Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 15-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:R->R και μιγαδικός αριθμός $zneq frac{1}{2}$ για τους οποίους ισχύουν:
${f}^{2}(x)+{eta mu }^{2}x=2xf(x)$ για κάθε xεR και:
$lim_{xrightarrow 0}frac{f(x)}{x}=left|frac{z-2}{2z-1} right|$

α) Να δείξετε ότι |z|=1

β) Να αποδείξετε οτι ο αριθμός $w=frac{{(z+i)}^{10}}{{z}^{10}-1}$

γ) Να βρέιτε το όριο $lim_{xrightarrow 0}frac{f(eta mu x)}{{x}^{2}-x}$

δ) Να αποδείξετε οτι η εξίσωση:
$left(5+|z+3-4i| right)x={x}^{3}+10$
έχει μία τουλαχιστον ρίζα στο [1,2].

a) Στην 1η σχεση διαιρωντας το ζητουμενο οριο L βρισκουμε οτι L=1 αρα $|2z-1|=|z-2| \Leftrightarrow |z|=1$
b)Με την κλασσικη σχεση και αντικατασταση $\overline{z}=1/z$
g) Για $x=\eta \mu x$ και διαιρώντας με ${x}^{2}-x$ βρισκεις το οριο
δ) Με μεγιστη και ελαχιστη αποσταση κυκλου και του σημειου (-3,4) και Bolzano

lowbaper92 · 15-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
a) Στην 1η σχεση διαιρωντας το ζητουμενο οριο L βρισκουμε οτι L=1 αρα $|2z-1|=|z-2| Leftrightarrow |z|=1$
b)...
g) Για $x=eta mu x$ και διαιρώντας με ${x}^{2}-x$ βρισκεις το οριο
δ) Με μεγιστη και ελαχιστη αποσταση κυκλου και του σημειου (-3,4) και Bolzano

γ) Αν το βρήκες -1 εισαι οκ. Β' τρόπος: πολλαπλασιαζεις και διαιρείς το όριο που ψαχνεις με ημx.
Το συμπλήρωσα το β

lowbaper92 · 17-01-10

Η 1η ειναι σχετικά απλή, η 2η όμως δεν ειναι τόσο απλή όσο φαίνεται

1)

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R, με $f(x)\neq 0$ για κάθε xεR, για την οποια ισχύει:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(x)+\eta \mu x}{\sqrt{x+4}-2}=8$
και
${f}^{3}(1)+f(2)=f(1)\left(f(1)f(2)+1 \right)$

α) Να βρείτε το σημείο τομης της ${C}_{f}$ με τον αξονα y'y.

β) Να αποδείξεται οτι η ${C}_{f}$ έχει μια τουλαχιστον οριζόντια εφαπτομένη.
-----------------------------------------
2)
Η συνάρτηση f:R->R ικανοποιεί τη σχέση f(x)f(y)=f(x+y) για κάθε x,yεR
Η γραφική παρασταση της f έχει με την ευθεία y=1 ένα μόνο κοινό σημείο.
Ακόμα ισχύει $f(0)\neq 0$
Να αποδείξετε ότι:

i) Η γραφική παρασταση της f δεν τεμνει τον άξονα x'x.

ii) Η συνάρτηση f αντιστρέφεται.

iii) Για κάθε x,yεf(R) ισχύει ότι και $x\cdot y\epsilon f(R)$ και ${f}^{-1}(x\cdot y)={f}^{-1}(x)+{f}^{-1}(y)$ .

coheNakatos · 18-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Η 1η ειναι σχετικά απλή, η 2η όμως δεν ειναι τόσο απλή όσο φαίνεται

1)

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R, με $f(x)neq 0$ για κάθε xεR, για την οποια ισχύει:
$lim_{xrightarrow 0}frac{xf(x)+eta mu x}{sqrt{x+4}-2}=8$
και
${f}^{3}(1)+f(2)=f(1)left(f(1)f(2)+1 right)$

α) Να βρείτε το σημείο τομης της ${C}_{f}$ με τον αξονα y'y.

β) Να αποδείξεται οτι η ${C}_{f}$ έχει μια τουλαχιστον οριζόντια εφαπτομένη.
-----------------------------------------
2)
Η συνάρτηση f:R->R ικανοποιεί τη σχέση f(x)f(y)=f(x+y) για κάθε x,yεR
Η γραφική παρασταση της f έχει με την ευθεία y=1 ένα μόνο κοινό σημείο.
Ακόμα ισχύει $f(0)neq 0$
Να αποδείξετε ότι:

i) Η γραφική παρασταση της f δεν τεμνει τον άξονα x'x.

ii) Η συνάρτηση f αντιστρέφεται.

iii) Για κάθε x,yεf(R) ισχύει ότι και $xcdot yepsilon f(R)$ και ${f}^{-1}(xcdot y)={f}^{-1}(x)+{f}^{-1}(y)$ .

1)α)Απο το οριο f(0)=1 ,αρα Μ(0,1)
β)Με παραγοντοποιηση βγαινει f(1)=1 ή f(1)=f(2)
Αν ισχυει το 1ο Rolle στο [0,1]
Αν ισχυει το 2ο Rolle στο [1,2]

Zorc · 18-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Η 1η ειναι σχετικά απλή, η 2η όμως δεν ειναι τόσο απλή όσο φαίνεται

1)

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R, με $f(x)neq 0$ για κάθε xεR, για την οποια ισχύει:
$lim_{xrightarrow 0}frac{xf(x)+eta mu x}{sqrt{x+4}-2}=8$
και
${f}^{3}(1)+f(2)=f(1)left(f(1)f(2)+1 right)$

α) Να βρείτε το σημείο τομης της ${C}_{f}$ με τον αξονα y'y.

β) Να αποδείξεται οτι η ${C}_{f}$ έχει μια τουλαχιστον οριζόντια εφαπτομένη.
-----------------------------------------
2)
Η συνάρτηση f:R->R ικανοποιεί τη σχέση f(x)f(y)=f(x+y) για κάθε x,yεR
Η γραφική παρασταση της f έχει με την ευθεία y=1 ένα μόνο κοινό σημείο.
Ακόμα ισχύει $f(0)neq 0$
Να αποδείξετε ότι:

i) Η γραφική παρασταση της f δεν τεμνει τον άξονα x'x.

ii) Η συνάρτηση f αντιστρέφεται.

iii) Για κάθε x,yεf(R) ισχύει ότι και $xcdot yepsilon f(R)$ και ${f}^{-1}(xcdot y)={f}^{-1}(x)+{f}^{-1}(y)$ .

ι)Ε λοιπον δειχνουμε οτι f(x) διαφορη του 0 για καθε x.Με ατοπο μπορουμε να θεσουμε x=x και y=a-x και βγαινει.
ιι)Εδω για x=0 και y=0 βγαινει f(0)=1 που ειναι μοναδικο αρα μετα βγαινει. Λεμε ... f(x1)=f(x2)=>...f(x1-x2)=0=>...x1=x2
iii)Και αυτο ειναι κλασικο...δεν τα κανω γτ δεν προλαβαινω!!!

lowbaper92 · 18-01-10

Αρχική Δημοσίευση από Zorc:
ι)Ε λοιπον δειχνουμε οτι f(x) διαφορη του 0 για καθε x.Με ατοπο μπορουμε να θεσουμε x=x και y=a-x και βγαινει.
ιι)Εδω για x=0 και y=0 βγαινει f(0)=1 που ειναι μοναδικο αρα μετα βγαινει. Λεμε ... f(x1)=f(x2)=>...f(x1-x2)=0=>...x1=x2
iii)Και αυτο ειναι κλασικο...δεν τα κανω γτ δεν προλαβαινω!!!

Όταν έχεις χρόνο ανεβασε αν μπορείς αναλυτικές απαντησεις γιατι μου τα παρουσιαζεις λίγο αποτομα και δεν είμαι και τόσο αισιοδοξος για τις απαντήσεις σου

Κι αν ξέρεις λατεξ ακομα καλυτερα

coheNakatos · 18-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Η 1η ειναι σχετικά απλή, η 2η όμως δεν ειναι τόσο απλή όσο φαίνεται

1)

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R, με $f(x)neq 0$ για κάθε xεR, για την οποια ισχύει:
$lim_{xrightarrow 0}frac{xf(x)+eta mu x}{sqrt{x+4}-2}=8$
και
${f}^{3}(1)+f(2)=f(1)left(f(1)f(2)+1 right)$

α) Να βρείτε το σημείο τομης της ${C}_{f}$ με τον αξονα y'y.

β) Να αποδείξεται οτι η ${C}_{f}$ έχει μια τουλαχιστον οριζόντια εφαπτομένη.
-----------------------------------------
2)
Η συνάρτηση f:R->R ικανοποιεί τη σχέση f(x)f(y)=f(x+y) για κάθε x,yεR
Η γραφική παρασταση της f έχει με την ευθεία y=1 ένα μόνο κοινό σημείο.
Ακόμα ισχύει $f(0)neq 0$
Να αποδείξετε ότι:

i) Η γραφική παρασταση της f δεν τεμνει τον άξονα x'x.

ii) Η συνάρτηση f αντιστρέφεται.

iii) Για κάθε x,yεf(R) ισχύει ότι και $xcdot yepsilon f(R)$ και ${f}^{-1}(xcdot y)={f}^{-1}(x)+{f}^{-1}(y)$ .

i) Για $y=-x : f(-x)f(x)=f(0)=1 ..$
ii) Εστω οτι υπαρχουν α,β με $f(a)=f(b)$ αρα αφου $a\neq b$ , $a=b+k$
$f(a)=f(b+k)=f(b)f(k)=f(b)$ ,αρα $f(k)=1 =f(0)$ ,Μοναδικο αρα $k=0$ αρα $a=b$

Για το 3ο :Για $y=x/2: f(x)={f(x/2)}^{2}>0$ ( αφου $f(x)\neq 0$ ) αρα $f(Df)=(0,+oo)$ αρα $x,y\in (0,+oo)$ Και απο εδω $x\dot y \in (0,+oo)=f(Df)$
Θελω να δω την δικια σου λυση για το 2ο κομματι και μενα θα σου πω και εγω τι σκεφτηκα

ΦΩΤΗΣ32033 · 21-01-10

παιδια μπορει καποιος να μου λυσει το οριο (1+κ/χ)^χt οπου το χ τινει στο απειρο. ευχαριστω προκαταβολικα..

lowbaper92 · 21-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
i) Για $y=-x : f(-x)f(x)=f(0)=1 ..$
ii) Εστω οτι υπαρχουν α,β με $f(a)=f(b)$ αρα αφου $aneq b$ , $a=b+k$
$f(a)=f(b+k)=f(b)f(k)=f(b)$ ,αρα $f(k)=1 =f(0)$ ,Μοναδικο αρα $k=0$ αρα $a=b$

Για το 3ο :Για $y=x/2: f(x)={f(x/2)}^{2}>0$ ( αφου $f(x)neq 0$ ) αρα $f(Df)=(0,+oo)$ αρα $x,yin (0,+oo)$ Και απο εδω $xdot y in (0,+oo)=f(Df)$
Θελω να δω την δικια σου λυση για το 2ο κομματι και μενα θα σου πω και εγω τι σκεφτηκα

Ωραία λύση για το β ερώτητα. Υπάρχει τρόπος να πας και με τον ορισμό. Θα το αφήσω λίγο να το σκεφτείς.

Για το γ απλά θετεις όπου x,y το ${f}^{-1}(x),{f}^{-1}(y)$ αντίστοιχα.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από ΦΩΤΗΣ:
παιδια μπορει καποιος να μου λυσει το οριο (1+κ/χ)^χt οπου το χ τινει στο απειρο. ευχαριστω προκαταβολικα..

Οι απορίες ειναι σε αλλο thread. Πάλι μπερδευτηκες.

-----------------------------------------
ΑΣΚΗΣΗ (Θέλει προσοχη στη δικαιολογηση)

Έστω Π(x) πολυώνυμο. Ισχύει:
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\Pi (x)}{x-1}=3$
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\Pi (x)}{x-2}=1$

i) Να δειξετε οτι υπαρχουν x1,x2 κοντα στο 1 τετοια ώστε $\Pi ({x}_{1})\cdot \Pi ({x}_{2})<0$

ii) Να δειξετε οτι Π(1)=Π(2)

iii) Να δειξετε οτι η εξισωση $\frac{\Pi (x)}{x-1}+\frac{\Pi (x)}{x-2}=x$ έχει μια τουλαχιστον ρίζα στο (1,2)

iv) Να δειξετε οτι ο βαθμός του Π(x) ειναι $\nu \geq 3$

v) Να δειξετε οτι υπαρχει ${x}_{0}\in (1,2): \Pi ({x}_{0})=0$

lowbaper92 · 23-01-10

Για να ξαναζωντανέψει λίγο το topic βαζω ενα διαγωνισματακι,όχι πολύ δύσκολο βεβαια.

Θέμα 2ο

$f(x)=\ln \left(2-\frac{{x}^{2}}{2} \right)+2010$

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμου Α και στη συνεχεια να αποδείξετε ότι
$2x\cdot f'(x)+\left({x}^{2}-4 \right)\cdot f''(x)=2$ για καθε xεΑ.

β) Να βρείτε σε ποιο σημειο της Cf η εφαπτομενη ειναι παραλληλη στον x'x.

γ) Να αποδείξετε οτι η Cf δεν εφαπτεται στο x'x.

Θέμα 3ο

Έστω f συνεχής στο [1,2] και παραγωγισιμη στο (1,2) με $f'(x)\neq 0$ για καθε xε(1,2). Να αποδείξετε ότι:

α) Η εξίσωση f(x)=0 εχει το πολύ μια λύση στο (1,2)
β) $f(1)\neq f(2)$
γ) Υπαρχει x0ε(1,2) τετοιος ωστε $2f({x}_{0})=f(1)+f(2)$
δ) Υπαρχουν ξ1,ξ2 τετοιοι σωτε $f'({\xi }_{1})\cdot f'({\xi }_{2})>0$

Θέμα 4ο

Δίνεται η συναρτηση f ορισμένη στο (0,+οο) με f(x)>0 για την οποια ισχύουν:
${x}^{2}\cdot f'(x)+f(x)=0$ για καθε x>0 και f'(1)=-e.

α) Να αποδείξετε ότι ο τυπος της f είναι $f(x)={e}^{\frac{1}{x}},x>0$

β) Ένα σημειο Μ(x,y) κινειται στη γραφικη παρασταση της f ετσι ωστε η προβολή του Α,στον αξονα x'x να απομακρυνεται απο την αρχη Ο με ταχήτητα υ=2 cm/s.
Αν Β η προβολή του Μ στον y'y και Ε το εμβαδον του ορθογωνιου ΟΑΜΒ,να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Ε τη χρονική στιγμή ${t}_{0}$ , που ειναι x=(OA)=1cm

γ) Θεωρουμε τη συναρτηση $g(x)=f(x)-\frac{e}{x},x>0$
i) Να μελετησετε τη μονοτονία της g.
ii) Να αποδείξετε ότι $g(e)>g(\sqrt{e})>0$
iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x)=\frac{1}{2}$ έχει στο (1,+οο) ακριβώς μία λύση.

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Ανοιγω το θεμα για να βαλουν οσοι θελουν τα διαγωνισματα που εχουν γραψει ως τωρα ευκολα ή δυσκολα ειναι εξασκηση για τους υπολοιπους

Ευχαριστω

και ξεκιναω με το δικο μου : βαζω τα 2 θεματα

Θεμα 1ο
g:R->R συνεχης και γν.αυξουσα

και

,

Nδο
1)η g αντιστρεφεται και

2)Αν

και

να βρεθουν η μεγιστη και η ελαχιστη τιμη του

3)Θεωρουμε τη συναρτηση :

, δειξτε οτι η

εχει μια τουλαχιστον ριζα στο

4)Νδο η γραφικη παρασταση την

εχει ενα μονο κοινο σημειο με την ευθεια

στο

Θεμα 2ο
Εστω

,

με

,

με

και

για τους οποιους ισχυει :

Eπισης θεωρουμε συναρτηση f με πεδιο ορισμου και συνολο τιμων το

συνεχης και γν.αυξουσα

Δειξτε οτι :
α)

b) Η εξισωση :

εχει ακριβως 2 ριζες στο

γ)

Θα σας παρακαλουσα να μην βαζετε τις λυσεις χωρις spoiler για οσους δεν ξερουν "Στην αρχη γραφεις [.spoiler.] και στο τελος του κειμενου [/spoiler.](χωρις τις τελιες)

Είδα ότι οι ασκησεις που έβαλε ο Βαγγέλης στην αρχη-αρχη εχουν μείνει αναπαντητες οποτε:

1)

α)

Με τον ορισμό εστω x1,x2εR με $g({x}_{1})=g({x}_{2})\Rightarrow g(g({x}_{1}))=g(g({x}_{2}))\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow {x}_{1}={x}_{2}$
Θέτωντας όπου x το ${g}^{-1}(x)$ προκύπτει το ζητούμενο.

β)

Ο ΓΤ των εικόνων ειναι κύκλος με Κ(0,-4) και ρ=2.
Το |z-3| ειναι η αποσταση των εικονων του z απο το Α(3,0)
Βγαίνει ${|z-3|}_{max}=7$ και ${|z-3|}_{min}=3$

γ) Τελικά $f(x)=|z-3|\cdot x+g(x)-10$
$f(1)=|z-3|-7\leq 0$ και $f(2)=2\left(|z-3|-3 \right)\geq 0$
Άρα $f(1)\cdot f(2)\leq 0$
Αν f(1)f(2)=0 τοτε 1,2 ρίζες
Αν f(1)f(2)<0 Bolzano

δ) Πρέπει $y={g}^{-1}(x)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow g(x)=8-4x$
Το θεωρούμε h και κανουμε Bolzano.
Η μοναδικότητα εξασφαλίζεται με τη μονοτονία της h.

Την άλλη θα τη δω αυριο γιατι κοντευω να κοιμηθώ στο pc :s

coheNakatos · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Για να ξαναζωντανέψει λίγο το topic βαζω ενα διαγωνισματακι,όχι πολύ δύσκολο βεβαια.

Θέμα 2ο

$f(x)=ln left(2-frac{{x}^{2}}{2} right)+2010$

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμου Α και στη συνεχεια να αποδείξετε ότι
$2xcdot f'(x)+left({x}^{2}-4 right)cdot f''(x)=2$ για καθε xεΑ.

β) Να βρείτε σε ποιο σημειο της Cf η εφαπτομενη ειναι παραλληλη στον x'x.

γ) Να αποδείξετε οτι η Cf δεν εφαπτεται στο x'x.

Θέμα 3ο

Έστω f συνεχής στο [1,2] και παραγωγισιμη στο (1,2) με $f'(x)neq 0$ για καθε xε(1,2). Να αποδείξετε ότι:

α) Η εξίσωση f(x)=0 εχει το πολύ μια λύση στο (1,2)
β) $f(1)neq f(2)$
γ) Υπαρχει x0ε(1,2) τετοιος ωστε $2f({x}_{0})=f(1)+f(2)$
δ) Υπαρχουν ξ1,ξ2 τετοιοι σωτε $f'({xi }_{1})cdot f'({xi }_{2})>0$

Θέμα 4ο

Δίνεται η συναρτηση f ορισμένη στο (0,+οο) με f(x)>0 για την οποια ισχύουν:
${x}^{2}cdot f'(x)+f(x)=0$ για καθε x>0 και f'(1)=-e.

