Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[miv]

Ναι, το γνωρίζω το θεώρημα ως διατύπωση αλλά δεν θυμόμουν ότι αναφέρεται στο C (ή αλλιώς, δεν το θυμόμουν με τις λέξεις "μιγαδικός"), οπότε να το καθιστά, όπως λες, αλγεβρικά κλειστό σώμα.
Τώρα το κατεβάζω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

η ιστορια βεβαια δεν σταματαει στον gauuss.ο kronecker γυρω στα 180070 απεδειξε οτι αν εχουμε ενα πολυωνυμο με συντελεστες απο ενα οποιοδηποτε σωμα Κ τοτε μπορουμε να επεκτεινουμ,ε το Κ ωστε να περιεγχει ολες τις ριζες του πολυωνυμου.

δηλαδη με μια εννοια ο kronecker γενικευσε το απολεσμα του gauuss ξεφευγωντας απο τα σωματα αριθμων μελετωντας τυχαια σωματα.η επεκταση που αντιστοιχει στο R ειναι το C. η επεκταση που αντιστοιχει στο Q ειναι το R και γενικα

"καθε σωμα ή ειναι αλγεβρικα κλειστο ή περιεγχεται γνησια σε καποιο τετοιο"

αυτο το θεωρημα εκλεισε οριστικα το ζητημα που αφορουσε στις ριζες των πολυωνυμικων εξισωσεων.

μπορεις να διαβασεις αναλυτικα για το θεμα στο βιβλιο "ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ" του john .b. fraleigh (πανεπιστημιακες εκδοσεις κρητης -μεταφραση Α.Γιαννοπουλος)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Αυτό το site που αναφέρεις είναι τού κ. Ν. Μαυρογιάννη ενός πολύ μεγάλου μαθηματικού κατά γενική ομολογία ο οποίος τυγχάνει γενικής αποδοχής.

Ποιός ξέρει ότι ο ορισμός της κυρτής συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ δεν είναι ο ελλιπέστατος ορισμός τού βιβλίου αλλά ο γνήσιος πού λέει το εξής:

Η συνάρτηση f(x) είναι κυρτή στο Δ αν γιά κάθε χ,ψ τού Δ ισχύει f(κx+λy)<= κf(x)+λf(y) όπου κ,λ ανήκουν στο [0,1] μέ κ+λ=1.

Εγώ από αυτό τον άνθρωπο το έμαθα.
Εσύ βέβαια "παιδί μου" όπως θα έλεγαν καί οι παλιοί καθηγητές, μάλλον υποτιμητικά σε δύσκολους καιρούς, θα μάθεις γι' αυτά αργότερα, αλλά με τη φόρα πού έχεις πάρει σε βλέπω να εντρυφείς νωρίτερα.

Γενικά οποιοδήποτε σωστό πανεπιστημιακό βιβλίο μαθηματικών το αναφέρει αυτό. Για την ακρίβεια όχι έτσι , αλλά λίγο τροποποιημένα.


Επί την ευκαιρία, ο κ. Μαυρογιάννης έχει μαζέψει όντως μία μεγάλη συλλογή ασκήσεων.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Έστω f:R-->R για την οποία ισχύει


Να αποδείξετε ότι:
α)f "1-1"
β)f(A)=R (συνολο τιμών το R)
γ)
δ)f συνεχής στο R

To β) και το δ) είναι παλουκάκια...

Έχω καιρόοοο να ανοίξω το βοήθημα του Στεργίου, αλλά πρέπει η άσκηση να 'ναι από εκεί..

Λογικά για τη συνέχεια είναι εκείνο το τρικάκι με το f(xo) ε; Και μετά Διαίρεση με x-xo και κατέληγες σε μια ανίσωση, από όπου έβγαινε και το συμπέρασμα της συνέχειας..... Ε ρε νιάτα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

Β) η σχεση f(x)=y εχει λυση ως προς χ στους πραγματικους για καθε ψ επειδη το λεει η υποθεση (χ=y^3+2y) αρα η συναρτηση παιρνει ολες τις τιμες

δ) χ-χ_0=f^3(x)+2f(x)-(f^3(x_0)+2f(x_0)) κανουμε παραγοντοποιηση και παιρνουμε απολυτα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Αν εγώ στις εξετάσεις δεν μπορούσα να χρησιμοποιήσω τον ορισμό άμεσα αλλά τού έγραφα ότι επειδή η αντίστροφη είναι πολυωνυμική άρα συνεχής και επειδή τα συμμετρικά σχήματα είναι όμοια, έτσι καί η f(x) δεν μπορεί παρά να είναι συνεχής.Θα το έπαιρνε σωστό?
Νομίζω πως θα έπρεπε να το πάρει σωστό αλλιώς γιατί να μαθαίνουμε ότι τα γραφήματα δύο αντιστρόφων συναρτήσεων είναι συμμετρικά ως προς την y=x?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[bobiras11]

Αν εγώ στις εξετάσεις δεν μπορούσα να χρησιμοποιήσω τον ορισμό άμεσα αλλά τού έγραφα ότι επειδή η αντίστροφη είναι πολυωνυμική άρα συνεχής και επειδή τα συμμετρικά σχήματα είναι όμοια, έτσι καί η f(x) δεν μπορεί παρά να είναι συνεχής.Θα το έπαιρνε σωστό?
Νομίζω πως θα έπρεπε να το πάρει σωστό αλλιώς γιατί να μαθαίνουμε ότι τα γραφήματα δύο αντιστρόφων συναρτήσεων είναι συμμετρικά ως προς την y=x?

Αυτό μου είπε και ο καθηγητής μου. Αλλά το έλυσε καλού κακού και με την ανίσωση που βγαίνει με τη παραγοντοποίηση.
-----------------------------------------

Β) η σχεση f(x)=y εχει λυση ως προς χ στους πραγματικους για καθε ψ επειδη το λεει η υποθεση (χ=y^3+2y) αρα η συναρτηση παιρνει ολες τις τιμες

Εννοείς, επειδή είναι 3ου βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

αν μια συναρτηση ειναι συνεχης και 1-1 τοτε η αντιστροφη της δεν ειναι κατ αναγκην συνεχης!!

προσπαθειστε να βρειτε ενα αντιπαραδειγμα για αυτο
-----------------------------------------

-----------------------------------------


Εννοείς, επειδή είναι 3ου βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα?

οχι,εννοω οτι η σχεση f(x)=y ειναι ηδη λυμενη ως προς χ απο την υποθεση.δεν παιζει ρολο ο τυπος της.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

αν συνεχεις με να δειξετε οτι ωστε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[george_k214]

Το 3ο θέμα είναι πολύ καλό και προτέινω σε όλους να το λύσουν!

Εχω κολλήσει ομως στο 2ο θέμα!(μπορεί βέβαια να χρειάζεται κάτι που είναι πιο μετά στην ύλη,αν και δεν νομίζω-μιλάω για το α' ερώτημα)!]

link:https://www.ypepth.gr/themata/them_mat_kat_c_hmer_epan_0604.pdf

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[miv]

Πιθανολογώ ότι για να ισχύει το ζητούμενο, πρέπει η μονοτονία της f να είναι τέτοια ώστε να μη δίνει αρνητικές τιμές για την f σε κανένα χ που ν'ανήκει στα διαστήματα που οριζουν οι ρίζες της παραγώγου της f. Δεν μπόρεσα να το λύσω ούτε εγώ, αλλά κάπως έτσι θα σκεφτόμουν να το πάω.
Το δεύτερο νομίζω σχετίζεται με το ορισμένο ολοκλήρωμα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[andreas157]

το είχα κάνει πέρυσι αυτό...θα ψάξω για την λύση και θα το βαλω

edit: την έβγαλα γιατι βαριέμαι να βρω τις περσινές ασκήσεις(δεν ξερω και που τις εχω)

f(0) = 0
f(x) >= f(0) αρα για χ = 0 ελαχιστο. Με Θ Fermat εχεις ότι f'(0) = 0
άρα βρίσκεις πρώτη παράγωγο βάζεις όπου χ το 0 και βρίσκεις το m που βγαίνει 10.
αφού βγήκε 10 έχεις ότι f(x)>=0 άρα θα βρείς το ολοκλήρωμα απο 0 μέχρι 1 της f(x)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

αν μια συναρτηση ειναι συνεχης και 1-1 τοτε η αντιστροφη της δεν ειναι κατ αναγκην συνεχης!!

προσπαθειστε να βρειτε ενα αντιπαραδειγμα για αυτο
-----------------------------------------

Αυτό θάπρεπε να μας το πείτε εσείς.Εμείς έχουμε καί διαβάσματα πολλά και όχι μόνο στα Μαθηματικά γιά να τρώμε τόσο πολύ χρόνο ψάχνοντας γιά κάτι που δεν πιστεύουμε ότι υπάρχει.Σίγουρα δεν μπορούμε να βρούμε τέτοια συνάρτηση που η αντίστροφή της να μην είναι συνεχής γραμμή!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

αυτη η συναρτηση ειναι συνεχης στο πεδιο ορισμου της,αλλα η αντιστροφη της



ειναι ασυνεχης στο 1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Βρείτε μου μία που να το κάνει αυτό όταν είναι ορισμένη σε διάστημα όπως στην άσκηση και όχι σε ένωση διαστημάτων!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

υπαρχει το λ, γιατι αν βαλουμε λ=0 αρκει νδο f(x)>=g(x) που ισχυει απο υποθεση(α>β συνεπαγεται α>=β).

μηπως η σχεση υποθεσης ηταν με ισον και η προς αποδειξη χωρις ισον?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

συγγνωμη,η ασκηση ζηταει λ>0.ευχαριστω πολυ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

μπραβο πολυ καλη ερωτηση,κι εγω αυτο σκεφτομουν.θα προσπαθησω να δειξω οτι αυτο δε γινεται,οτι δηλαδη

αν μια συναρτηση ειναι 1-1 σε διαστημα και ειναι συνεχης τοτε και η αντιστροφη της ειναι συνεχης.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

οι συναρτησεις ειναι ορισμενες στο [α,β] και οχι στο R.
επομενως η ασκηση ειναι η εξης:

"αν f(x)>g(x) για καθε x στο [α,β] και f,g συνεχεις,νδο υπαρχει λ>ο ωστε f(x) μεγαλυτερο ή ισο απο g(x) για καθε x στο [α,β] "

ευχαριστω πολυ τον manos66 για την σωστη υποδειξη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Semfer]

"αν f(x)>g(x) για καθε x στο [α,β] και f,g συνεχεις,νδο υπαρχει λ>ο ωστε f(x) μεγαλυτερο ή ισο απο g(x) για καθε x στο [α,β] "

Το λ τι ρολο παιζει?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.