Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

riemann80 · 2009-12-20T13:58:07+0200

γιατι ισχυει [f(0),f(1)]=[0,1]?μπορεις να το αποδειξεις?

riemann80 · 2009-12-23T18:11:29+0200

να βρεθει η πολυωνυμικη συναρτηση f:R-->R για την οποια ισχυει

$\int_{1}^{x}f(t)dt=f(x)f'(x) , \forall x \in \mathbb{R}$

ledzeppelinick · 2009-12-28T13:32:33+0200

Μια άσκηση που έπεσε σαν θέμα στο διαγώνισμα του πρώην φροντιστηρίου μου:

Α.
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με $z\neq -i$
Aν z(w-1) + iw = 0 και |w|=2, να αποδείξετε ότι:

α) |3z+4i|=2

β) O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού $u=\frac{3z}{3z+4i}$ είναι κύκλος με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ=2

Β.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x^2+|t|^2x+2}-\sqrt{x^2-4Im(t)x+3}$ με $x\epsilon (0,+\propto )$ , όπου t=α+βi, α,β $\epsilonR$ με $\beta \geq 0$ , μιγαδικός αριθμός. Αν $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=0$ , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού t είναι κύκλος.

Γ.
Για τους μιγαδικούς u και t των προηγούμενων ερωτημάτων να αποδείξετε ότι $|u-t|\leq 4+\sqrt{5}$

coheNakatos · 2009-12-28T16:28:50+0200

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
Μια άσκηση που έπεσε σαν θέμα στο διαγώνισμα του πρώην φροντιστηρίου μου:

Α.
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με $zneq -i$
Aν z(w-1) + iw = 0 και |w|=2, να αποδείξετε ότι:

α) |3z+4i|=2

β) O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού $u=frac{3z}{3z+4i}$ είναι κύκλος με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ=2

Β.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=sqrt{x^2+|t|^2x+2}-sqrt{x^2-4Im(t)x+3}$ με $xepsilon (0,+propto )$ , όπου t=α+βi, α,β $epsilonR$ με $beta geq 0$ , μιγαδικός αριθμός. Αν $lim_{xrightarrow +propto }f(x)=0$ , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού t είναι κύκλος.

Γ.
Για τους μιγαδικούς u και t των προηγούμενων ερωτημάτων να αποδείξετε ότι $|u-t|leq 4+sqrt{5}$

A) i) Λυνεις ως προς w και μετα με πραξεις βγαινει
ii) Αρκει |u-1|=2 αντικατασταση και βγηκε

Β) συζηγης και βγαινει

Γ)μεγιστη αποσταση 2 κυκλων αν δεν κανω λαθος

ledzeppelinick · 2009-12-28T16:38:14+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
A) i) Λυνεις ως προς w και μετα με πραξεις βγαινει
ii) Αρκει |u-1|=2 αντικατασταση και βγηκε

Β) συζηγης και βγαινει

Γ)μεγιστη αποσταση 2 κυκλων αν δεν κανω λαθος

χμμ μπορείς να παραθέσεις τις λύσεις?

coheNakatos · 2009-12-28T16:41:35+0200

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
χμμ μπορείς να παραθέσεις τις λύσεις?

Τρεχω και δεν φτανω με αυτα που εχω δεν μπορω

ledzeppelinick · 2009-12-28T16:42:39+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Τρεχω και δεν φτανω με αυτα που εχω δεν μπορω

αα οκ :no1:

lowbaper92 · 2009-12-31T18:03:40+0200

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
Μια άσκηση που έπεσε σαν θέμα στο διαγώνισμα του πρώην φροντιστηρίου μου:

Α.
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με $zneq -i$
Aν z(w-1) + iw = 0 και |w|=2, να αποδείξετε ότι:

α) |3z+4i|=2

β) O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού $u=frac{3z}{3z+4i}$ είναι κύκλος με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ=2

Β.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=sqrt{x^2+|t|^2x+2}-sqrt{x^2-4Im(t)x+3}$ με $xepsilon (0,+propto )$ , όπου t=α+βi, α,β $epsilonR$ με $beta geq 0$ , μιγαδικός αριθμός. Αν $lim_{xrightarrow +propto }f(x)=0$ , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού t είναι κύκλος.

Γ.
Για τους μιγαδικούς u και t των προηγούμενων ερωτημάτων να αποδείξετε ότι $|u-t|leq 4+sqrt{5}$

Α) α)

$z(w-1)+iw=0\Leftrightarrow w=\frac{z}{z+i}\Rightarrow |w|=|\frac{z}{z+i}|\Leftrightarrow |\frac{z}{z+i}|=2$

αλλα αυτο που εχω μεσα στο μετρο δεν μου βγαινει ισο με το ζητουμενο,οποτε εδω θα χρειαστω τη βοήθειά σου

β)

$u=\frac{3z}{3z+4i}\Leftrightarrow u-1=\frac{-4i}{3z+4i}\Rightarrow |u-1|=\frac{|-4i|}{|3z+4i|}\Leftrightarrow |u-1|=2$

Αρα Μ(u) ανηκουν σε κυκλο με K(1,0) και ρ1=2

Β)

$\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{{x}^{2}+{|t|}^{2}x+2-{x}^{2}+4Im(t)x-3}{\sqrt{{x}^{2}+{|t|}^{2}x+2}+\sqrt{{x}^{2}-4Im(t)x+3}}=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{x[{|t|}^{2}+4Im(t)-\frac{1}{x}]}{x[\sqrt{1+\frac{{|t|}^{2}}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{4Im(t)}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}]}}}=0\Leftrightarrow \frac{{|t|}^{2}+4Im(t)}{2}=0\Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+4\beta =0$

Αρα Μ(t) ανηκουν σε κυκλο με Λ(0,-2) και ρ2=2

Γ)

Εφόσον |ρ1-ρ2|<(ΚΛ)<ρ1+ρ2 οι κύκοι τεμνοται. Με σχημα βλεπουμε οτι

${|u-t|}_{max}=(K\Lambda )+{\rho }_{1}+{\rho }_{2}=\sqrt{5}+4$

ledzeppelinick · 2009-12-31T19:02:56+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Α) α)

$z(w-1)+iw=0Leftrightarrow w=frac{z}{z+i}Rightarrow |w|=|frac{z}{z+i}|Leftrightarrow |frac{z}{z+i}|=2$

αλλα αυτο που εχω μεσα στο μετρο δεν μου βγαινει ισο με το ζητουμενο,οποτε εδω θα χρειαστω τη βοήθειά σου

β)

$u=frac{3z}{3z+4i}Leftrightarrow u-1=frac{-4i}{3z+4i}Rightarrow |u-1|=frac{|-4i|}{|3z+4i|}Leftrightarrow |u-1|=2$

Αρα Μ(u) ανηκουν σε κυκλο με K(1,0) και ρ1=2

Β)

$lim_{xrightarrow +propto }f(x)=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow +propto }frac{{x}^{2}+{|t|}^{2}x+2-{x}^{2}+4Im(t)x-3}{sqrt{{x}^{2}+{|t|}^{2}x+2}+sqrt{{x}^{2}-4Im(t)x+3}}=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow +propto }frac{x[{|t|}^{2}+4Im(t)-frac{1}{x}]}{x[sqrt{1+frac{{|t|}^{2}}{x}+frac{2}{{x}^{2}}}+sqrt{1-frac{4Im(t)}{x}+frac{3}{{x}^{2}}}]}}}=0Leftrightarrow frac{{|t|}^{2}+4Im(t)}{2}=0Leftrightarrow {alpha }^{2}+{beta }^{2}+4beta =0$

Αρα Μ(t) ανηκουν σε κυκλο με Λ(0,-2) και ρ2=2

Γ)

Εφόσον |ρ1-ρ2|<(ΚΛ)<ρ1+ρ2 οι κύκοι τεμνοται. Με σχημα βλεπουμε οτι

${|u-t|}_{max}=(KLambda )+{rho }_{1}+{rho }_{2}=sqrt{5}+4$

A)

α) δημιουργείς τις εξής σχέσεις:
$z(w-1)+iw=0\Leftrightarrow z(w-1)=-iw\Leftrightarrow \left| z(w-1)\right|=\left| -iw\right|\Leftrightarrow \left| z\right|\left| (w-1)\right|=\left| -i\right|\left| w\right|\Leftrightarrow \left| z\right|\left| (w-1)\right|=2$ (1)
και
$z(w-1)+iw=0\Leftrightarrow zw-z+iw=0\Leftrightarrow \times \bar{w}\Leftrightarrow z|w|^2-z\bar{w}+i|w|^2=0\Leftrightarrow 4z+4i=z\bar{w}\Leftrightarrow 4z+4i-z=z\bar{w}-z\Leftrightarrow 3z+4i=z(\bar{w}-1)\Leftrightarrow \left| 3z+4i\right|=\left| z(\bar{w}-1)\right|\Leftrightarrow \left| 3z+4i\right|=\left| z\right|\left| (\bar{w}-1)\right|$ (2)

και γνωρίζουμε από ιδιότητες μιγαδικών ότι $\left| w-1\right|=\left|\bar{w}-1 \right|$
άρα από (1) και (2) βγαίνει το ζητούμενο

β) ωραίος
Β. σωστός

Γ. πολύ ωραίος (μην παραλείψεις να κάνεις σχήμα αν πέσει τέτοια άσκηση)

β' τρόπος:

Σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα έχουμε

$\left|u-t \right|=\left|u-1+1-t-2i+2i \right|=\left|\left(u-1 \right)+\left(t+2i \right)+(1-2i) \right|\leq \left|u-1 \right|+\left|t+2i \right|+\left|1-2i \right|=2+2+\sqrt{1^2+(-2)^2}=4+\sqrt{5}$

lowbaper92 · 2010-01-01T16:59:47+0200

Για δείτε αυτη:

Δίνεται η εξίσωση: $z\bar{z}+4Re[(1-2i)z]+4=0$
α) Να παραστήσετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών z που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση.
β) Αν ${z}_{1},{z}_{2}$ είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: $|{z}_{1}-{z}_{2}|\leq 8$
γ) Αν ${t}_{1},{t}_{2}$ είναι αντίστοιχα, οι τιμές των μιγαδικών ${z}_{1},{z}_{2}$ (του ερωτήματος β), για τις οποίες η παράσταση $|{z}_{1}-{z}_{2}|$ γίνεται μέγιστη,να δείξετε ότι: ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2\nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{\nu }={2}^{4\nu +1}\cdot {5 }^{\nu }$

Και μια ευχή για το 2010: Εύχομαι φέτος η συναρτηση της ευτυχιας να είναι γνησίως αύξουσα και το όριο της χαράς να τείνει στο +οο

Civilara · 2010-01-02T14:02:29+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Για δείτε αυτη:

Δίνεται η εξίσωση: $zbar{z}+4Re[(1-2i)z]+4=0$
α) Να παραστήσετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών z που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση.
β) Αν ${z}_{1},{z}_{2}$ είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: $|{z}_{1}-{z}_{2}|leq 8$
γ) Αν ${t}_{1},{t}_{2}$ είναι αντίστοιχα, οι τιμές των μιγαδικών ${z}_{1},{z}_{2}$ (του ερωτήματος β), για τις οποίες η παράσταση $|{z}_{1}-{z}_{2}|$ γίνεται μέγιστη,να δείξετε ότι: ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }={2}^{4nu +1}cdot {5 }^{nu }$

Και μια ευχή για το 2010: Εύχομαι φέτος η συναρτηση της ευτυχιας να είναι γνησίως αύξουσα και το όριο της χαράς να τείνει στο +οο

Ωραία άσκηση. Δεν παραθέτω τη λύση για να αφήσω όσους θέλουν να ασχοληθούν. Μόνο ένα tip: χρησιμοποιήστε στο γ) ερώτημα τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου και θα διευκολύνετε τη ζωή σας.

coheNakatos · 2010-01-06T01:22:37+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Για δείτε αυτη:

Δίνεται η εξίσωση: $zbar{z}+4Re[(1-2i)z]+4=0$
α) Να παραστήσετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών z που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση.
β) Αν ${z}_{1},{z}_{2}$ είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: $|{z}_{1}-{z}_{2}|leq 8$
γ) Αν ${t}_{1},{t}_{2}$ είναι αντίστοιχα, οι τιμές των μιγαδικών ${z}_{1},{z}_{2}$ (του ερωτήματος β), για τις οποίες η παράσταση $|{z}_{1}-{z}_{2}|$ γίνεται μέγιστη,να δείξετε ότι: ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }={2}^{4nu +1}cdot {5 }^{nu }$

Και μια ευχή για το 2010: Εύχομαι φέτος η συναρτηση της ευτυχιας να είναι γνησίως αύξουσα και το όριο της χαράς να τείνει στο +οο

α) απο την δοσμενη σχεση με πραξεις .. κυκλος με ρ=4 και K=(-2,-4)
β)|z1-z2|<=2r .Αρα |z1-z2|<=8
γ) Αν δεν κανω καποιο λαθος πρεπει να βγαινει ${2}^{4n}. {5}^{n}$ ?

lowbaper92 · 2010-01-06T01:31:41+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
α) απο την δοσμενη σχεση με πραξεις .. κυκλος με ρ=4 και K=(-2,-4)
β)|z1-z2|<=2r .Αρα |z1-z2|<=8
γ) Αν δεν κανω καποιο λαθος πρεπει να βγαινει ${2}^{4n}$ ?

Τα α,β σωστά
Για το γ δουλεύεις το πρωτο μέλος και σου βγαζει το ζητουμενο

coheNakatos · 2010-01-06T01:39:57+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Τα α,β σωστά
Για το γ δουλεύεις το πρωτο μέλος και σου βγαζει το ζητουμενο

Δηλαδη το αποτελεσμα εχει το +1 ?

lowbaper92 · 2010-01-06T01:42:37+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Δηλαδη το αποτελεσμα εχει το +1 ?

Ναι..Θα διευκολυνθείς αμα δουλεψεις ξεχωριστά το ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2\nu }$ και ξεχωριστά το ${|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{\nu }$
Επίσης ενα σχήμα καλο ειναι να υπαρχει

coheNakatos · 2010-01-06T01:51:40+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Ναι..Θα διευκολυνθείς αμα δουλεψεις ξεχωριστά το ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }$ και ξεχωριστά το ${|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }$
Επίσης ενα σχήμα καλο ειναι να υπαρχει

H πρωτη παρασταση βγαζει μηδεν ή κανω λαθος ?

lowbaper92 · 2010-01-06T01:58:11+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
H πρωτη παρασταση βγαζει μηδεν ή κανω λαθος ?

Oχι δεν κανει μηδεν..Να πω οτι ενας τροπος λύσης βασιζεται σε Β λυκειου

coheNakatos · 2010-01-06T14:51:00+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Oχι δεν κανει μηδεν..Να πω οτι ενας τροπος λύσης βασιζεται σε Β λυκειου

Ελα , το $|t1+t2|=4\sqrt{5} ...$
Το ελυσα με σχημα και λιγο Β λυκειου

Και φυσικα αφου γινεται μεγιστο το $|z1-z2|$ θα εχεις $|t1-t2|=8$ , μετα πραξεις ,ουφ

lowbaper92 · 2010-01-06T15:42:36+0200

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Ελα , το $|t1+t2|=4sqrt{5} ...$
Το ελυσα με σχημα και λιγο Β λυκειου

Και φυσικα αφου γινεται μεγιστο το $|z1-z2|$ θα εχεις $|t1-t2|=8$ , μετα πραξεις ,ουφ

Σωστός. μπράβο ! :no1:

ledzeppelinick · 2010-01-06T15:54:26+0200

Δινονται οι συναρτησεις $f,g(0,+\propto )\rightarrow R$ τετοιες ωστε $f(x)=(x-1){e}^{x}$ και $g'(x)=\frac{x}{{e}^{x}-1}$ για καθε $x\succ 0$
Αν $g(1)=0$ να αποδειξετε οτι:i) $f(x)\succ -1$ για καθε $x\succ 0$
ii)η $g$ ειναι κοιλη
iii) $\frac{x}{{e}^{x}-1}\prec \frac{g(x)}{x-1}\prec \frac{1}{e-1}$ για καθε $x\succ 1$
iv) $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{g(x)}{f(x)}=0$

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος