Για το Δ4 σας έχω ακόμα πιο απλή λύση.
Αφού η F(x) είναι γνησίως αύξουσα στο (1,e), και F(1) = 1, θα ισχύει :
F(x) >= 1 για κάθε x E (1,e).
Οπότε εαν την θεωρήσουμε σταθερή, και ίση με 1 σε όλο αυτό το διάστημα, μια αρχική υποεκτίμηση του εμβαδού ως εξής :
S dx = e - 1
Δεδομένου επίσης πως η f' > 0 σε αυτό το διάστημα, άρα η F είναι κυρτή, και επομένως οι εφαπτομένες της βρίσκονται κάτω απο αυτήν, μπορούμε να την προσεγγίσουμε επίσης στο άκρο x = e του χωρίου μέσω της εφαπτομένης της εκεί, η οποία θα είναι :
y = f(e)(x-e) + F(e) =>
y = 2(x - e) + e
Βρίσκουμε που τέμνει αυτή την y = 1 :
1 = 2(x - e) + e =>
x = e + (1-e)/2 =>
x = (e+1)/2
Άρα η βάση του τριγώνου που σχηματίζεται θα είναι :
Β = e - (e+1)/2 = (e - 1) / 2
Ενώ το ύψος του τριγώνου θα είναι :
U = F(e) - 1 = e - 1
Οπότε το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι :
Eτ = ΒU/2 = (e-1)²/4
Τελικά η εκτίμηση του συνολικού εμβαδύ κάτω απο την καμπύλη γράφεται ως :
Εκ = e - 1 + (e+1)²/4 =>
Εκ = (e - 1)(e + 3)/4
Έστω τώρα πως αυτό είναι μικρότερο απο την ζητούμενη ποσότητα :
(e - 1)(e + 3)/4 < 2e - 3 =>
(e - 1)(e + 3) < 8e - 12 =>
e² + 3e - e - 3 < 8e - 12 =>
e² - 6e + 9 < 0 =>
(e - 3)² < 0,
Άτοπο.
Άρα, το αρχικό ολοκλήρωμα :
I > (e - 1)(e + 3)/4 > 2e - 3
Πιστεύω πως το θέμα Δ γενικά ήταν γτπ, και θα συμφωνήσω με τον
@eukleidhs1821 πως θα μπορούσε να ήταν πιο καθοδηγητικό απο το να πηγαίνεις στα τυφλά.
Γενικά ένα ερώτημα
.
