Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

ξαροπ · 11 Ιουλίου 2011 στις 12:43

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Δεν νομιζω να χρειαζεσαι λεξικο.Αν δεις μια σελιδα πριν θα καταλαβεις το γιατι.
Ξεφευγει απο το επιπεδο της Α'λυκειου η ανισοτητα α+β ≥ 2√αβ? Εισαι σιγουρος?
Επισης,πιστευω πως τα παιδια που τετοια εποχη ανατρεχουν σε θεματα με ασκησεις ,αναζητουν κατι παραπανω,κατι ποιο δυσκολο το οποιο να διαφερει απο αυτο που μας πλασαρουν στο σχολειο.
Ετσι,δεν βρισκω τον λογο να δημιουργηθει νεο θεμα.Ουτε αστρονομικες ασκησεις βαζουμε,και διαθεση να τα αναλυουμε και να τα εξηγουμε εχουμε.

Στην Α' Λυκείου, η παραπάνω ανισότητα παρουσιάζεται με τη μορφή δύο όρων και μόνο (άντε τριών αν συνδυαστεί και η ταυτότητα Euler και την βάλει ο καθηγητής ως 'ανεβασμένη' άσκηση), δηλαδή στον πίνακα γραμμένο θα δουν οι μαθητές το

$a^2 + b^2 \geq 2ab$

και πολύ λίγοι θα κάτσουν να ασχοληθούν πιο πολύ. Διαφορετικές εκφράσεις αυτής της ανισότητας (πχ. αυτή που έχεις γράψει για θετικούς α,β) προφανώς δεν διαφέρουν, αυτό όμως που νομίζω ότι πείραξε περισσότερο το Δία ήταν οι αναφορές στην επαγωγή, στην (όχι απόλυτα) γενικευμένη ανισότητα των μέσων, στη χρήση θεωρίας πολυωνύμων κ.α. (ό,τι θυμάμαι λέω) που ξεφεύγει από τα πλαίσια της Α' Λυκείου. Μπορεί κάποιοι που θα πάνε τώρα Α' Λυκείου να τα ξέρουν όλα αυτά και ακόμη παραπάνω - δεν μας ενδιαφέρει αυτό, υπάρχει ήδη τόπικ διαγωνισμών λυκείου όπου εκεί βάζεις ό,τι θες - σωστό θεωρώ όμως εδώ να μπαίνουν ασκήσεις που λύνονται με γνώσεις Γ' Γυμνασίου - Α' Λυκείου (το σχολικό βιβλίο δηλαδή) (οι οποίες μπορούν να γίνουν τόσο δύσκολες ώστε να φτάνουν και το επίπεδο ΙΜΟ, μη νομίσει κανείς ότι θεωρία κατώτερων τάξεων ισοδυναμεί με πιο εύκολα θέματα).

Επίσης καλό είναι να δηλώνουμε πότε και ποια άσκηση θεωρείται δύσκολη σε σχέση με τα σχολικά δεδομένα, για να ξέρει όποιος μπαίνει και διαβάζει ποιο είναι (πιθανώς) το πιο απλό και ποιο το πιο δύσκολο (φαντάζομαι όλοι σας έχετε / βλέπετε τη λύση ενός θέματος προτού το ανεβάσετε)

My two cents. Βλέπω ότι στο τόπικ έχουν μείνει ξεχασμένες κάποιες ασκήσεις εξισώσεων με ριζικά που είχα βάλει το Νοέμβριο (!), οπότε αυτή τη φορά θα βάλω πιο απλές.

Να λυθούν στο R:

(i) $\frac{\sqrt{5-x^2}}{x+1} = 1$

(ii) $\sqrt{x+9} + \sqrt{x} = 2$

(iii) $\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-8} = 3$

(iv) $\sqrt{2x^2 + 5x - 2} - \sqrt{2x^2 +5x - 9} = 1$ (*)

(*) Θεωρείται δύσκολη

wfgl · 11 Ιουλίου 2011 στις 13:31

για την iv ύστερα από πράξεις έβγαλα ότι χ=2 ή χ=-9/2

μπορείτε να μου πείτε αν η λύση αυτής της άσκησης, του link είναι σωστή ???(https://skydrive.live.com/view.aspx...f811b&sc=documents&Bsrc=Docmail&Bpub=SDX.Docs)

akis95 · 11 Ιουλίου 2011 στις 13:56

γραψε την ακνονικα γιατι δεν εχω λογαρισαμο και δεν μπορω να την κοιταξω

wfgl · 11 Ιουλίου 2011 στις 14:03

x,y,z \in \!\, R (με x,y,z > 0)

Νδο (x+y)(xy+1)(z2 +1)=8xyz

(√x-√y)2 ≥ 0 ó x-2√x√y+y ≥ 0 ή x+y ≥ 2√x√y (1)

(√x√y -1)2 ≥ 0 ó xy-2√x√y+1 ≥ 0 ή xy+1 ≥ 2√x√y (2)

(z-1)2 ≥ 0 ó z2-2z+1 ≥ 0 ή z2+1 ≥ 2z (3)

Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1),(2),(3) κατά μέλη προκύπτει: (x+y)(xy+1)(z2 +1) ≥ 8√x2√y2z = 8xyz

Η ισότητα ισχύει όταν :
(√x-√y)2 = 0 ή x=y (4)
(√x√y -1)2 = 0 ή xy=1 (5)
(z-1)2 = 0 ή z=1 (6)

Η σχέση (5) με τη βοήθεια της (4) γίνεται: x2=1 ή x=1(δεκτή) ή x = -1(απορρίπτεται, αφού x,y,z > 0) και λόγω της (4) y=x ή
ή y=1
Άρα (x,y,z)=(1,1,1)

akis95 · 11 Ιουλίου 2011 στις 14:06

σωστος η ακσηση του μηνα της μαθηματικησ εταιρειας

wfgl · 11 Ιουλίου 2011 στις 14:09

ναι αλλά το όνομα μου δεν είναι στους λύτες, άρα θα πρέπει κάτι λάθος να έκανα

Βοήθεια Τι να κάνω ????

akis95 · 11 Ιουλίου 2011 στις 21:11

Καλα μωρε καθεσαι και σκας επιδη δεν ειδες το ονομα σου εγω στο παρελθον ειχα κανει την ιδαι λυση με αυτους ουτε και εγω ειδα το ονομα μου.,πορει να συνεβησαν χιλια δυο σημασια εχει που την ελυσες .Παντως αρκετα ευκολη ασκηση για ασκηση του μηνα

wfgl · 12 Ιουλίου 2011 στις 12:55

@akis15

έλυσα το σύστημα και βρήκα (x,y,a,c)=(3,3,3,3)
θα ποστάρω τη λύση μου αργότερα γιατί είναι μεγάλη ...

akis95 · 12 Ιουλίου 2011 στις 13:03

σωστα τοσο ειναι

wfgl · 12 Ιουλίου 2011 στις 13:40

$x+y=6$
$x+c+ay=15$
$x+2c+{a}^{2}y=36$
$x+3c+{a}^{3}y=93$
Αντικαθιστώ όπου x το 6-y και το σύστημα γίνεται:
$x=6-y$ (1)
$ay-y+c=9$ (2)
${a}^{2}y-y+2c=30$ (3)
${a}^{3}y-y+3c=87$ (4)
$(2)+(3)-(4) <=> ... y(a+1){(a-1)}^{2}=48 (5)$
$2*(2)-(3) <=> ... y{(a-1)}^{2}=12 (6)$
(5)/(6) <=> a=3
και ύστερα με απλή αντικατάσταση στα παραπάνω προκύπτει (x,y,a,c)=(3,3,3,3)
Γιατί έχω την εντύπωση ότι υπάρχει πιο απλή λύση ... ???

Κάποιος να βάλει άσκηση.Έχουμε βαρεθεί ...

akis95 · 13 Ιουλίου 2011 στις 12:18

Αν α,β,γ θετικοι παραγματικοι αριθμοι τετοιοι ωστε

νδο

Ειναι ευκολη....

wfgl · 13 Ιουλίου 2011 στις 15:25

Ισχύει ότι ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq a+b+c$
Έστω ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq \sqrt[]{3}abc$

ξαροπ · 13 Ιουλίου 2011 στις 15:35

Δεν ισχύει $a^2 + b^2 + c^2 \geq a+b+c$ , πχ. για a = 0.1, b = 0.2, c = 0.3 έχουμε $a+b+c = 0.6 > abc = 0.006$ και

$a^2 + b^2 + c^2 = 0,14 < 0,6$ .

Επίσης το 2ο βήμα έχει λογικό λάθος, αφού $a+b+c \geq abc \Leftrightarrow \frac{1}{a+b+c} \leq \frac{1}{abc}$

Δείτε εδώ.

https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=349004&p=1875661#p1875661

Το θέμα είχε τεθεί στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2006, και, όσο εύκολο και αν είναι για αυτού του επιπέδου διαγωνισμούς, σε καμία περίπτωση δεν θεωρείται σχολικό - το θέμα έχει ξεφύγει.

Αν θέλετε να βάζετε ασκήσεις - προκλήσεις επιπέδου διαγωνισμών καλύτερα να γράφετε εδώ https://ischool.e-steki.gr/μαθητικοί-διαγωνισμοί/συλλογή-ασκήσεων-για-την-μαθηματική-εταιρία-63302/ παρά σε αυτό το τόπικ, που αφορά μόνο στην Α' Λυκείου.

wfgl · 13 Ιουλίου 2011 στις 15:46

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Ισχύει ότι ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq a+b+c$
Έστω ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq \sqrt[]{3}abc$

μεγάλη ανοησία sorry

vimaproto · 14 Ιουλίου 2011 στις 21:41

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
αx + βy + γz =0 και χ + y + z=o
ΝΔΟ
(β + γ)x + (γ + α)y + (α + β)z = 0

Για να μην βαριέστε καλοκαιριάτικα την έβαλα

Είπα μετά από καιρό να μη ασχοληθώ, αλλά από τις λύσεις που βλέπω θυμήθηκα ένα μου δάσκαλο που μας έλεγε να είμαστε "έξυπνοι τεμπέληδες" στις λύσεις των ασκήσεων
πολλαπλασιάζω την δεύτερη σχέση που δίνει με το α+β+γ. Μετά τον πολλαπλασιασμό αχ+(β+γ)χ+βy+(α+γ)y+(α+β)z+γz=0 και επειδή αχ+βy+γz=0 ==> (β+γ)χ+(α+γ)y+(α+β)z=0

Guest 278211 · 18 Ιουλίου 2011 στις 15:04

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
αx + βy + γz =0 (1) και χ + y + z=o
ΝΔΟ
(β + γ)x + (γ + α)y + (α + β)z = 0

Για να μην βαριέστε καλοκαιριάτικα την έβαλα

x=-y-z |
y=-x-z | <=>(1) a(-y-z) + b (-x-z) + γ (-x-y)=0 <=> - ( ay + az + bx +bz + cx + cy) = 0 <=> x(b+c) + y(a+c) + z(a+b) = 0
z=-x-y |

αυτή είναι η δική μου λύση, νομίζω 4η κατά σειρά!

akis95 · 19 Ιουλίου 2011 στις 14:21

αν θυμαμαι καλα την εχουμε ξαναβαλει τη λυση

Guest 278211 · 19 Ιουλίου 2011 στις 14:50

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
αν θυμαμαι καλα την εχουμε ξαναβαλει τη λυση

καλά θυμάσαι, αλλά με διαφορετικούς τρόπους.

akis95 · 26 Ιουλίου 2011 στις 14:23

βαλτε καμια σκηση βαρεθηκαμε

Guest 018946 · 4 Αυγούστου 2011 στις 13:08

ας βαλω και μια ευκολη εαν : $2^{x}=6$ να υπολογισετε το $2^{2x+3}$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης