Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[ξαροπ]

Αν ,

τότε

για λ διάφορο -1 και S τυχαίο σημείο του επιπέδου.

(για λ = 1 προκύπτει το θεώρημα διανυσματικής ακτίνας μέσου τμήματος)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[antwwwnis]

Η άσκηση που έδωσα:
α) βασίζεται σε βασικές γνώσεις διανυσμάτων (προσθεση, αφαίρεση, σημείο αναφοράς κτλ)
β) περιέχει απόδειξη μιας ισοδυναμίας, που ζητείται συχνά σε αποδείξεις του βιβλίου και σε ασκήσεις, αλλά είναι και έννοια που πρέπει να καταλάβετε φέτος.

Τάσο όρμα και άλλαξε της τα μπρέκια.

Επίσης, ξάροπ, νομίζω πως ο λόγος διανυσμάτων μπορεί να μπερδέψει τους μαθητές. Δεν είχα δει κάτι τέτοιο στο βιβλίο ούτε σε κάποιο βοήθημα, αν θυμάμαι καλά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

Αν ,

τότε

για λ διάφορο -1 και S τυχαίο σημείο του επιπέδου.

(για λ = 1 προκύπτει το θεώρημα διανυσματικής ακτίνας μέσου τμήματος)

παω στην κατω και έχω
που ισχυει , για του αντωναρου κατι σκεφτομαι αλλα καταληγω σε οτι να ναι αποτελεσμα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

για του αντωνη :

Tο ευθη μου ζηταει να δείξω οτι

που ισχυει .
Για τον αντιστροφο δεν εχω καμια ιδεα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[antwwwnis]

Ένα τιπ:

Spoiler

Αν α=ΑΒ και β=ΒΓ, Α,Β,Γ κορυφές τριγώνουν, αρκει να δείξομε πως γ=ΓΑ

Αν είναι δυνατό, προσπαθήστε να βάζετε spoiler στις λύσεις σας!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

ε ας πουμε το

εγω οπως ειμαι ξερω εγω δεν μπορω να καταλαβω απο που συμπαιρανες το αρκει .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[antwwwnis]

ε ας πουμε το

εγω οπως ειμαι ξερω εγω δεν μπορω να καταλαβω απο που συμπαιρανες το αρκει .

Έχεις τυπογραφικό λάθος, καταρχην.
Σε διευκολύνει το σχήμα;
Εχουμε τα δύο διανυσματα, α,β, φτιάχνουμε τη γωνία.
Για να γινει τριγωνο, πρέπει το c να ισούται με το ΓΑ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

Edit: Θεωρηστε οτι στο τριγωνο που δημιουργείται, το πέρας του ενός διανυσματος αποτελεί την αρχή του άλλου.

ξερω οτι το α και β σχηματιζουν γωνια λογω αυτου ;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[antwwwnis]

ξερω οτι το α και β σχηματιζουν γωνια λογω αυτου ;

Πάντοτε σχηματιζουν γωνία τα 2 διανύσματα. Αν δεν είναι παράλληλα, τοτε σχηματίζουν γωνία διαφορη του 0.
Δες το εντελώς σχηματικά το θέμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Να αποδειχτεί ότι:
Με πλευρές τα μη συγγραμικά διανύσματα α,β,γ μπορούμε να σχηματισουμε τριγωνο αν και μόνο αν α+β+γ=0
Ευθύ και αντίστροφο λοιπόν. Για να δουμε.

α) Αν τα μη συγγραμμικά διανύσματα α, β, γ σχηματίζουν τρίγωνο τότε α+β+γ=0

Τα διανύσματα α, β, γ σχηματίζουν τρίγωνο ΑΒΓ όπου α=ΓΒ, β=ΑΓ και γ=ΒΑ (διανύσματα), οπότε έχουμε

α+β+γ=ΓΒ+ΑΓ+ΒΑ=ΑΓ+ΓΒ+ΒΑ=ΑΑ=0 => α+β+γ=0

β) Αν για τα μη συγγραμμικά διανύσματα α, β, γ ισχύει α+β+γ=0 τότε αυτά σχηματίζουν τρίγωνο

Σχεδιάζουμε τα διανύσματα έτσι ώστε α=ΓΒ, β=ΓΓ΄ και γ=ΒΑ (δηλαδή το πέρας του ενός είναι η αρχή του άλλου), οπότε έχουμε

α+β+γ=ΓΒ+ΑΓ΄+ΒΑ=ΓΒ+ΒΑ+ΑΓ΄=ΓΓ΄

Επειδή ισχύει α+β+γ=0 τότε πρέπει να ισχύει ΓΓ΄=0 που σημαίνει ότι το Γ΄ ταυτίζεται με το Γ και επομένως τα διανύσματα α, β και γ σχηματίζουν τρίγωνο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Δινονται τα διανυσματα και για τα οποια ισχυουν .
Να αποδειξετε οτι
Α.
Β.Η γωνια των διανυσματων α και β ειναι 60 μοιρες.
Γ.Τα διανυσματα ειναι παραλληλα.

Α. υy=(α+2β)(5α-4β)=α(5α)+α(-4β)+(2β)(5α)+(2β)(-4β)=5(α^2)-4(αβ)+10(αβ)-8(β^2)=5(α^2)-8(β^2)+6(αβ)=5(|α|^2)-8(|β|^2)+6(αβ)

υ κάθετο y => (υ,y)=π/2 => υy=0 => 5(|α|^2)-8(|β|^2)+6(αβ)=0 => αβ=[5(|α|^2)-8(|β|^2)]/6 => αβ=[5*(1^2)-8*(1^2)]/6=3/6=1/2

Άρα αβ=1/2

Β. αβ=|α||β|συν(α,β) => συν(αβ)=αβ/(|α||β|) => συν(α,β)=(1/2)/(1*1)=1/2 => συν(α,β)=συν(π/3)

Άρα (α,β)=2κπ-(π/3) ή (α,β)=2κπ+(π/3) όπου κ ακέραιος. Ξέρουμε ότι 0<(α,β)<π/2

- 0<2κπ-(π/3)<π/2 => π/3<2κπ<5π/6 => 1/6<κ<5/12 => δεν υπάρχει ακέραιος κ στο διάστημα (1/6,5/12)

-0<2κπ+(π/3)<π/2 => -π/2<2κπ<π/6 => -1/4<κ<1/12 => ο μοναδικός ακέραιος στο διάστημα (-1/4,1/12) είναι ο κ=0, οπότε για κ=0 προκύπτει (α,β)=π/3

Άρα (α,β)=π/3 rad =60 μοίρες

Γ.

γ=υ+y => γ=(α+2β)+ (5α-4β) => γ=6α-2β
δ=3α-β

Επομένως γ=6α-2β=2(3α-β)=2δ => γ=2δ => άρα γ//δ και συγκεκριμένα γ ομόρροπο δ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

ελα να βλεπω κινηση

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nikoslarissa]

Ας βαλω μια ευκολη που ειχαμε για το φροντιστηριο σημερα:
Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διαμεσος ΑΜ.Αν 5ΑΔ=3ΑΓ και ΑΕ=3ΕΜ,να αποδειξετε οτι τα σημεια Β,Ε,Δ ειναι συνευθειακα.(Δινεται οτι ΑΒ=α και ΑΓ=β)
Υ.Γ.Σορρυ αλλα δεν γνωριζω Latex.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

Γεια παιδες ας βαλω μια καλη ασκησουλα γιατι εχει νεκρωσει ,εδω , το θεματακι

Έστω σταθερά μη συνευθειακά σημεία. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου του τριγώνου για τα οποία ισχύει:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[IasonasM]

έστω G τo βαρύκεντρο του ABC και D το μέσο του BC

από το βαρύκεντρο έχουμε

ο γεωμετρικός τόπος των σημείων P του επιπέδου είναι κύκλος με κέντρο το βαρύκεντρο G του τριγώνου και ακτίνα ρ=AG

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

Έστω τρίγωνο και το βαρύκεντρό του. Να δειχθεί ότι

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

έχω

Ισυδυναμα η σχεση μου γινεται

άρα αφου τα διανυσματα ειναι συγγραμικα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[giannis19961]

θελω μια βοηθεια παιδια οποιος μπορει..



δινεται τριγωνο ΑΒΓ με Γ=120 μοιρες και α=1+β..Να δειξετε οτι α εις την τριτη>β εις την τριτη+γ εις την τριτη

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

Αν για τυχαίο σημείο Ο στο επίπεδο ισόπλευρου τριγώνου ισχύει
τότε να βρεθεί η ικανή και αναγκαία σχέση μεταξύ των ώστε

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

τετραγωνισμος και αγιος ο θεος ; (λεμε τωρα)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.