Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Mr.Blonde · 15 Μαΐου 2012 στις 14:59

Για την ασκηση του στελιου
$\int_{1}^{3}(f(x)-x)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx-\int_{1}^{3}xdx=\int_{1}^{3}f(x)dx-4<0$
Αφου $\int_{1}^{3}f(x)dx<4$
Εστω συναρτηση $g(x)=\int_{1}^{x}(f(t)-t)dt$ .Με θμτ στο [1,3] προκυπτει οτι υπαρχει χ1 που ανηκει στο (1,3) τετοιο ωστε
$g'(x1)=\frac{\int_{1}^{3}(f(t)-t)dt}{2}\Rightarrow f(x1)-x1=\frac{\int_{1}^{3}(f(t)-t)dt}{2}<0$
Αρα με bolzano για την h(x)=f(x)-x στα [1,χ1] και [χ1,3] ,προκυπτει το ζητουμενο
Με Rolle στην f προκυπτει οτι υπαρχει χ0 που ανηκει στο [1,3] τετοιο ωστε f'(x0)=0.
Επισης με rolle στην h(x)=f(x)-x στο [χ2,χ3] οπου χ2,χ3 οι ριζες της h ,προκυπτει οτι υπαρχει χ4 τετοιο ωστε
$h'(x4)=0\Rightarrow f'(x4)=1$
Η f' ειναι συνεχης και $\frac{2010}{2011}\epsilon (0,1)$
Απο θετ για την f' προκυπτει το ζητουμενο.

dimijim · 15 Μαΐου 2012 στις 16:27

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Παρτε μια ασκηση που μου φανηκε αρκετα δυσκολη.
Δινεται συναρτηση $f:R\rightarrow R$ συνεχης για την οποια ισχυει $\int_{0}^{f(x)}\frac{1}{\sqrt{{u}^{2}+1}}du=x$
Να δειξετε οτι f'(0)=f(0)+1
Nα μελετηθει η f ως προς τη μονοτονια και να βρεθει το προσημο της.
Αν επιπλεον η f ειναι παραγωγισιμη στο R
Nα αποδειξετε οτι η συναρτηση g(x)=f''(x)-f(x) ειναι σταθερη
Να βρειτε τον τυπο της f.
Nα αποδειξετε οτι για οποιαδηποτε 0<α<β ,υπαρχει ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε
$\xi f'(\xi )+f(\xi )>\frac{2}{\beta -\alpha }\int_{\alpha }^{\beta }f(u)du$

Επειδή κάτι ψιλοκατάλαβα, αν έχει τριγωνομετρική αντικατάσταση τότε είναι εκτός ύλης.
Δεν το έλυσα αλλά νομίζω πως θέλει...

Mr.Blonde · 15 Μαΐου 2012 στις 19:27

Επειδή κάτι ψιλοκατάλαβα, αν έχει τριγωνομετρική αντικατάσταση τότε είναι εκτός ύλης.
Δεν το έλυσα αλλά νομίζω πως θέλει...

Οχι δεν θελει τριγωνομετρικη αντικατασταση.Αλλα αν θελετε να βαλω την λυση να την δειτε οκ.

StratosRIP · 15 Μαΐου 2012 στις 19:47

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Οχι δεν θελει τριγωνομετρικη αντικατασταση.Αλλα αν θελετε να βαλω την λυση να την δειτε οκ.

Μη βαζεις λυση θελω να λυσω το βραδυ...
Μηπως μπορει καποιος να γραψει σε latex το ολοκληρωμα π εβαλα πριν για υπολογισμο? Ειναι αρκετα εξυπνο...

lowbaper92 · 15 Μαΐου 2012 στις 19:54

Αρχική Δημοσίευση από StratosRIP:
Παρτε ενα ολοκληρωμα που βγαινει παραξενα.. Ι= ολοκληρωμα(με ορια ολοκληρωσης π, 3π)2/ημχ+συνχ+2 dx + ολοκληρωμα(με ακρα 0,2π) ημχ+συνχ/ημχ+συνχ+2 dx

Αρχική Δημοσίευση από StratosRIP:
Μηπως μπορει καποιος να γραψει σε latex το ολοκληρωμα π εβαλα πριν για υπολογισμο? Ειναι αρκετα εξυπνο...

$I=\int_{\pi }^{3\pi }\frac{2}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx+\int_{0}^{2\pi }\frac{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx$

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Αλλα αν θελετε να βαλω την λυση να την δειτε οκ.

Βάλτην αν θες σε spoiler για όποιον θέλει να ελέγξει

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 15:11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
$I=\int_{\pi }^{3\pi }\frac{2}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx+\int_{0}^{2\pi }\frac{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x+2}dx$

Στο μυαλό μου έχω αυτή τη σκέψη αλλά δεν προλαβαίνω τώρα να το εφαρμόσω:

Στο ένα θέτω υ=χ-π/2 και στο αλλο υ=χ+π/2

stelios1994-4 · 16 Μαΐου 2012 στις 15:31

Βασικά έχω την εντύπωση ότι πρέπει με κάποιο τρόπο να ενωθούν τα ολοκληρώματα ώστε να βγει μονάδα, αλλά δεν προλαβαίνω να το δώ τώρα

StratosRIP · 16 Μαΐου 2012 στις 15:42

Προσεξτε στη συναρτηση μεσα.. Ειναι αρκετα εξυπνη.. Αυτη ειναι η σκεψη στελιο αλλα το θεμα ειναι να τα βαλεις σε ενα

Aντωνη δεν ξερω αν βγαινει ετσι οπως λες παντως εγω ελυσα με διαφορετικο τροπο..

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 15:52

Το ένα το γράφεις 1-(ημχ+συνχ)/(ημχ+συνχ+2) και το άλλο 1-2/(ημχ+συνχ+2), οπότε θα βγει νομίζω Ι=4π-Ι δηλ Ι=2π

qwerty111 · 16 Μαΐου 2012 στις 15:59

Στο πρώτο ολοκλήρωμα θετω u=x-π. Βρίσκουμε ότι $I=\int_{0}^{2\pi }\frac{\eta \mu \chi + \sigma \upsilon \nu \chi }{3-2\eta \mu \chi \sigma \upsilon \nu \chi }dx + 2\pi$

Mr.Blonde · 16 Μαΐου 2012 στις 16:20

Με ιδιο τροπο εφτασα στη σχεση του qwerty111 και μετα εθεσα χ=2π+υ,εκμεταλλευομενος το γεγονος οτι η συναρτηση μεσα στο ολοκληρωμα ειναι περιοδικη με περιοδο 2π.
Αν εχετε χρονο κοιταξτε την ασκηση που δημοσιευσα.Τα 2 πρωτα και το τελευταιο αξιζουν σαν ερωτηματα αν και ειναι δυσκολα.

EsASt3p · 16 Μαΐου 2012 στις 16:23

Κάποιος να διαγράψει το μνμ, σε λάθος thread έγραψα

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 16:43

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Αν εχετε χρονο κοιταξτε την ασκηση που δημοσιευσα.Τα 2 πρωτα και το τελευταιο αξιζουν σαν ερωτηματα αν και ειναι δυσκολα.

Την είχα κοιτάξει όταν είχα χρόνο. Με προβλημάτισε που δεν έλεγε πουθενά οτι είναι παραγωγίσιμη η f, και ζητούσε σχέση με f'(0). Και τότε σκέφτηκα ''θα βγει με ορισμό της παραγωγου'' και τότε σκέφτηκα ''πολύ τραβηγμένο για να είναι αληθινό''.
Περιμένω τη λύση να μου λυθεί η απορία.

Τώρα βέβαια, μετά από μια βδομάδα, έχω πιο ώριμη σκέψη :ρ και νομίζω είναι προφανές ότι θα δουλέψουμε με αντίστροφη. Κολλάω πάλι όμως στην παραγωγισιμότητα

Mr.Blonde · 16 Μαΐου 2012 στις 17:25

Την είχα κοιτάξει όταν είχα χρόνο. Με προβλημάτισε που δεν έλεγε πουθενά οτι είναι παραγωγίσιμη η f, και ζητούσε σχέση με f'(0). Και τότε σκέφτηκα ''θα βγει με ορισμό της παραγωγου'' και τότε σκέφτηκα ''πολύ τραβηγμένο για να είναι αληθινό''.
Περιμένω τη λύση να μου λυθεί η απορία.

Πολυ ωραια σκεψη.Αυτη ειναι η συντομη λυση,στο περιπου.Με αυτο τον τροπο βγαινει πολυ ευκολα και το 2ο

qwerty111 · 16 Μαΐου 2012 στις 19:13

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Με ιδιο τροπο εφτασα στη σχεση του qwerty111 και μετα εθεσα χ=2π+υ,εκμεταλλευομενος το γεγονος οτι η συναρτηση μεσα στο ολοκληρωμα ειναι περιοδικη με περιοδο 2π.
Αν εχετε χρονο κοιταξτε την ασκηση που δημοσιευσα.Τα 2 πρωτα και το τελευταιο αξιζουν σαν ερωτηματα αν και ειναι δυσκολα.

Μήπως εννοείς χ=2π - u;

qwerty111 · 16 Μαΐου 2012 στις 19:31

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Την είχα κοιτάξει όταν είχα χρόνο. Με προβλημάτισε που δεν έλεγε πουθενά οτι είναι παραγωγίσιμη η f, και ζητούσε σχέση με f'(0). Και τότε σκέφτηκα ''θα βγει με ορισμό της παραγωγου'' και τότε σκέφτηκα ''πολύ τραβηγμένο για να είναι αληθινό''.
Περιμένω τη λύση να μου λυθεί η απορία.

Τώρα βέβαια, μετά από μια βδομάδα, έχω πιο ώριμη σκέψη :ρ και νομίζω είναι προφανές ότι θα δουλέψουμε με αντίστροφη. Κολλάω πάλι όμως στην παραγωγισιμότητα

Θέτω $g(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{{u}^{2} + 1}}du$
Η g είναι γνησίως αύξουσα και μηδενίζεται μόνο για χ=0. Από την αρχική σχέση, g(f(o))=0, άρα f(0)=0. Για τον υπολογισμό του f'(0) χρησιμοποιώ τον ορισμό και θέτω f(x)=u. Με DLH f'(0)=1
Για το δεύτερο ερώτημα, έστω χ1<χ2
Από την αρχική σχέση, g(f(x1))<g(f(x2)) και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, f(x1)<f(x2)

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 19:35

Ωραία άσκηση!

Mr.Blonde · 16 Μαΐου 2012 στις 19:38

Μήπως εννοείς χ=2π - u;

Ναι προφανως

Θέτω
$eq.latex$

Η g είναι γνησίως αύξουσα και μηδενίζεται μόνο για χ=0. Από την αρχική σχέση, g(f(o))=0, άρα f(0)=0. Για τον υπολογισμό του f'(0) χρησιμοποιώ τον ορισμό και θέτω f(x)=u. Με DLH f'(0)=1
Για το δεύτερο ερώτημα, έστω χ1<χ2
Από την αρχική σχέση, g(f(x1))<g(f(x2)) και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, f(x1)<f(x2)]

Ναι ακριβως ετσι.Η επισημη λυση ηταν πολυ κουφη με κριτηριο παρεμβολης οποτε δεν αξιζει να την γραψω.Τα επομενα 2 βγαινουν ευκολα εκτος απο το τελευταιο,που ειναι η αγαπημενη μου ασκηση φετος.

antwwwnis · 16 Μαΐου 2012 στις 19:45

Μια εύκολη για εξάσκηση;

Eστω φ(χ)=(ολοκλήρωμα από 0 έως χ)R(t)dt
Όπου R μια κυρτή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Να βρεθεί το όριο της φ στο +οο.

qwerty111 · 16 Μαΐου 2012 στις 19:57

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Μια εύκολη για εξάσκηση;

Eστω φ(χ)=(ολοκλήρωμα από 0 έως χ)R(t)dt
Όπου R μια κυρτή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Να βρεθεί το όριο της φ στο +οο.

Δεν ξέρουμε το R(0) ή το R'(0);

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος