[2/6/2014] Μαθηματικά Κατεύθυνσης

[PAOAND]

Γεια σας παιδιά, καλή επιτυχία στα υπόλοιπα μαθήματα!!!
Εγώ το Δ3 έκατσα και το έλυσα με κάπως διαφορετικό τρόπο, θα ήθελα να μου πει κάποιος αν θα ήταν αποδεκτός στις πανελλαδικές:

Ισχύει g(x)>=0 για x>0. Είναι g(1)=g(2)=0, οπότε οι θέσεις 1 και 2 είναι μοναδικές θέσεις ολικού ελάχιστου(μοναδικές ρίζες της g). Σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, ισχύει g'(1)=g'(2)=0.
Θα λύσω τώρα την εξίσωση g'(x)=0, για χ ανήκει Δ=(0,1)υ(1,2)υ(2,συν άπειρο). Καταλήγω στην εξίσωση (χ-1)e^x-e=0. Θέτω συνάρτηση μ(χ)=(χ-1)e^x-e, χ ανήκει Δ. Θέτω Δ1=(0,1), Δ2=(1,2) και Δ3=(2,συν άπειρο).
Είναι μ΄(χ)=x*e^x>0 για χ ανήκει Δ. Άρα, η μ είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα Δ1,Δ2,Δ3. Λόγω μονοτονίας, έχω:
μ(Δ1)=(-e-1,-e)(αρνητική)
μ(Δ2)=(-e,e²-e)
μ(Δ3)=(e²-e,συν άπειρο)(θετική). Η μ μηδενίζει μία τουλάχιστον φορά στο Δ2. Λόγω μονοτονίας, μηδενίζει μία ακριβώς φορά στο Δ2. Δηλαδή, υπάρχει ένα ακριβώς ξ ανήκει(1,2) τέτοιο, ώστε μ(ξ)=0 <=> g'(ξ)=0.
Επειδή η g είναι συνεχής στο [1,2], παίρνει σε αυτό μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή μ(που προφανώς δεν είναι ίσες, αφού δεν είναι σταθερή η g). Η θέση της Μ δε βρίσκεται σε άκρο του διαστήματος [1,2], άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ανάμεσα στο 1 και το 2 τέτοιο, ώστε g(x1)=Μ. Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat, είναι g'(x1)=0 <=> x1=ξ. Άρα, έχω μοναδική θέση τοπικού μεγίστου, η οποία βρίσκεται ανάμεσα στα 1,2. Τα 1,2 είναι οι μοναδικές θέσεις τοπικών ελαχίστων, αφού η παράγωγος της g δε μηδενίζει πουθενά αλλού εκτός από τα χ1,1,2 και η g ορίζεται στο ανοικτό διάστημα (0,συν άπειρο).

Συγγνώμη αν υπάρχει κάποιο αριθμητικό ή λογικό λάθος...

σωστο αλλα πολυ περιεργος τροπος λυσης. θα παρεις ολα τα μορια ομως απο το Δ3

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[SuperSpecial]

Επειδη ειδα πολλους να ασχολουνται με το Δ2α και με την εναλλακτικη του λυση ...Ο παρακατω τροπος ειναι 100% σωστος:
θετεις την συναρτηση ολοκληρωμα
παραγωγιζεις,βγαινει παραγωγος θετικη αφου φ''>=ο (φ κυρτή και το "=" σε μεμον.σημεια) αρα η συναρτηση σου ειναι αυξουσα αρα και 1-1
συνεπως προφανης ριζα η φ'(χ)=1/2 <=> χ=0 ,μοναδικη αφου φ' γν.αυξουσα

Το ότι είναι 100% σωστός που το στηρίζεις;Επίσης κάποιος που έχει αντίθετη άποψη μπορεί να μας πει πόσες μονάδες από τις 7 πιστεύει ότι θα πάρει αυτός ο τρόπος;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[methexys]

Το ότι είναι 100% σωστός που το στηρίζεις;Επίσης κάποιος που έχει αντίθετη άποψη μπορεί να μας πει πόσες μονάδες από τις 7 πιστεύει ότι θα πάρει αυτός ο τρόπος;

Γιατί δεν σου φαίνεται σωστός, βρίσκεις λάθος κάπου;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[transient]

Γεια σας παιδιά, καλή επιτυχία στα υπόλοιπα μαθήματα!!!
Εγώ το Δ3 έκατσα και το έλυσα με κάπως διαφορετικό τρόπο, θα ήθελα να μου πει κάποιος αν θα ήταν αποδεκτός στις πανελλαδικές:

Ισχύει g(x)>=0 για x>0. Είναι g(1)=g(2)=0, οπότε οι θέσεις 1 και 2 είναι μοναδικές θέσεις ολικού ελάχιστου(μοναδικές ρίζες της g). Σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, ισχύει g'(1)=g'(2)=0.
Θα λύσω τώρα την εξίσωση g'(x)=0, για χ ανήκει Δ=(0,1)υ(1,2)υ(2,συν άπειρο). Καταλήγω στην εξίσωση (χ-1)e^x-e=0. Θέτω συνάρτηση μ(χ)=(χ-1)e^x-e, χ ανήκει Δ. Θέτω Δ1=(0,1), Δ2=(1,2) και Δ3=(2,συν άπειρο).
Είναι μ΄(χ)=x*e^x>0 για χ ανήκει Δ. Άρα, η μ είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα Δ1,Δ2,Δ3. Λόγω μονοτονίας, έχω:
μ(Δ1)=(-e-1,-e)(αρνητική)
μ(Δ2)=(-e,e²-e)
μ(Δ3)=(e²-e,συν άπειρο)(θετική). Η μ μηδενίζει μία τουλάχιστον φορά στο Δ2. Λόγω μονοτονίας, μηδενίζει μία ακριβώς φορά στο Δ2. Δηλαδή, υπάρχει ένα ακριβώς ξ ανήκει(1,2) τέτοιο, ώστε μ(ξ)=0 <=> g'(ξ)=0.
Επειδή η g είναι συνεχής στο [1,2], παίρνει σε αυτό μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή μ(που προφανώς δεν είναι ίσες, αφού δεν είναι σταθερή η g). Η θέση της Μ δε βρίσκεται σε άκρο του διαστήματος [1,2], άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ανάμεσα στο 1 και το 2 τέτοιο, ώστε g(x1)=Μ. Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat, είναι g'(x1)=0 <=> x1=ξ. Άρα, έχω μοναδική θέση τοπικού μεγίστου, η οποία βρίσκεται ανάμεσα στα 1,2. Τα 1,2 είναι οι μοναδικές θέσεις τοπικών ελαχίστων, αφού η παράγωγος της g δε μηδενίζει πουθενά αλλού εκτός από τα χ1,1,2 και η g ορίζεται στο ανοικτό διάστημα (0,συν άπειρο).

Συγγνώμη αν υπάρχει κάποιο αριθμητικό ή λογικό λάθος...

Σωστό είναι. Τουλάχιστον μέχρι ενός σημείου το χα δει ως λύση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[BigBang0000]

Το ότι είναι 100% σωστός που το στηρίζεις;Επίσης κάποιος που έχει αντίθετη άποψη μπορεί να μας πει πόσες μονάδες από τις 7 πιστεύει ότι θα πάρει αυτός ο τρόπος;

Προφανως το στηριζω στην μαθηματικη λογικη ...Επιπλεον δεν μπορεις να βρεις κατι που να ειναι λαθος σε αυτον τον τροπο και τελος,οι καθηγητες που το συζητησα μου το επιβεβαιωσαν ...(και φυσικα παιρνει 7/7 μοναδες )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[SuperSpecial]

Γιατί δεν σου φαίνεται σωστός, βρίσκεις λάθος κάπου;

Έχω την αίσθηση ότι είναι λάθος γιατί δεν ξέρουμε ότι η f ' είναι παρ/μη ξέρουμε μόνο ότι η f είναι κυρτή.Εκτός αν μπορεί να αποδειχθεί μέσω του τύπου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[transient]

Νομίζω ότι πληροφορία πως η f είναι κυρτή δεν ισοδυναμεί με την πληροφορία ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη ούτε με την πληροφορία ότι η 2η παράγωγος (αν υπήρχε) θα ταν θετική.

f κυρτή ισοδυναμεί ότι f' γνησίως αύξουσα και μόνο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[BigBang0000]

Προφανως ειναι δυο φορες παραγωγισιμη αφου γνωριζουμε τον τυπο της!Επιπλεον δεν ειπα οτι ειναι θετικη ειπα οτι ειναι θετικη Η ΜΗΔΕΝ ,οπου το μηδεν σε μεμον. σημεια,που ειναι απολυτα σωστο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[davidg]

Επειδη ειδα πολλους να ασχολουνται με το Δ2α και με την εναλλακτικη του λυση ...Ο παρακατω τροπος ειναι 100% σωστος:
θετεις την συναρτηση ολοκληρωμα
παραγωγιζεις,βγαινει παραγωγος θετικη αφου φ''>=ο (φ κυρτή και το "=" σε μεμον.σημεια) αρα η συναρτηση σου ειναι αυξουσα αρα και 1-1
συνεπως προφανης ριζα η φ'(χ)=1/2 <=> χ=0 ,μοναδικη αφου φ' γν.αυξουσα

αν ισχυει αυτο.. απλα εκεινη τη στιγμη δεν εξηγησα οτι ειναι και ιση με το μηδεν,απλα το σκεφτηκα και το αιτιολογησα στο μυαλο μου και εκει εγραψα οτι απλα ειναι f''(x)>0.πόσο λες να μου κοψουν?

Έχω την αίσθηση ότι είναι λάθος γιατί δεν ξέρουμε ότι η f ' είναι παρ/μη ξέρουμε μόνο ότι η f είναι κυρτή.Εκτός αν μπορεί να αποδειχθεί μέσω του τύπου.

απο τη στιγμη που ειναι γνωστη συναρτηση,ειναι πραγματικα ελαχιστες οι περιπτωσεις που η f'' θα ειναι παντου μηδεν.και η σημερινη δεν ηταν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[transient]

Προφανως ειναι δυο φορες παραγωγισιμη αφου γνωριζουμε τον τυπο της

Ναι , εγώ μιλούσα γενικά!
Το ότι "f κυρτή συνεπάγεται f'' >_ 0" περιλαμβάνεται ως πρόταση του σχολικού βιβλίου;
Δε θέλει κάποια απόδειξη; όχι ;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[davidg]

Νομίζω ότι πληροφορία πως η f είναι κυρτή δεν ισοδυναμεί με την πληροφορία ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη ούτε με την πληροφορία ότι η 2η παράγωγος (αν υπήρχε) θα ταν θετική.

f κυρτή ισοδυναμεί ότι f' γνησίως αύξουσα και μόνο

προφανως.σε μια αγνωστη συναρτηση ομως.απο τη στιγμη που σου εχει δωσει συναρτηση,αν μπορεις να παραγωγισεις την f',ειναι παραγωγισιμη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[BigBang0000]

αν ισχυει αυτο.. απλα εκεινη τη στιγμη δεν εξηγησα οτι ειναι και ιση με το μηδεν,απλα το σκεφτηκα και το αιτιολογησα στο μυαλο μου και εκει εγραψα οτι απλα ειναι f''(x)>0.πόσο λες να μου κοψουν?

κοιτα,ο τροπος βασιζεται σε αυτο εν μερει ,οχι αποκλειστικα (κατα τη γνωμη μου)...εξαρταται απτον εξεταστη...παντως απο 2-4 εχω την σντυπωση στη χειροτερη...



απο τη στιγμη που ειναι γνωστη συναρτηση,ειναι πραγματικα ελαχιστες οι περιπτωσεις που η f'' θα ειναι παντου μηδεν.και η σημερινη δεν ηταν

χαχα ..βρε προφανως δεν ειναι παντου μηδεν αλλιως η φ' θα ηταν σταθερη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[SuperSpecial]

Μπορεί να γνωρίζουμε τον τύπο της αλλά από τον τύπο αυτό μπορούμε να συμπαιράνουμε μόνο ότι η f είναι παρ/μη στο R άρα ότι η f' είναι συνεχής στο R δεν ξέρουμε όμως αν είναι και παραγωγίσιμη.Εκτός αν το δείξουμε,ξαναλέω.Δηλαδή αν πάρουμε τον τύπο της f'(x) με δύο κλάδους και δείξουμε ότι και αυτή είναι παρ/μη.Φυσικά το μεγαλυτερο και ίσον στην f'' δεν μας πειράζει αφού το ίσον ισχύει σε μεμονομένα σημεία.Μακάρι να έχετε δίκιο βέβαια γιατί και εγώ αυτό έκανα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[davidg]

χαχα ..βρε προφανως δεν ειναι παντου μηδεν αλλιως η φ' θα ηταν σταθερη

ναι ετσι το σκεφτηκα,αλλα για καποιο λογο δεν καθησα να το εξηγησω εκεινη τη στιγμη,ειπα απλα οτι αφου f κυρτη,f''(x)>0 αρα και
f(2f'(x))*2f''(x)>0,οποτε η συναρτηση ολοκληρωμα που ειχα θεσει αυξουσα..λογικα δεν θα δωσουν τουλαχιστον τη μιση ασκηση?τα υπολοιπα τα εχω αιτιολογησει λεπτομερως

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[BigBang0000]

Μπορεί να γνωρίζουμε τον τύπο της αλλά από τον τύπο αυτό μπορούμε να συμπαιράνουμε μόνο ότι η f είναι παρ/μη στο R άρα ότι η f' είναι συνεχής στο R δεν ξέρουμε όμως αν είναι και παραγωγίσιμη.Εκτός αν το δείξουμε,ξαναλέω.Δηλαδή αν πάρουμε τον τύπο της f'(x) με δύο κλάδους και δείξουμε ότι και αυτή είναι παρ/μη.Φυσικά το μεγαλυτερο και ίσον στην f'' δεν μας πειράζει αφού το ίσον ισχύει σε μεμονομένα σημεία.Μακάρι να έχετε δίκιο βέβαια γιατί και εγώ αυτό έκανα.

κατα τη γνωμη μου ειναι προφανες...αλλα και παλι..πιστευεις θα κοψει (αν κοψει) περισσοτερο απο 1/100 ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[transient]

κατα τη γνωμη μου ειναι προφανες...αλλα και παλι..πιστευεις θα κοψει (αν κοψει) περισσοτερο απο 1/100 ?

Πάντως ένας λόγος που δεν προτίμησα αυτή τη λύση είναι ότι βαριόμουνα να δείξω ότι η f' είναι παραγωγίσιμη (να βρω παράγωγο δλδ)... :p

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[SuperSpecial]

Ελπίζω να έχεις δίκιο.Πάντα βέβαια εξαρτάται και από τον εξεταστή.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Ναι , εγώ μιλούσα γενικά!
Το ότι "f κυρτή συνεπάγεται f'' >_ 0" περιλαμβάνεται ως πρόταση του σχολικού βιβλίου;
Δε θέλει κάποια απόδειξη; όχι ;

"Αν f''>0, τότε η f είναι κυρτή" αυτό συνεπάγεται ότι "Αν η f είναι κοίλη, η f'' [δεν είναι]>0, άρα f'' <=0"
Επίσης, το σχόλιο του βιβλίου λέει: "Αν η f είναι κυρτή, τότε η f'' δεν είναι απαραίτητα >0." Και δίνει ένα παράδειγμα όπου η f κυρτή και η f''(xo)=0. Πλαγίως, σου λέει ότι: f κυρτή => f''>=0

Κάπου στο mathematica είχα διαβάσει, πριν καιρό, ότι δεν μπορείς να πας από το f(x1)<f(x2) στο x1<x2, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η f είναι αύξουσα. Από την ανισοτική των χ πας στην ανισοτική των f, αλλά το αντίστροφο θέλει απόδειξη.
Αν θεωρήσουμε αυστηρά ότι "οτιδήποτε δεν υπάρχει στο σχολικό απαιτεί απόδειξη". Κακά τα ψέματα, κανένας μαθητής δεν το αποδεικνύει και κανένας βαθμολογητής δεν θα ψάξει για την απόδειξη. Κυρίως, γιατί όλοι το θεωρούμε αυτονόητο, αλλά, σύμφωνα με τις οδηγίες του Υπουργείου, θα έπρεπε να κόβονται 1-2 μόρια...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Jonas]

Αν καποιος δεν πηγαινε φροντιστηριο δεν υπηρχε περιπτωση να γραψει πανω απο 15.

Οι απόλυτες δηλώσεις συνήθως διαψεύδονται στο τέλος. Φιλικά στο λέω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikoslarissa]

Η f' είναι παραγωγίσιμη αφού είναι γνωστή συνάρτηση βέβαια πρέπει να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη και στο 0 με το όριο.Είναι νομίζω f''(0)=1/3

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.