι το να βρεις τη μονοτονία μίας συνάρτησης είναι εύκολο.
iii)e^x=x^2+1
g(x)=e^x-x^2-1
Βλέπουμε μία προφανή ρίζα της g η οποία είναι η χ=0: g(0)=0.
g'(x)=e^x-2x
g''(x)=e^x-2
g'''(x)=e^x
Ισχύει g'''(x)=e^x>0 άρα η g'' αν έχει ρίζα θα είναι μοναδική.
g''(x)=0<=>x=ln2 (μοναδική). Για χ>ln2: g''>0 και για χ<ln2:g''<0. Άρα η g' φθίνει γνησίως χ<ln2 για και αυξάνει γνησίως για χ<ln2. Άρα χ=ln2 ελάχιστο για την g'.
Βλέπουμε όμως ότι η g'(ln2)=e^(ln2)-2ln2=2-2ln2>0 άρα g'(x)>=2-2ln2>0. Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα για κάθε χ στους πραγματικούς. Άρα αν έχει ρίζα αυτή θα είναι μοναδική. Οπότε η μοναδική ρίζα της δοθείσας εξίσωσης είναι η χ=0 (η προφανής που βρήκαμε αρχικά)
