Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Demlogic · 5 Μαΐου 2012 στις 23:03

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Δεν έχει άλλα δεδομένα;

Τσου ^_^ εγω δεν την έβγαλα πάντως. Είδα την λύση ομως
Για Την ακρίβεια έλεγε να δείξεις την F αύξουσα

antwwwnis · 5 Μαΐου 2012 στις 23:09

Όπου F η συνάρτηση της σχέσης;

antwwwnis · 5 Μαΐου 2012 στις 23:19

κοίτα, η F ορίζεται στο (0,+00).
Όμως, αφού βλέπουμε πως ορίζεται η σύνθεση της παραγώγου με την F, τότε συμπεραίνουμε ότι υποχρεωτικά F'(x) ανήκει στο DF, δηλαδή είναι γνησίως αύξουσα.
Αυτό κάνει;

Demlogic · 6 Μαΐου 2012 στις 00:01

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
κοίτα, η F ορίζεται στο (0,+00).
Όμως, αφού βλέπουμε πως ορίζεται η σύνθεση της παραγώγου με την F, τότε συμπεραίνουμε ότι υποχρεωτικά F'(x) ανήκει στο DF, δηλαδή είναι γνησίως αύξουσα.
Αυτό κάνει;

Το βρήκες ατιμουτσικο

"Για να ορίζεται η συνθεση πρέπει F'(x) e DF => F'(x)>0
F αυξ

antwwwnis · 6 Μαΐου 2012 στις 00:08

Δεν ήθελα να χαλάσω το σερί μου απόψε

Πονηρή άσκηση

drosos · 6 Μαΐου 2012 στις 14:22

Για δειτε μια ασκηση που μολις μου ηρθε!

Έστω η παραγωγίσημη συνάρτηση $f: (0,/+oo)\rightarrow R$ για την οποία ισχύουν:

Ορίζετε η $(fof)(x)$
$\int_{1}^{x}f(t)dt\geq e^x-e$
f(2)=e+3

A. Να δείξετε ότι:
i) Η $F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$ έχει μοναδική ρίζα. (10 ΜΟΝΑΔΕΣ)
ii) Η εξίσωση $f'(x)=2x$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα για χ>0. (5 ΜΟΝΑΔΕΣ)
B.
Αν τώρα ισχύει $\int_{1}^x}(\int_{1}^{u}f(t)dt)du=(x+1)ln(x+1)-x-e^x$
i) Να βρείτε τον τύπο της f. (4 ΜΟΝΑΔΕΣ)
ii) Να δείξετε ότι $\frac{x-1}{x+1}-(x-1)e^x<\int_{1}^{x}f(t)dt<\frac{x-1}{2}-(x-1)e$ με x>1 . (6 ΜΟΝΑΔΕΣ)

Demlogic · 6 Μαΐου 2012 στις 17:53

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Για δειτε μια ασκηση που μολις μου ηρθε!

Έστω η παραγωγίσημη συνάρτηση $f: (0,/+oo)\rightarrow R$ για την οποία ισχύουν:

Ορίζετε η $(fof)(x)$

$\int_{1}^{x}f(t)dt\geq e^x-e$

f(2)=e(1-e)+4

A. Να δείξετε ότι:
i) Η $F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$ έχει μοναδική ρίζα. (10 ΜΟΝΑΔΕΣ)
ii) Η εξίσωση $f'(x)=2x$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα για χ>0. (5 ΜΟΝΑΔΕΣ)
B.
Αν τώρα ισχύει $\int_{1}^x}(\int_{1}^{u}f(t)dt)du=(x+1)ln(x+1)-x-e^x$
i) Να βρείτε τον τύπο της f. (4 ΜΟΝΑΔΕΣ)
ii) Να δείξετε ότι $\frac{x-1}{x+1}-(x-1)e^x<\int_{1}^{x}f(t)dt<\frac{x-1}{2}-(x-1)e$ με x>1 . (6 ΜΟΝΑΔΕΣ)

Υπάρχει περίπτωση να έχει γίνει κανά λαθακι στο δεύτερο ερώτημα; Το πάω για ROLLE στο 1,2 αλλα δε βγαίνουν ακριβώς ίδιοι οι αριθμοι

drosos · 6 Μαΐου 2012 στις 19:55

Ναι διορθωθηκε

Demlogic · 6 Μαΐου 2012 στις 23:15

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Για δειτε μια ασκηση που μολις μου ηρθε!

Έστω η παραγωγίσημη συνάρτηση $f: (0,/+oo)\rightarrow R$ για την οποία ισχύουν:

Ορίζετε η $(fof)(x)$

$\int_{1}^{x}f(t)dt\geq e^x-e$

f(2)=e+3

A. Να δείξετε ότι:
i) Η $F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$ έχει μοναδική ρίζα. (10 ΜΟΝΑΔΕΣ)
ii) Η εξίσωση $f'(x)=2x$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα για χ>0. (5 ΜΟΝΑΔΕΣ)
B.
Αν τώρα ισχύει $\int_{1}^x}(\int_{1}^{u}f(t)dt)du=(x+1)ln(x+1)-x-e^x$
i) Να βρείτε τον τύπο της f. (4 ΜΟΝΑΔΕΣ)
ii) Να δείξετε ότι $\frac{x-1}{x+1}-(x-1)e^x<\int_{1}^{x}f(t)dt<\frac{x-1}{2}-(x-1)e$ με x>1 . (6 ΜΟΝΑΔΕΣ)

A)i για να ορίζεται η συνθεση πρέπει
XeDf
F(x)eDf=F(x)>0
Παραγωγιζοντας την συνάρτηση βγαίνει θετική η παραγωγός άρα F μονοτονη προφανής λύση το 1
ii) ένα ROLLE για την παραγουσα στο [1,2] όπου την τιμή στο 1 θα την πάρω
Απο φερματ μέσω της σχέσης ανισότητας
Β) i)παραγώγιση δυο φορές και έτοιμος
ii) ΘΜΤ στο 1,χ και μετα ανισότητα ξέρω και μονοτονία ετοιμος

Σωστά;

drosos · 6 Μαΐου 2012 στις 23:21

Ναι!! Ευκολουτσικη ητανε

antwwwnis · 6 Μαΐου 2012 στις 23:22

Για να μας φαίνεται αυτό ευκολο, μάλλον είμαστε σε καλό επίπεδο.

drosos · 6 Μαΐου 2012 στις 23:30

Δεν νομιζω οτι ειχε κατι δυσκολο εκτος απο το πρωτο ερωτημα. Βασικα μονο για αυτο την εφτιαξα

(Βλεποντας μια συζητηση για μια ασκηση απο πανω)

antwwwnis · 6 Μαΐου 2012 στις 23:35

καλά εντάξει, είμαστε σε χάλια επίπεδο :p

drosos · 6 Μαΐου 2012 στις 23:37

Καλα δεν ειπα αυτο μην αλλαζεις τα λογια μου

Απλως δεν νομιζω οτι επειδη λυσαμε αυτην την ασκηση φαινεται οτι ειμαστε σε υψηλο επιπεδο! Αμα λυσουμε το β ερωτημα θεμα Δ 2007 πανελληνιων τοτε πεταμε!

stelios1994-4 · 6 Μαΐου 2012 στις 23:58

ΆΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση $f$ με συνεχή ${f}^{''}$ στο $\left[0,e \right]$ και $f\left(0 \right)=0$

Να δείξετε ότι: $\int_{0}^{e}x{f}^{''}\left(x \right)dx=e{f}^{'}\left(e \right)-f\left(e \right)$
Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \left(0,e \right)$ τέτοιο ώστε $\int_{0}^{e}x{f}^{''}\left(x \right)dx=e\left({}^{'}\left(e \right)-{f}^{'}\left(\xi \right) \right)$
Να δείξετε ότι υπάρχει ${\xi }_{1}\in \left(0,e \right)$ τέτοιο ώστε $\int_{0}^{e}x{f}^{''}\left(x \right)dx=e{f}^{''}\left( {\xi }_{1}\right)\left(e-\xi \right)$ όπου $\xi \in \left(0,e \right)$
Να δείξετε ότι υπάρχει ${\xi }_{2}\in \left(0,e \right)$ τέτοιο ώστε $\int_{0}^{e}x{f}^{''}\left(x \right)dx=e{\xi }_{2}{f}^{''}\left({\xi }_{2} \right)$

Οδηγίες λύσεως!!!
Υπάρχουν 3 τρόποι να λυθεί η άσκηση.

Λύνουμε τα ερωτήματα που είναι μέσα στα σπόιλερ με τη σειρά. Εύκολος τρόπος.
Λύνουμε τα ερωτήματα που είναι στο 2ο και 3ο σπόιλερ χωρίς να δουμε το 1ο. Καλός τρόπος
Λύνουμε κατευθείαν το ερώτημα που είναι στο 3ο σπόιλερ χωρίς να δούμε τα 2 πρώτα. Ωραίος τρόπος.

Το τέταρτο ερώτημα είναι δωράκι.

antwwwnis · 7 Μαΐου 2012 στις 11:12

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Καλα δεν ειπα αυτο μην αλλαζεις τα λογια μου Απλως δεν νομιζω οτι επειδη λυσαμε αυτην την ασκηση φαινεται οτι ειμαστε σε υψηλο επιπεδο! Αμα λυσουμε το β ερωτημα θεμα Δ 2007 πανελληνιων τοτε πεταμε!

Εντάξει αυτό παλευόταν. Το όριο ήταν πιο τρομακτικό, στο δ!

Mr.Blonde · 8 Μαΐου 2012 στις 20:25

Παρτε μια ασκηση που μου φανηκε αρκετα δυσκολη.
Δινεται συναρτηση $f:R\rightarrow R$ συνεχης για την οποια ισχυει $\int_{0}^{f(x)}\frac{1}{\sqrt{{u}^{2}+1}}du=x$
Να δειξετε οτι f'(0)=f(0)+1
Nα μελετηθει η f ως προς τη μονοτονια και να βρεθει το προσημο της.
Αν επιπλεον η f ειναι παραγωγισιμη στο R
Nα αποδειξετε οτι η συναρτηση g(x)=f''(x)-f(x) ειναι σταθερη
Να βρειτε τον τυπο της f.
Nα αποδειξετε οτι για οποιαδηποτε 0<α<β ,υπαρχει ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε
$\xi f'(\xi )+f(\xi )>\frac{2}{\beta -\alpha }\int_{\alpha }^{\beta }f(u)du$

christina123 · 9 Μαΐου 2012 στις 13:19

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Εντάξει αυτό παλευόταν. Το όριο ήταν πιο τρομακτικό, στο δ!

αα αυτο το θεμα με ειχε παιδεψει τοσο πολυ οταν το ελυνα.θυμαμαι πως καταφερα να λυσω το α και δ ερωτημα ολοκληρα και τωρα ή το μισο β ή το μισο γ.δε θυμαμαι...κατι τετοια να βαλουνε και καηκαμε...

stelios1994-4 · 15 Μαΐου 2012 στις 12:54

Επειδή πολύ αοθ έχει πέσει τελευταία, βάζω άλλη μία!
Δίνεται συνάρτηση $f:\left[1,3 \right]\rightarrow R$ με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν $f(1)=f(3)=4$ και $\int_{1}^{3}f(x)dx<4$
Να αποδείξετε ότι :

$\int_{1}^{3}(f(x)-x)dx<0$
Η εξίσωση $f(x)=x$ έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο διάστημα (1,3)
Υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (1,3)$ τέτοιο ώστε ${f}^{'}(\xi )=\frac{2010}{2011}$

StratosRIP · 15 Μαΐου 2012 στις 13:07

Παρτε ενα ολοκληρωμα που βγαινει παραξενα.. Ι= ολοκληρωμα(με ορια ολοκληρωσης π, 3π)2/ημχ+συνχ+2 dx + ολοκληρωμα(με ακρα 0,2π) ημχ+συνχ/ημχ+συνχ+2 dx

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος