Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 21-10-12

Προσπάθησε να θεωρήσεις κάποιο σύστημα συντεταγμένων.

Guest 018946 · 21-10-12

σε χανω

rebel · 21 Οκτωβρίου 2012

Μπορείς να τοποθετήσεις τις κορυφές του τριγώνου σε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως για παράδειγμα στο σχήμα.

Αν τώρα $O(x,y)$ το τυχαίο σημείο τότε...
Επεξεργασία: Διορθώθηκε λάθος στις συντεταγμένες

Guest 018946 · 21-10-12

κατσε ρε πως εχει το Γ τεταγμενη μηδεν ;

antwwwnis · 21-10-12

Γ(α/2, α ριζα3/2)

Guest 018946 · 21-10-12

αμα το βλεπω σωστα θελει εναν τετραγωνισμο και μετα ενα συστηματακιο και νομιζω βγαινει

Guest 018946 · 19-11-12

Τεταρτο θεματακι απο διαγωνισμα χτεσινο : το βαζω και χαζευετε

Δινονται τα διανυσματα $\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}$ για τα οποια ισχυουν $|\vec{a}|=2 , |\vec{b} |=3 , \vec{a} \perp ( \vec{a}- \vec{b}) \quad ( \vec{c}+3 \vec{a} ) \perp \vec{b}$

a) Νδο $\vec{a} \vec{b}=4 \quad \quad \vec{b} \vec{c}=-12$
b)Νδο $| \vec{a}- \vec{b}|=\sqrt{5}$
c)Να βρεθει ο λ ωστε να ισχυει $\vec{c}-2 \vec{a}=\lambda( \vec{a}- \vec{b})$

IasonasM · 19-11-12

όσα είναι διανύσματα είναι με κεφαλαία γράμματα γιατί δεν μπορώ με το latex

Α κάθετο (Α-Β) => Α(Α-Β)=0 => Α^2 = Α*Β => Α*Β = |Α|^2 = 4
(Γ + 3Α) κάθετο Β => (Γ+3Α)*Β=0 => ΒΓ=-3ΑΒ= -12
|Α-Β| =sqrt(5) <=> |A-B|^2 = 5 <=> (A-B)^2=5 <=> A^2 + B^2 - 2AB = 5 <=> |A|^2 + |B|^2 - 2AB = 5 <=> 4 + 9 - 8 = 5 <=> 5 = 5 ισχύει
Γ - 2Α = λ(Α-Β) <=> Γ = λΑ-λΒ + 2Α => ΒΓ = λΑΒ - λ|Β|^2 + 2ΑΒ <=> -12 = 4λ - 9λ + 8 <=> 5λ = 20 <=> λ=4
πως δείχνουμε όμως ότι το => είναι " <=>" ;

rebel · 19 Νοεμβρίου 2012

Έχεις ουσιαστικά αποδείξει ότι αν υπάρχει τέτοιο λ τότε αυτό θα είναι το 4. Ανάποδα δεν μπορείς να πας στην συνεπαγωγή που έχεις βάλει. Μπορείς όμως να δείξεις ότι για το συγκεκριμένο λ (λ=4) ικανοποιούνται οι τέσσερις αρχικές υποθέσεις της άσκησης και τότε έχεις τελειώσει (ουσιαστικά μόνο την τελευταία αρκεί να δείξεις $(\vec{c}+3\vec{a}) \perp \vec{b}$ αφού οι τρεις πρώτες είναι άσχετες με το διάνυσμα c)

sydney96 · 24-11-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Τεταρτο θεματακι απο διαγωνισμα χτεσινο : το βαζω και χαζευετε

Δινονται τα διανυσματα $\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}$ για τα οποια ισχυουν $|\vec{a}|=2 , |\vec{b} |=3 , \vec{a} \perp ( \vec{a}- \vec{b}) \quad ( \vec{c}+3 \vec{a} ) \perp \vec{b}$

a) Νδο $\vec{a} \vec{b}=4 \quad \quad \vec{b} \vec{c}=-12$
b)Νδο $| \vec{a}- \vec{b}|=\sqrt{5}$
c)Να βρεθει ο λ ωστε να ισχυει $\vec{c}-2 \vec{a}=\lambda( \vec{a}- \vec{b})$

Και έλεγα τι μου θυμίζει...

Αυτό μπήκε και στο δικό μας διαγώνισμα σαν θέμα Γ με δύο επιπλέον ερωτήματα.

Για λ=4,να γραφεί το διάνυσμα γ σαν γραμμικός συνδυασμός των α,β.

Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων γ και α-β είναι οξεία.

Αν θες σου βάζω και το 4ο.Είναι ωραίο θεματάκι.

Guest 018946 · 24-11-12

Δωστο

sydney96 · 25-11-12

Δίνονται τα διανύσματα α=ΟΑ,β=ΟΒ , γ=ΟΓ με |α|=|β|=3 |γ|=ρίζα 7

και α+2β-3γ=0
Α.Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά
Β.Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα αβ,βγ,γα
Γ.Να υπολογίσετε τη γωνία (α,β) και τη γωνία του διανύσματος u=(|α|,-|β|) με τον άξονα χ'χ
Δ. Αν για το διάνυσμα χ ισχύουν: χ//(β-γ) και (χ+α)_|_(β+γ) να αποδείξετε ότι χ=-21(β-γ)/4 και να υπολογίσετε το |χ|.

IasonasM · 18-12-12

@ styt_geia : Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια

(αργά μεν, είχα ξεχάσει να απαντήσω

)

Μία ωραία άσκηση που μας έβαλαν. (με κεφαλαία γράμματα είναι τα διανύσματα.)
Ισχύει ότι |Α-Β|=2*|Β-Γ|=4*|Γ-Α|
Νδο Α=Β=Γ

rebel · 19 Δεκεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν για τυχαίο σημείο Ο στο επίπεδο ισόπλευρου τριγώνου $ABC$ ισχύει
$r\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ τότε να βρεθεί η ικανή και αναγκαία σχέση μεταξύ των $r,s,t$ ώστε $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC}$

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μπορείς να τοποθετήσεις τις κορυφές του τριγώνου σε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως για παράδειγμα στο σχήμα.

Αν τώρα $O(x,y)$ το τυχαίο σημείο τότε...
Επεξεργασία: Διορθώθηκε λάθος στις συντεταγμένες

Μετά από καιρό βάζω λύση. Πρώτα θα εκφράσουμε τις συντεταγμένες του Ο συναρτήσει των γνωστών και σταθερών $a,r,s,t$ και μετά θα προχωρήσουμε από την καθετότητα που δίνει με ισοδυναμίες.
Από την δοθείσα σχέση και το παραπάνω σχήμα λοιπόν έχουμε
$r\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \\ r\left(\frac{a}{2}-x,\frac{a\sqrt{3}}{2}-y\right)+s(-x,-y)+t(a-x,y)=(0,0) \Leftrightarrow \begin{cases}(r+s+t)x=\frac{ra}{2}+ta \\ (r+s+t)y=\frac{ra\sqrt{3}}{2} \end{cases},\,\,\,(1)$
Αν ήταν $r+s+t=0$ τότε από την αρχική σχέση θα είχαμε $r\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+(-r-s)\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow r\overrightarrow{CA}+s\overrightarrow{CB}=\vec{0}$ . Δηλαδή τα Α,Β,C θα ήταν συνευθειακά, άτοπο. Άρα $r+s+t \neq 0$ και από (1) παίρνουμε
$\begin{cases} x=\frac{\left(\frac{r}{2}+t\right)a}{r+s+t} \\ y=\frac{ \frac{ra\sqrt{3}}{2}}{r+s+t}\end{cases}$
Έυκολα τώρα βρίσκουμε ότι
$\overrightarrow{AO}=-\frac{a}{2(r+s+t)}\left(s-t,(s+t)\sqrt{3}\right)$
$\overrightarrow{CO}=-\frac{a}{2(r+s+t)}\left(r+2s,-r\sqrt{3}\right)$
οπότε
$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{CO} =0 \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{s^2-(r+t)s-2rt=0}$
Για την ιστορία η άσκηση είναι από το περιοδικό "Ευκλείδης Β'" τεύχος 61. Όταν βρω καμία καλή θα ξαναβάλω.

Guest 018946 · 19-12-12

Αρχική Δημοσίευση από IasonasM:
@ styt_geia : Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια (αργά μεν, είχα ξεχάσει να απαντήσω )

Μία ωραία άσκηση που μας έβαλαν. (με κεφαλαία γράμματα είναι τα διανύσματα.)
Ισχύει ότι |Α-Β|=2*|Β-Γ|=4*|Γ-Α|
Νδο Α=Β=Γ

θετω χ=α-β , ψ=β-γ , ζ=γ-α

χ+ψ+ζ=0
|χ|^2=|ψ|^2+|ζ|^2+2ψζ <=> (4|ψ|^2+16|ζ|^2)/2=|ψ|^2+|ζ|^2+2ψζ <=> |ψ|^2-2ψζ+6|ζ|^2=0 <=> (ψ-ζ)^2+6ζ^2=0
αρα ζ=0 αρα γ=α αρα και β=γ και α=β αρα α=β=γ

rebel · 19-12-12

Αλλιώς από τριγωνική ανισότητα είναι
$|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{c}+\vec{c}-\vec{b}| \leq |\vec{a}-\vec{c}|+|\vec{c}-\vec{b}|=\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{4}+\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{2} \Rightarrow \\ |\vec{a}-\vec{b}|\leq 0 \Rightarrow |\vec{a}-\vec{b}|=0 \Rightarrow \vec{a}-\vec{b}=0$
Από την δοθείσα σχέση είναι
$|\vec{b}-\vec{c}|=|\vec{a}-\vec{c}|=0 \Rightarrow \vec{a}=\vec{b}=\vec{c}$

Guest 018946 · 20-12-12

Ωραιος

IasonasM · 31-12-12

$\left | \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right | = \left | \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \right | = \left | \vec{c} \right | = 1$
Νδο $\left | \vec{a} \right | \leq 2$

rebel · 26-01-13

$\left|2 \vec{a}\right|=\left|2\vec{a}-2\vec{c}+2\vec{c}\right|=\left|\left(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\right)+\left(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\right)-2 \vec{c}\right| \leq \\ \left|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\right|+\left|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\right|+2\left|\vec{c}\right|=4 \Rightarrow \left| \vec{a}\right| \leq 2$
και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

tweetyslvstr · 31-01-13

Παιδιά καλησπέρα! θα μπορούσε κανείς να με βοηθήσει να λύσω την εξής άσκηση γιατί έχω δυσκολευτεί αρκετά :hmm:

. Λοιπόν η άσκηση έχει ως εξής: Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α(-2,4) και Γ(1,2). Βρείτε τις δύο άλλες κορυφές. Παρακαλώ απαντήστε μου σύντομα.

Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος