Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Civilara]

στο τρίτο θέμα όταν εξετάζουμε την μονοτονια της f πήρα: f'(x)>0 <=> f'(x)>f'(0) <=> x>0(αφού όπως αποδείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα η f είναι κυρτή άρα η f'(x) είναι γνησίως αύξουσα) ομοιώς για f'(x)<0

Το πήρες ανάποδα αλλά δεν είναι λάθος. Όταν μία συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ τότε ισχύει η ισοδυναμία (και όχι μόνο η συνεπαγωγή)

x1,x2 στο Δ: x1<x2 <=> g(x1)<g(x2).

Το θέμα είναι ότι δεν υπάρχει πουθενά στο σχολικό βιβλίο η πρόταση: "Αν g γνησίως αύξουσα στο Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ με g(x1)<g(x2) ισχύει x1<x2". Δεν είναι λάθος αλλά αν πέσεις σε κανένα στραβόξυλο διορθωτή θα σου κόψει κάποια μόρια αν και δεν το νομίζω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[markou]

η ισοδυναμία όμως δεν σημαίνει οτι ισχύει και το αντίστροφο? :S

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[variax]

Variax, αν στο πρώτο αντί για αυτο, γράψω για τα πλευρικά τι γίνεται????? Πόσο χάνω?

Τι εννοείς?
-----------------------------------------

Καλα μωρε δεν πειραζει.Εγω να περασω μαθηματικο θελω.Απο τη στιγμη που το πετυχω αυτο μεσα απο το αθλιο εξεταστικο συστημα, θα εχω απειρες ευκαιριες να εξεταστω αντικειμενικα και αξιοκρατικα. Οπως και ολοι μας.

Χωρίς να θέλω να σε απογοητεύσω, μάλλον αυτό το άθλιο εξεταστικό σύστημα είναι και το μόνο αξιοκρατικό σύστημα που θα συναντήσεις στην υπόλοιπη ζωή σου στην Ελλάδα!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

η ισοδυναμία όμως δεν σημαίνει οτι ισχύει και το αντίστροφο? :S

Η ισοδυναμία είναι σωστή. Παίρνοντας την ως συνεπαγωγή από τα δεξιά προς τα αριστερά κάνεις το ορθό σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο. Παίρνοντας την ως συνεπαγωγή από τα αριστερά προς τα δεξιά στηρίζεσαι σε πρόταση η οποία δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο. Είσαι όμως σωστός. Γι αυτό πρέπει να είναι πολύ στραβόξυλο για να σου κόψει κάποιος μόρια. Προσωπικά νομίζω ότι δεν θα χάσεις τίποτα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[markou]

ελπίζω ρε συ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[variax]

Το πήρες ανάποδα αλλά δεν είναι λάθος. Όταν μία συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ τότε ισχύει η ισοδυναμία (και όχι μόνο η συνεπαγωγή)

x1,x2 στο Δ: x1<x2 <=> g(x1)<g(x2).

Το θέμα είναι ότι δεν υπάρχει πουθενά στο σχολικό βιβλίο η πρόταση: "Αν g γνησίως αύξουσα στο Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ με g(x1)<g(x2) ισχύει x1<x2". Δεν είναι λάθος αλλά αν πέσεις σε κανένα στραβόξυλο διορθωτή θα σου κόψει κάποια μόρια αν και δεν το νομίζω.

Είναι θέμα απλής αντιθετοαντιστροφής και έχει πολλές φορές χρειαστεί να χρησιμοποιηθεί (βλέπε και λογαριθμική συνάρτηση στο βιβλίο της β΄Λυκείου ή σελίδα 139 σχολικού βιβλίου)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[markou]

δηλαδή για να το πούμε πιο λιανά μπορώ να το κάνω?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

Χωρίς να θέλω να σε απογοητεύσω, μάλλον αυτό το άθλιο εξεταστικό σύστημα είναι και το μόνο αξιοκρατικό σύστημα που θα συναντήσεις στην υπόλοιπη ζωή σου στην Ελλάδα!!!

Δεν αναφερθηκα αναγκαστικα στην Ελλαδα.Μη φοβαστε δεν με απογοητευετε καθολου.Θελω να πιστευω πως ξερω πανω κατω τι επικρατει στη χωρα μας.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

δηλαδή για να το πούμε πιο λιανά μπορώ να το κάνω?

Λογικά μπορείς. Μπορείς, μπορείς.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[markou]

EΠΠΑΓΕΛΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ :
M E T A N A Σ Τ Ε Υ Σ Η !

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rolingstones]

Το πήρες ανάποδα αλλά δεν είναι λάθος. Όταν μία συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ τότε ισχύει η ισοδυναμία (και όχι μόνο η συνεπαγωγή)

x1,x2 στο Δ: x1<x2 <=> g(x1)<g(x2).

Το θέμα είναι ότι δεν υπάρχει πουθενά στο σχολικό βιβλίο η πρόταση: "Αν g γνησίως αύξουσα στο Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ με g(x1)<g(x2) ισχύει x1<x2". Δεν είναι λάθος αλλά αν πέσεις σε κανένα στραβόξυλο διορθωτή θα σου κόψει κάποια μόρια αν και δεν το νομίζω.

φιλε γκεοστ οντως δε το λεει το βιβλιο και πρεπει να ναι κομπλεξικος ο αλλος για να το κοψει τωρα ενας μεγαλος αρχηγος θα μπορουσε να αποδειξη και το αντιστροφο με μεθοδο της εις ατοπου απαγωγης δηλαδη να θεωρουσε οτι δεν ειναι χ1<χ2 και ειναι χ1>=χ2 οποτε λογω μονοτονιας πας g(x1)>=g(x2) που ειναι ατοπο αφου απο υποθεση g(x1)<g(x2) τωρα τι να σου πω αυτο θα ταν το τελειο αν το γραφες ο θεος βοηθος εγω προσωπικα δε θα κοβα τιποτα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Zangetsu18]

παιδια εκανα μια τρελη πατατα στουσ μιγαδικουσ μπερδευτικα και εγραψα τισ εξισωσεισ στο 3ο ερωτημα αλλα δν εγραψα τουσ μιγαδικουσ εγραψα τουσ γεμωμετρικουσ τοπουσ δν ξερω γτ
ποσο λετε να κοψουν?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Aggouri]

Να ρωτησω κατι κι εγω... Στο 3ο θεμα τελευταιο ερωτημα: θεωρω συναρτηση το αθροισμα ακριβως οπως ειναι. Παιρνω ορια στο 1+ και στο 2- και μου βγαζουν ±απειρο. Λεω η Συναρτηση ειναι συνεχης ως αθροισμα συνεχων και αφου τα ορια ειναι ±απειρο τοτε το συνολο τιμων της ειναι το R.

Το 0 ανηκει στο R αρα θα υπαρχει χ0 [ξεχναω να γραψω (1,2)] τετοιο ωστε h(x0)=0 [και εδω ξεχναω να γραψω "δηλαδη f(b-1)/x0-1 + μπλα μπλα= 0]

Η απορια μου ειναι ποσα κοβουν απο αυτες τις μικροπαραληψεις? 2-3 μορια?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikolas17]

Aggouri παρόμοιο έκανα και εγώ με εσένα αλλά εγώ έκανα άλλη μ@λακία

Πήρα τα όρια στο 1+ και 2- και μετά το γινόμενο τους που βγαίνει -άπειρο. Και έκανα Bolzano με ...όρια. Λέτε να μου κόψουν όλη την άσκηση?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DK1991]

variax, στον ορισμο αντι για το σωστό εγραψα 'οτι πρέπει να υπάρχουν τα πλευρικα και να είναι ίσα... Πόσο χάνω?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Προκοπης]

ρε παιδια να ρωτησω κατι εγω? στο θεμα 2 το β ερωτημα δεν το εκανα ουτε με μονοτονια ουτε με σχημα απλα ειπα : θεωρησα ως δεδομενο το μιγαδικο z=1-i βρηκα το μετρο του,βρικα το μετρο του Z=(2λ+1)+(2λ-1)i και μετα ειπα οτι για να αποδειξω οτι εχει το μικροτερο δυνατο μετρο πρεπει να ισχυειz|<=|Z|, και κατεληξα σε κατι που ισχυει δηλαδη , 8λ^2>=0 .ειναι σωστο? και αμα οχι ποσα θα μου αφαιρεσουν?τα αλλα τα εχω ολα σωστα και το τελευταιο θεμα.:S

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Να ρωτησω κατι κι εγω... Στο 3ο θεμα τελευταιο ερωτημα: θεωρω συναρτηση το αθροισμα ακριβως οπως ειναι. Παιρνω ορια στο 1+ και στο 2- και μου βγαζουν ±απειρο. Λεω η Συναρτηση ειναι συνεχης ως αθροισμα συνεχων και αφου τα ορια ειναι ±απειρο τοτε το συνολο τιμων της ειναι το R.

Το 0 ανηκει στο R αρα θα υπαρχει χ0 [ξεχναω να γραψω (1,2)] τετοιο ωστε h(x0)=0 [και εδω ξεχναω να γραψω "δηλαδη f(b-1)/x0-1 + μπλα μπλα= 0]

Η απορια μου ειναι ποσα κοβουν απο αυτες τις μικροπαραληψεις? 2-3 μορια?

Πολύ καλή και σωστή η σκέψη σου αν και λίγο ελλιπής. Θέτεις

g(x)=((f(β)-1)/(x-1))+((f(γ)-1)/(x-2)), x ανήκει Β=(-άπειρο,1)U(1,2)U(2,+άπειρο)

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Β και ισχύει:

g'(x)=-[((f(β)-1)/((x-1)^2))+((f(γ)-1)/((x-2)^2))]<0 για κάθε x στο Β. Εμάς μας ενδιαφέρει το (1,2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,2).

Αν πάρεις τα πλευρικά όρια της g στο 1 και 2, με δεδομένο ότι f(β)>1 και f(γ)>1, προκύπτει:

lim(x->1+)g(x)=+άπειρο και lim(x->2-)g(x)=-άπειρο. Επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (1,2) τότε η εικόνα g((1,2)) του (1,2) είναι:

g((1,2))=(lim(x->2-)g(x), lim(x->1+)g(x))=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επειδή 0 ανήκει στο g((1,2))=R, υπάρχει ξ στο (1,2) ώστε g(ξ)=0 και μάλιστα επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα τότε το ξ είναι μοναδικό. Με την σκέψη σου καταλήξαμε σε πολύ ενδιαφέρον συμπέρασμα που αν ήθελαν να δυσκολέψουν λίγο τα πράγματα θα το ζητούσαν στις εξετάσεις.

Η σκέψη σου είναι πολύ σωστή. Η μόνη έλλειψη είναι ότι δεν αποδεικνύεις ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,2) ώστε να βρεις το πεδίο τιμών της g((1,2)). Αν τα πλευρικά όρια τα βρήκες ίδια με μένα, τότε είσαι σωστός. Η σκέψη σου είναι σωστή αλλά δεν την εξέφρασες πολύ σωστά.
Προσωπικά νομίζω ότι θα χάσεις 2 μόρια.

Ωραία σκέψη πάντως.
-----------------------------------------

ρε παιδια να ρωτησω κατι εγω? στο θεμα 2 το β ερωτημα δεν το εκανα ουτε με μονοτονια ουτε με σχημα απλα ειπα : θεωρησα ως δεδομενο το μιγαδικο z=1-i βρηκα το μετρο του,βρικα το μετρο του Z=(2λ+1)+(2λ-1)i και μετα ειπα οτι για να αποδειξω οτι εχει το μικροτερο δυνατο μετρο πρεπει να ισχειει |z|<=|Z| και κατεληξα σε κατι που ισχυει δηλαδη , 8λ^2>=0 .ειναι σωστο? και αμα οχι ποσα θα μου αφερεσουν?τα αλλα τα εχω ολα σωστα και το τελευταιο θεμα.:S

Πολύ σωστός και πιο σύντομος. Μετά αφού ανέβασα τα αποτελέσματα βρήκα αυτήν την λύση, αλλά βαριόμουν να τα αλλάξω. Μην σου πω καλύτερα, γιατί ο καλύτερος δρόμος είναι ο συντομότερος. Προκόπη, πας για 100άρι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DK1991]

geoste, για το δικό μου πως το βλέπεις? Πόσα λες να χάσω?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Προκοπης]

geoste ευχαριστω φιλε γιατι ειχα ενα αγχος που δεν μπορεις να φανταστεις.... ανακουφηστικα τωρα ty man :p

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

geoste, για το δικό μου πως το βλέπεις? Πόσα λες να χάσω?

Δεν θέλω να σε απογοητεύσω αλλά δεν είναι σωστό, γιατί μπορεί μία συνάρτηση f να ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, x0] και όχι (α, x0]U[x0, β) (τα διαστήματα μπορεί να είναι και και κλειστά αντί ημίκλειστα).

Σε αυτήν την περίπτωση αν υπάρχει το πλευρικό όριο lim(x->x0-)((f(x)-f(x0))/(x-x0)) τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει:

lim(x->x0-)((f(x)-f(x0))/(x-x0))=lim(x->x0)((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f΄(x0)

Το όριο lim(x->x0+)((f(x)-f(x0))/(x-x0)) δεν υφίσταται γιατί η f δεν είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [x0,β) ή [x0,β]


Το ίδιο ισχύει για το άλλο πλευρικό όριο αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [x0, β) και όχι (α, x0]U[x0, β).


Για παράδειγμα θεώρησε την συνάρτηση f(x)=x^2 με πεδίο ορισμού το Α=[0,+άπειρο). Η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+άπειρο) και ισχύει f'(x)=2x.
Για x=0 είναι f'(0)=0.

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, υπάρχει το lim(x->0+)((f(x)-f(0))/(x-0)) και είναι ίσο με 0, ενώ δεν υπάρχει το lim(x->0-)((f(x)-f(0))/(x-0)) γιατί η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,0] ή [α,0] (με α<0).

Πολύ φοβάμαι ότι θα χάσεις και τα 5 μόρια του ερωτήματος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.