Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[kvgreco]

Βρίσκω λίγο χρόνο καί γράφω.

Η συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x) είναι συνεχής.
Αν δεν είναι σταθερή, τότε το σύνολο τιμών της θα είναι ένα κλειστό διάστημα σύμφωνα με τα θεωρήματα της συνέχειας, π.χ [λ,μ] όπου λ>0 αφού f-g > 0 και θα ισχύει ότι h(x) >= λ,
δηλαδή f(x) >= λ+g(x) γιά κάθε x τού [α,β].
Αν η h(x)=λ>0 γιά κάθε x τού [α,β], τότε f(x)-g(x)=λ, δηλαδή f(x)=λ + g(x).

Mε ταλαιπώρησε λίγο έτσι που την είχατε διατυπώσει αρχικά γιατί δεν ήξερα τι έπαιζε.Είναι και η απειρία βλέπετε.
Αλλά δοκίμασα τις συναρτήσεις f(x)=(e^x)+1 και την g(x)=1 καί δεν έβρισκα λ ούτε με...σφαίρες γιά κάθε x που ανήκει στο R.Λέω κάτι δεν πάει καλά.

Λύστε μας όμως κύριε riemann την άσκηση πού βάλατε εδώ: https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=42166
συγκεκριμένα το πρώτο μόνο ερώτημα γιατί τόσο καιρό..ξύνισε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

σωστος!

οσο για την αλλη δεν εχω προλαβει να την λυσω ακομα.την εβαλα γιατι μου αρεσε η διατυπωση.φανταζομαι πως θα εχει μια ωραια λυση.την ελυσες?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Όχι δεν κατάφερα να τη λύσω.
Αν καταφέρω να αποδείξω ότι δεν μπορεί γιά κανένα x να ισχύει f(x) > x η άσκηση έχει λυθεί, γιατί στη περίπτωση που δεχτώ ότι υπάρχει x ώστε f(x)< x οδηγούμαι σε άτοπο.
Έχω αποδείξει βέβαια πριν ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Αλλά η άτιμη η περίπτωση πού με κόλλησε δεν ξεπερνιέται με τίποτα.
Πάω με διαγράμματα από δώ από κεί καί το βλέπω ότι έτσι είναι, αλλά αναλυτικά δεν μπορώ να το τεκμηριώσω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

ισως χρειαζεται να παρεις περιπτωσεις για το χ και το ξ.αν χ>ξ ... και να χρησιμοποιησεις κανενα ΘΕΤ.δεν ειμαι σιγουρος ομως

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

αν μια συναρτηση ειναι συνεχης στο και ισχυει να δειξετε οτι η ειναι σταθερη.

η ασκηση προερχεται απο το βιβλιο "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I' του θ.ρασσια καθηγητη του εμπ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Semfer]

Ωραία άσκηση!!! Θυμάμαι που ο Θ. Ρασσιας μας την είχε βάλει στο πρώτο εξάμηνο και δεν την έλυσε κανένας... οχι ότι είναι δύσκολη, αλλά πρεπει να έχεις αρκετή φαντασία για να την λύσεις.

f(x)=f(0)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[who]

Τα χω και τα δύο βιβλία του Ρασσιά. Ο άνθρωπος είναι μορφή στο ΕΜΠ. Την είχα λύσει και πιο παλιά και είναι όντως πολύ καλή άσκηση. Μόλις την ξαναέλυσα Δεν είναι δύσκολη αλλά, όντως, θέλει αρκετή φαντασία.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

ναι δεν ειναι δυσκολη αλλα χρειαζεται φαντασια.τα βιβλια του ρασσια ειναι πολυ καλα με εξυπνες ασκησεις

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[who]

ναι δεν ειναι δυσκολη αλλα χρειαζεται φαντασια.τα βιβλια του ρασσια ειναι πολυ καλα με εξυπνες ασκησεις

Νομίζω όμως, ότι ακόμα και όσοι φτάσουν στο προτελευταίο βήμα της λύσης της (εννοώ από τα παιδιά της Γ' λυκείου), θα δυσκολευτούν λίγο στο τελευταίο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ilias777]

Άσκηση


(Θ.Bolzano)​

Αν η F συνεχείς στο [1,2] και F(1)=F(2) τότε : Να δείξεις ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξe[1,2) ώστε F(ξ)=F(ξ+1/2).



Κατά τη γνώμη μου καλή άσκηση!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[who]

Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα με θετικές τιμές, ώστε

​

να βρείτε το .​

ΥΓ1. Δεν ήξερα αν υπήρχε θέμα με ανάλογο τίτλο ώστε να γράψω την άσκηση.
ΥΓ2. Παρατηρώ, ότι υπάρχουν πολλά σκόρπια θέματα με ασκήσεις. Γιατί να μη φτιάξουμε 2-3 θέματα με ανάλογο τίτλο-που θα προσδιορίζουν κάθε ένα από τα κεφάλαια της διδακτέας ύλης του σχολικού βιβλίου-όπου, θα συγκεντρώνουμε όλες τις ανάλογες ασκήσεις; Έτσι, και τα παιδιά που ενδιαφέρονται να τις λύσουν δε θα ψάχνουν από δω κι από ΄κει σε κάθε νέο θέμα που ανοίγει και, δε θα επικρατεί αυτό το χάος.​

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Semfer]

και μετα Bolzano για την συναρτηση στο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[menenick]

ασκηση στα ορια

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Αν θεωρήσουμε το διάστημα [0,+άπειρο)
Στο διάατημα αυτό η συνάρτηση θα είναι σταθερή γιατί αν υπήρχε π.χ υποδιάστημα τού παραπάνω όπου η συνάρτηση θα ήταν γνησίως αύξουσα τότε θα έπρεπε να ισχύει f(x)<f(2x) αφού x<2x
που όμως δεν ισχύει.Ανάλογα αποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχει τμήμα της συνάρτησης όπου να είναι γνησίως φθίνουσα.Άρα θα είναι σταθερή στο [0,+άπειρο) αφού είναι συνεχής και θα έχει τον τύπο f(x)=k
Όμοια στο διάστημα (-άπειρο,0) δείχνουμε ότι θα έχει τύπο f(x)=λ.
Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής παντού άρα και στο μηδέν θα είναι limf(x) όταν x-->0- ίσο με limf(x) όταν x-->0+ ίσο με f(0).
Θα πρέπει δηλαδή στο μηδέν να <<κλειδώνει>> η γραφική παράσταση σε μία τιμή γιά όλα τα x.
Έτσι θα είναι κ=λ=f(0). Οπότε τελικά f(x)=f(0) γιά κάθε x που ανήκει στο R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[who]

Σωστή φαίνεται η λύση σου. Να σου δώσω μια υπόδειξη για να τη λύσεις και με τον άλλο τρόπο; Είναι λίγο πιο όμορφος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Έλα πες μου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

Αν θεωρήσουμε το διάστημα [0,+άπειρο)
Στο διάατημα αυτό η συνάρτηση θα είναι σταθερή γιατί αν υπήρχε π.χ υποδιάστημα τού παραπάνω όπου η συνάρτηση θα ήταν γνησίως αύξουσα τότε θα έπρεπε να ισχύει f(x)<f(2x) αφού x<2x
που όμως δεν ισχύει.Ανάλογα αποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχει τμήμα της συνάρτησης όπου να είναι γνησίως φθίνουσα.Άρα θα είναι σταθερή στο [0,+άπειρο) αφού είναι συνεχής και θα έχει τον τύπο f(x)=k
Όμοια στο διάστημα (-άπειρο,0) δείχνουμε ότι θα έχει τύπο f(x)=λ.
Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής παντού άρα και στο μηδέν θα είναι limf(x) όταν x-->0- ίσο με limf(x) όταν x-->0+ ίσο με f(0).
Θα πρέπει δηλαδή στο μηδέν να <<κλειδώνει>> η γραφική παράσταση σε μία τιμή γιά όλα τα x.
Έτσι θα είναι κ=λ=f(0). Οπότε τελικά f(x)=f(0) γιά κάθε x που ανήκει στο R.

γιατι υποθετεις οτι η συνάρτηση ειναι γνησιως μονοτονη ομως? απο που βγαινει αυτο?

θα επρεπε να ειναι 1-1 γιαυτο στα αντιστιχα διαστηματα που θεωρεις!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[george_k214]

Απ'οτι καταλαβα kvgreco,υπονοείς πως αν μια συναρτηση δεν ειναι σταθερη τότε υπάρχει ένα υποδιάστημα στο οποίο η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα?Που το στηρίζεις?

Μπράβο πάντως για την προσπάθεια και μόνο!Εγώ δεν μπόρεσα να σκεφτώ κάτι σε αυτή την άσκηση!Ας μας πεί ωστόσο ένας μαθηματικός αν ισχύει η λύση σου...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

γιατι υποθετεις οτι η συνάρτηση ειναι γνησιως μονοτονη ομως? απο που βγαινει αυτο?

θα επρεπε να ειναι 1-1 γιαυτο στα αντιστιχα διαστηματα που θεωρεις!!

Τι μπορεί να κάνει (εποπτικά) μιά συνεχής γραμμή?Να ανεβαίνει να κατεβαίνει να είναι οριζόντια ή συνδυασμός τους.Υπάρχει κάτι άλλο?
Εξ άλλου πάλι γι αυτά μιλάγαμε τις προάλλες αν θυμάσαι.Ότι αφού είναι ορισμένη σε διάστημα δεν υπάρχει κίνδυνος.Αν ήταν ένωση διαστημάτων θα είχε πρόβλημα η λύση.


@george
Δεν είπα γιά γνήσια αύξουσα.Αλλά πήγα να αποκλείσω το γνησίως μονότονη γενικά.Όσο γιά μαθηματικό που λες ο riemann μαθηματικός είναι (κάνω λάθος?).Στις πανελλήνιες δεν ξέρω πώς θα δέχονταν τη λύση πάντως εμένα με καλύπτει.Ας τη λύσουν οι μαθηματικοί εδώ με το "σωστό" τρόπο λοιπόν να τη δούμε κι εμείς, αν καί οι μαθηματικοί λένε ότι τούς αρέσει πάντα όχι η λύση των πολλών αλλά η διαφορετική.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.