Γεια σας παιδιά, καλή επιτυχία στα υπόλοιπα μαθήματα!!!
Εγώ το Δ3 έκατσα και το έλυσα με κάπως διαφορετικό τρόπο, θα ήθελα να μου πει κάποιος αν θα ήταν αποδεκτός στις πανελλαδικές:
Ισχύει g(x)>=0 για x>0. Είναι g(1)=g(2)=0, οπότε οι θέσεις 1 και 2 είναι μοναδικές θέσεις ολικού ελάχιστου(μοναδικές ρίζες της g). Σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, ισχύει g'(1)=g'(2)=0.
Θα λύσω τώρα την εξίσωση g'(x)=0, για χ ανήκει Δ=(0,1)υ(1,2)υ(2,συν άπειρο). Καταλήγω στην εξίσωση (χ-1)e^x-e=0. Θέτω συνάρτηση μ(χ)=(χ-1)e^x-e, χ ανήκει Δ. Θέτω Δ1=(0,1), Δ2=(1,2) και Δ3=(2,συν άπειρο).
Είναι μ΄(χ)=x*e^x>0 για χ ανήκει Δ. Άρα, η μ είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα Δ1,Δ2,Δ3. Λόγω μονοτονίας, έχω:
μ(Δ1)=(-e-1,-e)(αρνητική)
μ(Δ2)=(-e,e²-e)
μ(Δ3)=(e²-e,συν άπειρο)(θετική). Η μ μηδενίζει μία τουλάχιστον φορά στο Δ2. Λόγω μονοτονίας, μηδενίζει μία ακριβώς φορά στο Δ2. Δηλαδή, υπάρχει ένα ακριβώς ξ ανήκει(1,2) τέτοιο, ώστε μ(ξ)=0 <=> g'(ξ)=0.
Επειδή η g είναι συνεχής στο [1,2], παίρνει σε αυτό μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή μ(που προφανώς δεν είναι ίσες, αφού δεν είναι σταθερή η g). Η θέση της Μ δε βρίσκεται σε άκρο του διαστήματος [1,2], άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ανάμεσα στο 1 και το 2 τέτοιο, ώστε g(x1)=Μ. Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat, είναι g'(x1)=0 <=> x1=ξ. Άρα, έχω μοναδική θέση τοπικού μεγίστου, η οποία βρίσκεται ανάμεσα στα 1,2. Τα 1,2 είναι οι μοναδικές θέσεις τοπικών ελαχίστων, αφού η παράγωγος της g δε μηδενίζει πουθενά αλλού εκτός από τα χ1,1,2 και η g ορίζεται στο ανοικτό διάστημα (0,συν άπειρο).
Συγγνώμη αν υπάρχει κάποιο αριθμητικό ή λογικό λάθος...