α) Να αποδείξετε ότι ο τυπος της f είναι $f(x)={e}^{frac{1}{x}},x>0$

β) Ένα σημειο Μ(x,y) κινειται στη γραφικη παρασταση της f ετσι ωστε η προβολή του Α,στον αξονα x'x να απομακρυνεται απο την αρχη Ο με ταχήτητα υ=2 cm/s.
Αν Β η προβολή του Μ στον y'y και Ε το εμβαδον του ορθογωνιου ΟΑΜΒ,να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Ε τη χρονική στιγμή ${t}_{0}$ , που ειναι x=(OA)=1cm

γ) Θεωρουμε τη συναρτηση $g(x)=f(x)-frac{e}{x},x>0$
i) Να μελετησετε τη μονοτονία της g.
ii) Να αποδείξετε ότι $g(e)>g(sqrt{e})>0$
iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x)=frac{1}{2}$ έχει στο (1,+οο) ακριβώς μία λύση.

Είδα ότι οι ασκησεις που έβαλε ο Βαγγέλης στην αρχη-αρχη εχουν μείνει αναπαντητες οποτε:

1)

α)

Με τον ορισμό εστω x1,x2εR με $g({x}_{1})=g({x}_{2})Rightarrow g(g({x}_{1}))=g(g({x}_{2}))Leftrightarrow ....Leftrightarrow {x}_{1}={x}_{2}$
Θέτωντας όπου x το ${g}^{-1}(x)$ προκύπτει το ζητούμενο.

β)

Ο ΓΤ των εικόνων ειναι κύκλος με Κ(0,-4) και ρ=2.
Το |z-3| ειναι η αποσταση των εικονων του z απο το Α(3,0)
Βγαίνει ${|z-3|}_{max}=7$ και ${|z-3|}_{min}=3$

γ) Τελικά $f(x)=|z-3|cdot x+g(x)-10$
$f(1)=|z-3|-7leq 0$ και $f(2)=2left(|z-3|-3 right)geq 0$
Άρα $f(1)cdot f(2)leq 0$
Αν f(1)f(2)=0 τοτε 1,2 ρίζες
Αν f(1)f(2)<0 Bolzano

δ) Πρέπει $y={g}^{-1}(x)Leftrightarrow ...Leftrightarrow g(x)=8-4x$
Το θεωρούμε h και κανουμε Bolzano.
Η μοναδικότητα εξασφαλίζεται με τη μονοτονία της h.

Την άλλη θα τη δω αυριο γιατι κοντευω να κοιμηθώ στο pc :s

Θεμα 3ο
α)
Εστω οτι υπαρχουν 2 ριζες - Rolle στο [x1,x2]-Ατοπο
β)Εστω f(1)=f(2) - Rolle στο [1,2]-Ατοπο
γ) Bolzano στο [1,2] -χρηση του (β)
δ)ΘΜΤ στα [1,χ0] , [χ0,2]
Θεμα 4ο :

α) ... ${(\frac{f(x)}{{e}^{1/x}})^{'}=0$

β) Ε κλασσικο ερωτηματακι

γ)ι)Γν.φθινουσα στο (0,1]
Γν.αυξουσα στο [1,+οο)
ιι)g γν.αυξουσα στο [1,+oo) Και g(x)>g(1)=0
iii)g(A)=(0,1) Και g γν.αυξουσα στο [1,+οο)

coheNakatos · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Ωραία λύση για το β ερώτητα. Υπάρχει τρόπος να πας και με τον ορισμό. Θα το αφήσω λίγο να το σκεφτείς.

Για το γ απλά θετεις όπου x,y το ${f}^{-1}(x),{f}^{-1}(y)$ αντίστοιχα.
-----------------------------------------

Οι απορίες ειναι σε αλλο thread. Πάλι μπερδευτηκες.
-----------------------------------------
ΑΣΚΗΣΗ (Θέλει προσοχη στη δικαιολογηση)

Έστω Π(x) πολυώνυμο. Ισχύει:
$lim_{xrightarrow 1}frac{Pi (x)}{x-1}=3$
$lim_{xrightarrow 2}frac{Pi (x)}{x-2}=1$

i) Να δειξετε οτι υπαρχουν x1,x2 κοντα στο 1 τετοια ώστε $Pi ({x}_{1})cdot Pi ({x}_{2})<0$

ii) Να δειξετε οτι Π(1)=Π(2)

iii) Να δειξετε οτι η εξισωση $frac{Pi (x)}{x-1}+frac{Pi (x)}{x-2}=x$ έχει μια τουλαχιστον ρίζα στο (1,2)

iv) Να δειξετε οτι ο βαθμός του Π(x) ειναι $nu geq 3$

v) Να δειξετε οτι υπαρχει ${x}_{0}in (1,2): Pi ({x}_{0})=0$

I) $\lim_{x->1}\frac{\Pi (x)}{x-1}=3 \Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \lim_{x->1}\Pi (x)=0$
$\lim_{x->2}\frac{\Pi (x)}{x-2}=1 \Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \lim_{x->2}\Pi (x)=0 -> \Pi (1)=\Pi (2)=0$
Αρα το 1 δεν μπορει να ειναι διπλη ριζα δηλαδη δεξια και αριστερα του 1 να εχουμε θετικο αποτελεσμα

Αρα υπαρχει μια περιοχη αριστερα του 1 $(1,\delta) : f(x1)>0$
Αρα υπαρχει και μια περιοχη δεξια του 1 $(-\delta,1) : f(x2)<0$
Αρα f(x1)f(x2)<0
iii) $h(x)=\frac{\Pi(x)}{x-1}+\frac{\Pi(x)}{x-2}-x$
h(x) συνεχης αρα αρκει να παρω τα ορια στα 1,2
Παιρνοντας τα ορια βγαινει ...
iv)Εστω οτι ειναι ν

και αφου εχει 2 ριζες τουλαχιστον μπορει να ειναι μονο ν=2
Παιρνεις τις σχεσεις που εχεις και βγαινεις σε ατοπο
v) Εδω εχω κολλησει για πεσμου την απαντηση

lowbaper92 · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
I) $lim_{x->1}frac{Pi (x)}{x-1}=3 Leftrightarrow ..Leftrightarrow lim_{x->1}Pi (x)=0$
$lim_{x->2}frac{Pi (x)}{x-2}=1 Leftrightarrow ..Leftrightarrow lim_{x->2}Pi (x)=0 -> Pi (1)=Pi (2)=0$
Αρα το 1 δεν μπορει να ειναι διπλη ριζα δηλαδη δεξια και αριστερα του 1 να εχουμε θετικο αποτελεσμα

Αρα υπαρχει μια περιοχη αριστερα του 1 $(1,delta) : f(x1)>0$
Αρα υπαρχει και μια περιοχη δεξια του 1 $(-delta,1) : f(x2)<0$
Αρα f(x1)f(x2)<0
iii) $h(x)=frac{Pi(x)}{x-1}+frac{Pi(x)}{x-2}-x$
h(x) συνεχης αρα αρκει να παρω τα ορια στα 1,2
Παιρνοντας τα ορια βγαινει ...
iv)Εστω οτι ειναι ν και αφου εχει 2 ριζες τουλαχιστον μπορει να ειναι μονο ν=2
Παιρνεις τις σχεσεις που εχεις και βγαινεις σε ατοπο
v) Εδω εχω κολλησει για πεσμου την απαντηση

Για ξαναδες λίγο το α ερωτημα γιατι θελει δικαιολόγηση για το ποια x γινεται Π(x1)>0 και για ποια αρνητικό.
Για το (v) πρέπει να κανεις κατι παρόμοιο με το α ερωτημα μελετώντας το πρόσημο του Π(x) δεξιά του 1 και αριστερά του 2. Έχε στο νου σου οτι καθε συνάρτηση παίρνει το πρόσημο του ορίου της κοντά στο x0.

lowbaper92 · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Θεμα 3ο
α)
Εστω οτι υπαρχουν 2 ριζες - Rolle στο [x1,x2]-Ατοπο
β)Εστω f(1)=f(2) - Rolle στο [1,2]-Ατοπο
γ) Bolzano στο [1,2] -χρηση του (β)
δ)ΘΜΤ στα [1,χ0] , [χ0,2]
Θεμα 4ο :

α) ... ${(frac{f(x)}{{e}^{1/x}})^{'}=0$

β) Ε κλασσικο ερωτηματακι
γ)ι)Γν.φθινουσα στο (0,1]
Γν.αυξουσα στο [1,+οο)
ιι)g γν.αυξουσα στο [1,+oo) Και g(x)>g(1)=0
iii)F(A)=(0,1) Και g γν.αυξουσα στο [1,+οο)

Για το Θέμα 4ο:
- Στο α ερωτημα πες μου λίγο τη διαδικασία που εκανες για να φτασεις εκει.
- Στο β ερωτημά εβγαλες αποτελεσμα? Γιατι θέλω να το διασταυρώσω αν βρήκα το σωστο.
- Στο γii δεν εδειξες ακριβώς αυτο που ηθελε

coheNakatos · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Για ξαναδες λίγο το α ερωτημα γιατι θελει δικαιολόγηση για το ποια x γινεται Π(x1)>0 και για ποια αρνητικό.
Για το (v) πρέπει να κανεις κατι παρόμοιο με το α ερωτημα μελετώντας το πρόσημο του Π(x) δεξιά του 1 και αριστερά του 2. Έχε στο νου σου οτι καθε συνάρτηση παίρνει το πρόσημο του ορίου της κοντά στο x0.

Καλα μπερδευω παντα το αριστερα με το δεξια το αντιθετο ειναι ελεος χαχαχα

coheNakatos · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Για το Θέμα 4ο:
- Στο α ερωτημα πες μου λίγο τη διαδικασία που εκανες για να φτασεις εκει.
- Στο β ερωτημά εβγαλες αποτελεσμα? Γιατι θέλω να το διασταυρώσω αν βρήκα το σωστο.
- Στο γii δεν εδειξες ακριβώς αυτο που ηθελε

- Πολλαπλασιαζεις με ${e}^{1/x}$ και διαιρεις με ${({e}^{1/x})^{2}$
- 0
-Αυτο εδειξα απλα εβαλα f(A) καταλαθος

lowbaper92 · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
- Πολλαπλασιαζεις με ${e}^{1/x}$ και διαιρεις με ${({e}^{1/x})^{2}$
- 0
-Αυτο εδειξα απλα εβαλα f(A) καταλαθος

- Γιατί να πολλαπλασιασεις και να διαιρεσεις με το ιδιο πραγμα?
-Καταλαβα τι εκανες αλλα λεω για το προηγουμενο ερωτημα με την ανισοτητα

coheNakatos · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
- Γιατί να πολλαπλασιασεις και να διαιρεσεις με το ιδιο πραγμα?
-Καταλαβα τι εκανες αλλα λεω για το προηγουμενο ερωτημα με την ανισοτητα

- Δεν ειναι το ιδιο πραγμα φτιαχνεις το πυλικο αυτο , εχεις κανει κατι αλλο ?
- $e>\sqrt{e}$ ,g γν.αυξουσα , $g(e)>g(\sqrt{e})$
Και ισχυει και το 2ο μερος της ανισοτητας γιατι g(x)>g(1)=0

lowbaper92 · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
- Δεν ειναι το ιδιο πραγμα φτιαχνεις το πυλικο αυτο , εχεις κανει κατι αλλο ?
- $e>sqrt{e}$ ,g γν.αυξουσα , $g(e)>g(sqrt{e})$
Και ισχυει και το 2ο μερος της ανισοτητας γιατι g(x)>g(1)=0

Είχα διαιρεσει με f(x) και κατεληξα στην κλασική σχεση που πολλαπλασιαζεις με e (εις την αρχική)

coheNakatos · 23-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Είχα διαιρεσει με f(x) και κατεληξα στην κλασική σχεση που πολλαπλασιαζεις με e (εις την αρχική)

απλα εφτιαξα το αντιστροφο εγω μην κολλας same thing

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος