Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lowbaper92 · 5 Μαΐου 2010 στις 15:34

Δυσκολεύομαι να διαβάσω αυτά που γράφει ο stavros_ribo απο πάνω, αλλά νομίζω βγαίνει πιο απλά αν στον τύπο της εφαπτομένης γράψουμε την $f'(x)$ συναρτήσει της $f(x)$ που βρήκαμε στο (β) ερώτημα.

kostaspotter · 7 Μαΐου 2010 στις 16:31

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:
δεν θυμαται ο ανθρωπος.
Ισχυει παντως οτι, για αντιστρεψιμη $f$ και σε σημειο $y$ οπου η αντιστροφη παραγωγιζεται, $(f^{-1})'(y)=1/f'(f^{-1}(y))$ .

Η αποδειξη στην ευκολη περιπτωση ακολουθει το σκεπτικο $\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(z)}{y-z}=\frac{1}{\frac{f(x)-f(t)}{x-t}}$ για
$f^{-1}(y)=x, f^{-1}(z)=t$ .

ps. ρε παιδες λατεξ ειναι το ελαστικο υλικο με το οποιο κατασκευαζονται εξαρτηματα που κολλουν στο σωμα ως προστατευτικο (πχ... χειρουργικα γαντια). Ο κοσμος το αποκαλει το δικο μας "λατεκ"/"λεητεκ".

Δλδ αν το έλυνα έτσι όπως προανάφερα στις πανελλήνιες σωστό είναι; :s
Ευχαριστώ πολύ για την παρέμβαση!

kostaspotter · 8 Μαΐου 2010 στις 18:31

Για δείτε ακόμα μια καλή!Μου είχα κολλήσει στο τελευταίο ερώτημα αλλά οκ μου βγήκε!

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g: R -> R με $g(\chi )=({\chi }^{2}-1){e}^{{\chi }^{2}+\chi+1}$
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει:
${e}^{\chi+1}-1\leq (\chi+1)f(\chi)\leq$ εφ $(\chi+1)$ για κάθε χεR και $\lim_{\chi\rightarrow2}\frac{f(\chi)}{\chi-2}=2$ τότε:

α) Να βρεθεί ο αριθμός f(2)
β) Να βρεθεί ο αριθμός f(-1)
γ) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με την γραφική παράσταση της συνάρτησης g ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη Χοε(-1,2)
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $j$ τέτοιο ώστε να ισχύει:
$f(\chi)+({j}^{2}-1){e}^{{j}^{2}+j+1}\leq f(j)+({\chi}^{2}-1){e}^{{\chi }^{2}+\chi+1}$

lowbaper92 · 8 Μαΐου 2010 στις 19:08

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
Για δείτε ακόμα μια καλή!Μου είχα κολλήσει στο τελευταίο ερώτημα αλλά οκ μου βγήκε!

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g: R -> R με $g(\chi )=({\chi }^{2}-1){e}^{{\chi }^{2}+\chi+1}$
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει:
${e}^{\chi+1}-1\leq (\chi+1)f(\chi)\leq$ εφ $(\chi+1)$ για κάθε χεR και $\lim_{\chi\rightarrow2}\frac{f(\chi)}{\chi-2}=2$ τότε:

α) Να βρεθεί ο αριθμός f(2)
β) Να βρεθεί ο αριθμός f(-1)
γ) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με την γραφική παράσταση της συνάρτησης g ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη Χοε(-1,2)
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $j$ τέτοιο ώστε να ισχύει:
$f(\chi)+({j}^{2}-1){e}^{{j}^{2}+j+1}\leq f(j)+({\chi}^{2}-1){e}^{{\chi }^{2}+\chi+1}$

α) $f(2)=0$
β) $f(-1)=1$
γ) Bolzano για την $h(x)=f(x)-g(x)$ στο [-1,2]
δ) Στο [-1,2] που θεωρήσαμε την h, αυτή είναι συνεχής άρα έχει μέγιστη τιμή. Άρα υπάρχει jε[-1,2] τέτοιο ώστε $h\left(x \right)\leq h\left(j \right)$ απ' όπου βγαίνει το ζητούμενο.

kostaspotter · 9 Μαΐου 2010 στις 11:06

Μπράβο!!!

Καλή άσκηση έτσι;

kostaspotter · 10 Μαΐου 2010 στις 08:00

Δίνεται η συνάρτηση f με $f(x)=lnx+x-1 , x\succ 0$
A) Να αποδείξετε ότι:
α) Η f αντιστρέφεται
β) Η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική λύση
Β) Για τον μιγαδικό αριθμό z με $z\neq 4+3i$ ισχύει $lnIz-4-3iI=1-Iz-4-3iI$ (Τα Ι που έβαλα είναι ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ γτ δεν ήξερα πως αλλιώς να την συντάξω στο latex...XD)
α) Να βρείτε το σύνολο των εικόνων του z.
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου $Iz-\tilde{z}I$
γ) Να αποδείξετε ότι $9\leq Iz+4+3iI\leq 11$

Δεν έχω καταφέρει να λύσω το γ ερώτημα...Αν και νομίζω πως πάει με:

τριγωνική ανισσότητα

:s

coheNakatos · 10 Μαΐου 2010 στις 10:33

Για το γ) To |z+4+3i| γραφεται : |2(4+3i)+z-4-3i| ...

lowbaper92 · 10 Μαΐου 2010 στις 11:04

Εγω προτιμώ να τις αποδεικνύω αυτές τις ανισότητες γεωμετρικά..Στη συγκεκριμένη περίπτωση το $\left|z+4+3i \right|=\left|z-\left(-4-3i \right) \right|$ εκφράζει την απόσταση των εικόνων του $z$ από το $K(-4,-3)$ οπότε με ένα σχηματακι το δείχνεις εύκολα..

kostaspotter · 10 Μαΐου 2010 στις 11:24

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Για το γ) To |z+4+3i| γραφεται : |2(4+3i)+z-4-3i| ...

Δλδ για την τριγωνομετρική ανισσότητα θα έχω τους μιγαδικούς z1=2(4+3i) kai z2=z-4-3i έτσι;;

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Εγω προτιμώ να τις αποδεικνύω αυτές τις ανισότητες γεωμετρικά..Στη συγκεκριμένη περίπτωση το $\left|z+4+3i \right|=\left|z-\left(-4-3i \right) \right|$ εκφράζει την απόσταση των εικόνων του $z$ από το $K(-4,-3)$ οπότε με ένα σχηματακι το δείχνεις εύκολα..

Ωραία και αυτή η λύση!!Θα την έχω στα υπόψην!

coheNakatos · 10 Μαΐου 2010 στις 11:35

Εγω ειμαι ψιλο τσακωμενος με την γεωμετρια γιαυτο τριγωνικη (Ναι αυτο που ειπες παραπανω κανεις το χωριζεις σε 2 μιγαδικους)

lowbaper92 · 10 Μαΐου 2010 στις 12:19

Εγω είμαι τσακωμένος και με τη Γεωμετρία και με την τριγωνική..Αλλα στις συγκεκριμένες ασκήσεις μιγαδικών είτε σου λένε να βρεις το |z|max είτε να δείξεις μια ανίσωση σαν αυτή είναι , η διαδικασία είναι ίδια, αν το κάνεις με σχήμα..και τουλαχιστον εμένα μου φαίνεται πιο εύκολο..Εξαλλου η τριγωνική δεν μπορει να χρησημοποιηθεί παντού καθώς εξασφαλίζει μόνο φράγματα και όχι μέγιστες-ελάχιστες τιμές, οπότε καλό είναι να μπορούμε να το χειριστούμε κι έτσι.

kostaspotter · 10 Μαΐου 2010 στις 18:32

Παιδιά σήμερα έγραφα ένα διαγώνισμα και μας έβαλε αυτό το 2ο θέμα που κατά τη γνώμη μου είναι πολύ καλό!

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $z={e}^{x}+(x-1)i$ , $x$ ε $R$ .
Α) Να δείξετε ότι $Re(z)\succ Im(z)$ για κάθε $x$ ε $R$ .
Β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον $Xo$ ε $(0,1)$ τέτοιος ώστε ο αριθμός $w={z}^{2}+z+2i$ να είναι πραγματικός.
Γ) Να βρείτε το μιγαδικό $z$ του οποίου το μέτρο να γίνεται ελάχιστο, καθώς και το ελάχιστο μέτρο.

CallOfDuty4 · 11 Μαΐου 2010 στις 13:21

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
α) Να βρείτε το σύνολο των εικόνων του z.

Μπορεις να μου εξηγησεις πωε το εννοεις? Που ανηκει ο z?

kostaspotter · 11 Μαΐου 2010 στις 15:14

Αρχική Δημοσίευση από CallOfDuty4:
Μπορεις να μου εξηγησεις πωε το εννοεις? Που ανηκει ο z?

Ναι!! Τον γεωμετρικό τόπο των z!!

lowbaper92 · 11 Μαΐου 2010 στις 15:17

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
(Τα Ι που έβαλα είναι ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ γτ δεν ήξερα πως αλλιώς να την συντάξω στο latex...XD)

Ctrl+(το πληκτρο κάτω απο το backspace)
Δεν χρειάζεται όλα τα συμβολα να είναι απο τις επιλογές του λατεξ !
ΥΓ. Την τελευταία σου άσκηση την έψω ξανασυνατήσει 2 φορές μες τη χρονιά οπότε την αφήνω για κανέναν άλλο.

kostaspotter · 11 Μαΐου 2010 στις 15:36

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Ctrl+(το πληκτρο κάτω απο το backspace)
Δεν χρειάζεται όλα τα συμβολα να είναι απο τις επιλογές του λατεξ !
ΥΓ. Την τελευταία σου άσκηση την έψω ξανασυνατήσει 2 φορές μες τη χρονιά οπότε την αφήνω για κανέναν άλλο.

Ναι το σκέφτηκα προχθές να βάζω έτσι τα μέτρα!!Ευχαριστώ πάντως!!!
Μήπως στην τελευταία 'ασκηση έχεις αποτελέσματα να συγκρίνουμε γτ δεν έχω λύσεις;;Αν τα βρεισ καλώς...Αλλιώς δεν πηράζει

forakos · 13 Μαΐου 2010 στις 00:47

Πολύ ενδιαφέροντα θέματα βρηκα στο site ενος φροντηστιριου "Σαββαιδη-Μανωλαράκη"
https://www.savaidis.gr/askhsh-lysh.html

summer life · 18 Μαΐου 2010 στις 18:15

ξερω σοσ δεν υπαρχουνε και ειδικα σε ενα τοσο ευκολο μαθημα οπως τα μαθηματικα :confused:

αλλα μη πως εχετε να προτεινετε τιποτα για αυριο??Ελα μικρη ειναι η υλη :confused:

ολο και κατι θα πετυχουμε. Εγω πιστευω ολοκληρωμα μεσα σε ολοκληρωμα πανω στο οποιο θα ζητανε μονοτονια ακροτατα ευρεση τυπου της συναρτησης.....μιγαδικους θα ηθελα στο δευτερο θεμα .

Rania. · 18 Μαΐου 2010 στις 18:20

Τι μικρη υλη καλε;

Αρκετα ογκωδης θα ελεγα.

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
Παιδιά σήμερα έγραφα ένα διαγώνισμα και μας έβαλε αυτό το 2ο θέμα που κατά τη γνώμη μου είναι πολύ καλό!

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $z={e}^{x}+(x-1)i$ , $x$ ε $R$ .
Α) Να δείξετε ότι $Re(z)\succ Im(z)$ για κάθε $x$ ε $R$ .
Β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον $Xo$ ε $(0,1)$ τέτοιος ώστε ο αριθμός $w={z}^{2}+z+2i$ να είναι πραγματικός.
Γ) Να βρείτε το μιγαδικό $z$ του οποίου το μέτρο να γίνεται ελάχιστο, καθώς και το ελάχιστο μέτρο.

Α)Θεωρεις τη συναρτηση ε^χ-χ+1 και τη βγαζεις >0
Β)"ανοιγεις" τον μιγαδικο w και θεωρεις τη συναρτηση g(x)=Im(w) και με μπολτζανο βγαζεις μια τουλαχιστον ριζα.
Γ)Θεωρεις ως συναρτηση h το ριζα(α^2+β^2) οπου α,β το re(z) και το im(z)
Βρισκεις το ελαχιστο της συναρτησης, και αυτο το χ το βαζεις στον z, αρα εχεις τον μικροτερο.

kostaspotter · 18 Μαΐου 2010 στις 18:37

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Τι μικρη υλη καλε; Αρκετα ογκωδης θα ελεγα.

Α)Θεωρεις τη συναρτηση ε^χ-χ+1 και τη βγαζεις >0
Β)"ανοιγεις" τον μιγαδικο w και θεωρεις τη συναρτηση g(x)=Im(w) και με μπολτζανο βγαζεις μια τουλαχιστον ριζα.
Γ)Θεωρεις ως συναρτηση h το ριζα(α^2+β^2) οπου α,β το re(z) και το im(z)
Βρισκεις το ελαχιστο της συναρτησης, και αυτο το χ το βαζεις στον z, αρα εχεις τον μικροτερο.

Θα συμφωνήσω μαζί σου σε ό,τι είπες!!!Και ειδικά στο πρώτο (Τι μικρη υλη καλε;

Αρκετα ογκωδης θα ελεγα.) XD

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος