Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

nikoslarissa · 2013-02-16T14:10:00+0200

Θεωρουμε τις ευθειες
ε1: χ-2y+5=0
ε2: 3χ+2y+7=0
Εχει αποδειχθει στην εφαρμογη 1 της 2.2 οτι η:
(χ-2y+5)+λ(3χ+2y+7=0 (1)
παριστανει ευθεια για καθε λeR και οτι ολες αυτες οι ευθειες διερχονται απο το Κ(-3,1)
νδο
Α.Απο την (1) για διαφορετικες τιμες του λ προκυπτουν διαφορετικες ευθειες.
Β.Δεν υπαρχει πραγματικη τιμη της παραμετρου λ, ωστε η (1) να μας δινει την ευθεια ε2
Γ.Η εξισωση: μ(χ-2y+5)+λ(3χ+2y+7)=0 (*) με λ,μ διαφοροι του 0, παριστανει ευθεια (για καθε λ,μeR), η οποια διερχεται απο το σημειο Κ(-3,1).Η (*) μας δινει την ε2;
Δ.Η (1) μας δινει για τις διαφορες τιες της παραμετρου λ ολες τις ευθειες του επιπεδου,που διερχονται απο το σημειο Κ(-3,1) πλην της ε2.

rebel · 2013-02-28T16:40:03+0200

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC, \hat{A}=\frac{\pi}{2}$ . Με διάμετρο την $AC$ γράφουμε κύκλο που τέμνει την $BC$ στο $D$ . Να δειχθεί ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο $D$ περνά από το μέσο στου $AB$

Guest 018946 · 3 Μαρτίου 2013 στις 10:03

Βαζω το τριγωνο σε ενα ορθοκανονικο συστημα συντεταγμενων .

με $A(0,0) , B(a,0) , C(0,b) , a,b>0$

και κεντρο του κυκλου $K(0,\frac{b}{2}) , \quad R= \frac{b}{2}$

με τα πολλα βγαζω εξισωση κυκλου και της ΒΓ

$C : x^2+(y-\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2})^2$

$BC : y=-\frac{b}{a}x+b$

λυνω το συστημα τους και παιρνω το Δ $D(\frac{ab^2}{a^2+b^2},\frac{a^2b}{a^2+b^2})$

εστω g η εφαπτομενη θα ειναι $l_{g}=\frac{-1}{l_{kd}} \Leftrightarrow l_{g}=-\frac{2ab}{a^2+b^2}$

αρα $g : \quad y-\frac{a^2b}{a^2+b^2}=-\frac{2ab}{a^2+b^2}(x-\frac{ab^2}{a^2+b^2})$

προφανως και επαληθευεται απο το $M(\frac{a}{2},0)$ ( με του πουστη τις πραξεις βεβαια )

rebel · 6 Μαρτίου 2013 στις 01:45

Δίνονται τα μη συγγραμικά διανύσματα $\vec{a},\vec{b}$ με $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ . Αν ισχύει $\left(\vec{a} \cdot \vec{x} \right) \vec{x} + \left( \vec{x} \cdot \vec{b} \right) \vec{b} = \vec{0}$ να εκφράσετε το $\vec{x}$ συναρτήσει των $\vec{a},\vec{b}$

Δεν έχω λύση

IasonasM · 6 Μαρτίου 2013 στις 02:54

Δεν είμαι σίγουρος ότι είναι σωστό αλλά :

Με κεφαλαία τα διανύσματα και μερικές φορές "0" είναι το μηδενικό διάνυσμα

.
ΑΒ διάφορο 0 => Α διάφορο 0 και Β διάφορο 0
(ΑΧ)Χ +(ΒΧ)Β=0 * => Χ=(-ΒΧ/ΑΧ)*Β δηλαδή Χ=λΒ
Τότε, λ²(ΑΒ)Β+λ(Β)²Β=0 =>λ(λΑΒ+Β²)Β=0 => λ=-Β²/ΑΒ ή λ=0
Άρα Χ = (-Β²/ΑΒ)Β ή Χ=0
[* Πρέπει νδο ΑΧ διάφορο 0. Για Χ διάφορο 0:
ΑΧ=0=> Α κάθετο Χ
ΑΧ=0=> (ΒΧ)Β=0 => ΒΧ=0 => Β κάθετο Χ
Δηλαδή Χ κάθετο Α και Χ κάθετο Β άρα Α,Β παράλληλα, άτοπο άρα όντως ΑΧ διάφορο 0 (για Χ διάφορο 0). ]

rebel · 6 Μαρτίου 2013 στις 03:34

Σωστό φαίνεται, μπράβο. Το μόνο πρόβλημα ήταν να δείξουμε ότι $\vec{a} \vec{x} \neq 0$

rebel · 16 Μαρτίου 2013 στις 03:44

Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού $k$ ώστε οι ευθείες $(\epsilon_1): kx+y+2=0,\,\,\,(\epsilon_2): x+ky+k=0,\,\,\,(\epsilon_3): x+y+k=0$ να συντρέχουν.

Πηγή

Alexl1996 · 16 Μαρτίου 2013 στις 08:26

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού $k$ ώστε οι ευθείες $(\epsilon_1): kx+y+2=0,\,\,\,(\epsilon_2): x+ky+k=0,\,\,\,(\epsilon_3): x+y+k=0$ να συντρέχουν.

Πηγή

Να συντρέχουν σημαίνει να είναι παράλληλες και οι 3;

rebel · 16 Μαρτίου 2013 στις 13:09

Να διέρχονται από το ίδιο σημείο.

nikoslarissa · 27 Μαρτίου 2013 στις 22:28

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού $k$ ώστε οι ευθείες $(\epsilon_1): kx+y+2=0,\,\,\,(\epsilon_2): x+ky+k=0,\,\,\,(\epsilon_3): x+y+k=0$ να συντρέχουν.

Πηγή

Βρισκω 2 λυσεις ριζα 2 και μειον ριζα 2.Δεν ξερω αν ειναι οι μοναδικες.

aggressive · 2013-09-21T18:42:03+0300

Επειδή έχει ψοφήσει το θέμα

, βάζω μια άσκηση πάνω στα διανύσματα.

Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα $\vec{\alpha }$ και $\vec{\beta }$ , με $\left|\vec{\alpha }\right|=2$ και $\left|\vec{\beta }\right|=3$ . ΝΑΟ για οποιοδήποτε διάνυσμα $\vec{\gamma }$ ισχύει ότι: $\left|\vec{\alpha }+\vec{\gamma }\right|+\left|\vec{\beta }-\vec{\gamma }\right|\geq 5$

Αα και μια ερώτηση. Το βοήθημα του μπάρλα για τα μαθηματικά κατ, έχει γενικά δύσκολες ασκήσεις?

rebel · 3 Οκτωβρίου 2013 στις 15:11

Αρχική Δημοσίευση από aggressive:
Επειδή έχει ψοφήσει το θέμα , βάζω μια άσκηση πάνω στα διανύσματα.

Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα $\vec{\alpha }$ και $\vec{\beta }$ , με $\left|\vec{\alpha }\right|=2$ και $\left|\vec{\beta }\right|=3$ . ΝΑΟ για οποιοδήποτε διάνυσμα $\vec{\gamma }$ ισχύει ότι: $\left|\vec{\alpha }+\vec{\gamma }\right|+\left|\vec{\beta }-\vec{\gamma }\right|\geq 5$

Αα και μια ερώτηση. Το βοήθημα του μπάρλα για τα μαθηματικά κατ, έχει γενικά δύσκολες ασκήσεις?

Μια και πέρασε καιρός...από τριγωνική ανισότητα για κάθε $\vec{\gamma}$ είναι
$\left|\vec{\alpha }+\vec{\gamma }\right|+\left|\vec{\beta }-\vec{\gamma }\right|\geq \left|\vec{\alpha}+\vec{\gamma }+\vec{\beta}-\vec{\gamma }\right|=\left|\vec{\alpha}+\vec{\beta}\right|,\,\,(*)$
Όμως τα $\vec{\alpha },\vec{\beta}$ είναι ομόρροπα, επομένως ισχύει η ισότητα $\left|\vec{\alpha}+\vec{\beta}\right|=\left|\vec{\alpha}\right|+\left|\vec{\beta}\right|$ . Άρα από την (*) έχουμε
$\left|\vec{\alpha }+\vec{\gamma }\right|+\left|\vec{\beta }-\vec{\gamma }\right|\geq \left|\vec{\alpha}\right|+\left|\vec{\beta}\right|=2+3=5$
που είναι και το ζητούμενο.

Άσκηση
Δίνεται τετράπλευρο $ABCD$ με $\widehat{A}=\widehat{C}=\frac{\pi}{2}$ . Αν $K,L$ είναι τα μέσα των διαγωνίων του $AC$ και $BD$ αντιστοίχως, να δείξετε ότι $KL \perp AC$

Λύνεται τόσο καθαρά διανυσματικά όσο και με συντεταγμένες + διανύσματα

aggressive · 5 Οκτωβρίου 2013 στις 00:54

Μην βάλεις προς το παρόν λύση, θα προχωρήσω λίγο την ύλη και θα την προσπαθήσω.

rebel · 5 Οκτωβρίου 2013 στις 01:40

Εντάξει. Απλά νόμιζα ότι είχατε κάνει και εσωτερικό γινόμενο.

Guest 018946 · 5 Οκτωβρίου 2013 στις 11:47

ισχυει απο τα δεδομενα : ΒΑ*ΑΔ=0
ΒΓ*ΓΔ=0

ειναι μετα απο πραξεις ΚΛ=(ΑΔ+ΓΒ)/2

ΑΓ=ΑΔ+ΔΓ

αρκει (ΑΔ+ΓΒ)(ΑΔ+ΔΓ)=0 <=> |ΑΔ|^2+ΑΔ*ΔΓ+ΓΒ*ΑΔ+ΓΒ*ΔΓ=0

<=> |ΑΔ|^2+ΑΔ(ΔΓ+ΓΒ)=0
<=> |ΑΔ|^2+ΑΔ(ΔΒ)=0
<=> |ΑΔ|^2+ΑΔ(ΑΒ-ΑΔ)=0
<=> |ΑΔ|^2-|ΑΔ|^2+ΑΔ*ΑΒ=0
<=> ΑΔ*ΑΒ=0

που ισχυει λογω των σχεσεων που εγραψα στην αρχη

επειδη βαριεμαι
βασικα

vasilakis13 · 2013-12-14T21:44:55+0200

δεν βρηκα το αναλογο θεμα και ειπα να γραψω εδω μια απορροια που εχω για την αλγεβρα

οταν μας δινει την f(x)=ημ(3χ-π/6) πως βγαζουμε την περιοδο?

photon · 2013-12-14T22:14:10+0200

Αρχική Δημοσίευση από vasilakis13:
δεν βρηκα το αναλογο θεμα και ειπα να γραψω εδω μια απορροια που εχω για την αλγεβρα
οταν μας δινει την f(x)=ημ(3χ-π/6) πως βγαζουμε την περιοδο?

Η συνάρτηση είναι της μορφής f(x)=ημ(ωx±θ) άρα η περίοδος είναι T=2π/ω. Στο παράδειγμά σου ω=3=> Τ=2π/3

vasilakis13 · 2013-12-14T22:29:56+0200

αρα το θ δεν το λαμβανουμε υποψιν,οκ ευχαριστω!!

Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

nikoslarissa

Δραστήριο μέλος

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

IasonasM

Εκκολαπτόμενο μέλος

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Alexl1996

Πολύ δραστήριο μέλος

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

nikoslarissa

Δραστήριο μέλος

aggressive

Πολύ δραστήριο μέλος

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

aggressive

Πολύ δραστήριο μέλος

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

vasilakis13

Δραστήριο μέλος

photon

Νεοφερμένο μέλος

vasilakis13

Δραστήριο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες