Σπαζοκεφαλιά στα Μαθηματικά

nikos88 · 9 Ιουνίου 2009 στις 00:53

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Υπάρχει συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα (α,β) ώστε για κάθε $xepsilon (alpha ,beta )$ να ισχύει $lim_{hrightarrow 0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}=+propto$ (το όριο να είναι ίσο με + άπειρο);

Αμε....υπαρχει!!!!:nono:

rolingstones · 9 Ιουνίου 2009 στις 00:53

ποα ειναι η συναρτηση weirstrass?

Civilara · 9 Ιουνίου 2009 στις 01:03

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:
ποα ειναι η συναρτηση weirstrass?

$f(x)=\sum_{n=0}^{\propto }{\alpha }^{n}cos\left({b}^{n}\pi x \right)$

όπου 0<α<1, b θετικός περιττός ακέραιος και $\alpha b>1+\frac{3\pi }{2}$
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από alb-killer:
Αμε....υπαρχει!!!!:nono:

Έλα ρε μάστορα δωστο. Μην με κρατάς σε αγωνία. Ποια είναι; (Την ξέρω?)

TNS · 9 Ιουνίου 2009 στις 01:12

μπραβο για το εικοσαρι:iagree::iagree: και σε παρεξηγησα με την ερωτηση που εκανες τα φαινομενα απατουν τελικα:iagree:

Συγχωρεμένος!
Απλά είχα σκεφτεί την χ=λ γιατί είχε όλες τις προυποθέσεις αλλά δεν ήταν συνάρτηση

.

Civilara · 9 Ιουνίου 2009 στις 04:31

Αν μία συνάρτηση ορίζεται σε ένα διάστημα (α,β) και ισχύει $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=+\propto$ όπου ${x}_{0}\epsilon (\alpha ,\beta )$ να αποδείξετε ότι η f δεν είναι απαραίτητα συνεχής στο ${x}_{0}$ .

Επειδή το ${x}_{0}$ είναι εσωτερικό σημείο του (α,β) τότε υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι ίσα:

$\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=+\propto \Rightarrow \lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=+\propto$

Είναι γνωστό ότι $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}\frac{1}{x-{x}_{0}}=-\propto$ και $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}\frac{1}{x-{x}_{0}}=+\propto$

(Α) Θα εξεταστούν τα πλευρικά όρια της f στο ${x}_{0}$ θεωρώντας ότι η f δεν είναι συνεχής στο ${x}_{0}$ :

1) Έστω ότι υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι πεπερασμένα

$\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}f(x)=\alpha \epsilon R\Rightarrow \lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}} \left[ f(x)-f({x}_{0})\right]=\alpha-f({x}_{0})\neq 0$

$\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}f(x)=\beta \epsilon R\Rightarrow \lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}} \left[ f(x)-f({x}_{0})\right]=\beta -f({x}_{0})\neq 0$

Για να είναι $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=+\propto$ πρέπει $\alpha -f({x}_{0})<0\Rightarrow \alpha <f({x}_{0})$ αφού $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}\frac{1}{x-{x}_{0}}=-\propto$

Για να είναι $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=+\propto$ πρέπει $\beta -f({x}_{0})>0\Rightarrow \beta >f({x}_{0})$ αφού $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}\frac{1}{x-{x}_{0}}=+\propto$

Άρα $\alpha <f({x}_{0})<\beta$ που σημαίνει ότι η δεν υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ και η f δεν είναι συνεχής στο ${x}_{0}$

2) Έστω ότι υπάρχουν τα πλευρικά όρια και δεν είναι πεπερασμένα

Πρέπει $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}f(x)=-\propto$ ώστε $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=+\propto$ αφού $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}\frac{1}{x-{x}_{0}}=-\propto$

Πρέπει $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}f(x)=+\propto$ ώστε $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=+\propto$ αφού $\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}\frac{1}{x-{x}_{0}}=+\propto$

Άρα και σε αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ και η f δεν είναι συνεχής στο ${x}_{0}$ . Σε αυτήν την περίπτωση η ευθεία $x={x}_{0}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

3) Επίσης υπάρχει η περίπτωση το ένα πλευρικό όριο να είναι πεπερασμένο διάφορο του $f({x}_{0})$ και το άλλο μη πεπερασμένο που είναι συνδυασμός των δύο παραπάνω περιπτώσεων. Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ , η f δεν είναι συνεχής στο ${x}_{0}$ και η ευθεία $x={x}_{0}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Επίσης υπάρχει η περίπτωση το ένα πλευρικό όριο να ισούται με $f({x}_{0})$ και το άλλο είτε να είναι πεπερασμένο διάφορο του $f({x}_{0})$ είτε να μην είναι πεπερασμένο. Πάλι η f δεν είναι συνεχής στο ${x}_{0}$

(Β) Η f είναι συνεχής στο ${x}_{0}$ που σημαίνει ότι υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ και ισχύει η ισοδυναμία:

$\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)=f({x}_{0})\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow {{x}_{0}}^{+}}f(x)=f({x}_{0})$

Σε αυτήν την περίπτωση η ευθεία $x={x}_{0}$ είναι κατακόρυφη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο $\left( {x}_{0},f({x}_{0})\right)$

Από την παραπάνω ανάλυση προέκυψε πως όταν η f είναι ορισμένη στο (α,β), ${x}_{0}\epsilon (\alpha ,\beta )$ , υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$ και ισούται με $+\propto$ (ή $-\propto$ ), τότε η f δεν είναι απαραίτητα συνεχής στο ${x}_{0}$

Όσον αφορά συνεπώς την κατακόρυφη εφαπτομένη τότε η σωστή διατύπωση είναι η εξής:

"Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο ${x}_{0}$ , υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$ και ισούται με $+\propto$ (ή $-\propto$ ) τότε η ευθεία $x={x}_{0}$ είναι κατακόρυφη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο $\left( {x}_{0},f({x}_{0})\right)$ ."

kvgreco · 9 Ιουνίου 2009 στις 12:27

Το "διά ταύτα" ποιό είναι επομένως geoste?
Ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση που ζήτησες στην αρχή.
Δηλαδή παντού συνεχής έχοντας παντού κατακόρυφες εφαπτόμενες.Το είχα πεί σε προηγούμενο μήνυμα αλλά το άφησα λίγο κενό ερμηνείας.

Πότε θα ανοίξεις ένα thread σχετικό με στατική κτιρίων? Επιμένω!

Ερώτηση που άκουσα από τον πατέρα προς ένα πολιτικό μηχανικό στην οικοδομή.Γιατί δεν φουλάρεις με πολύ σιδερο την οικοδομή ώστε να αντέξει ένα σεισμό?Μάλλον λάθος απορία ε?
Μετά άκουσα να λέει κάτι τρελά ο Π.Μ ότι πρέπει να κτίζουμε σκληρές οικοδομές πάνω σε μαλακή βάση καί αντίστροφα ελαστικές οικοδομές σε βραχώδες έδαφος ή κάτι τέτοιο τέλος πάντων.Δεν είχα δώσει βάση τότε στη κουβέντα τους γιατί με καλούσε το παιχνίδι. Καλό είναι να ανοίξεις ένα τέτοιο θέμα εγκυκλοπαιδικού ενδιαφέροντος γιά μας τους υπόλοιπους.

Civilara · 9 Ιουνίου 2009 στις 13:43

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Το "διά ταύτα" ποιό είναι επομένως geoste?
Ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση που ζήτησες στην αρχή.
Δηλαδή παντού συνεχής έχοντας παντού κατακόρυφες εφαπτόμενες.Το είχα πεί σε προηγούμενο μήνυμα αλλά το άφησα λίγο κενό ερμηνείας.

Πότε θα ανοίξεις ένα thread σχετικό με στατική κτιρίων? Επιμένω!
Ερώτηση που άκουσα από τον πατέρα προς ένα πολιτικό μηχανικό στην οικοδομή.Γιατί δεν φουλάρεις με πολύ σιδερο την οικοδομή ώστε να αντέξει ένα σεισμό?Μάλλον λάθος απορία ε?
Μετά άκουσα να λέει κάτι τρελά ο Π.Μ ότι πρέπει να κτίζουμε σκληρές οικοδομές πάνω σε μαλακή βάση καί αντίστροφα ελαστικές οικοδομές σε βραχώδες έδαφος ή κάτι τέτοιο τέλος πάντων.Δεν είχα δώσει βάση τότε στη κουβέντα τους γιατί με καλούσε το παιχνίδι. Καλό είναι να ανοίξεις ένα τέτοιο θέμα εγκυκλοπαιδικού ενδιαφέροντος γιά μας τους υπόλοιπους.

Δεν κατάλαβες kvgreco. Αυτή η ανάλυση που έκανα παραπάνω έγινε σε ένα μεμονωμένο x0 του (α,β) και η f είναι ορισμένη στο (α,β) θεωρώντας ότι μόνο στο x0 το όριο γίνεται +άπειρο και όχι σε όλο το (α,β). Απέδειξα ότι αν ισχύει αυτό τότε η f δεν είναι απαραίτητα συνεχής στο x0. Για να υπάρχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο x0 πρέπει η f να είναι συνεχής στο x0 και όχι απλά ορισμένη. Δεν απάντησα όμως στο αρχικό ερώτημα που έθεσα στην αρχή του thread και γι αυτό καλώ όλους τους ειδικούς να δώσουν απάντηση γιατί δεν το χω λύσει ακόμα.

Το "δια ταύτα" είναι ότι αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη στο (α,β) και το όριο lim(x->x0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)} υπάρχει και είναι +άπειρο όπου x0 ανήκει (α,β), τότε δεν παρουσιάζει απαραίτητα κατακόρυφη εφαπτομένη στο x0 αφού δεν είναι απαραίτητα συνεχής στο x0. Όπως απεδείχθη παραπάνω υπάρχει περίπτωση η ευθεία x=x0 να είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη και υπάρχει περίπτωση η ευθεία x=x0 να μην είναι ούτε κατακόρυφη ασύμπτωτη ούτε κατακόρυφη εφαπτομένη με βάση τα δεδομένα του προβλήματος.

Όσο για ένα thread με θέματα πολιτικού μηχανικού είναι καλή ιδέα να ανοίξω.

Civilara · 10 Ιουνίου 2009 στις 21:00

Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση f:R->R ορισμένη (όχι απαραίτητα συνεχής) σε διάστημα (α,β) ώστε για κάθε ${x}_{0}\epsilon (\alpha ,\beta )$ να ισχύει $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)=+\propto$ .

rolingstones · 10 Ιουνίου 2009 στις 22:51

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση ορισμένη (όχι απαραίτητα συνεχής) σε διάστημα (α,β) ώστε για κάθε ${x}_{0}epsilon (alpha ,beta )$ να ισχύει $lim_{xrightarrow {x}_{0}}f(x)=+propto$ .

αφου δε τα λυνει κανεις ρε μαγκα τι τα βαζεις?

βαλε καμια συναρτηση να μελετηθει ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα

Undead · 10 Ιουνίου 2009 στις 23:02

$f(x)=\sum_{y=0 }^{10}\frac{1}{(x-y)^{2}},y\in \mathbb{R}$

και για το αρχικό σου πρόβλημα νομίζω ότι δουλεύει η $f(x)=\sum_{y=0 }^{10} |x-y|,y\in \mathbb{R}$

Civilara · 10 Ιουνίου 2009 στις 23:41

Να και μια απλή άσκηση

Αν f κυρτή και παραγωγίσιμη στο R τότε να δειχθεί ότι:

1) Η f έχει το πολύ ένα τοπικό ακρότατο το οποίο εφόσον υπάρχει είναι ολικό ελάχιστο.

2) Σε κάθε x0 ανήκει R η γραφική παράσταση της f βρίσκεται άνω της εφαπτομένης της γραφικής της παράστασης στο x0 με μοναδικό κοινό σημείο το σημείο επαφής.

3) Υπάρχουν α,β στο R με α<β ώστε f(x)>0 για κάθε x στο (α,β)

4) Αν η γραφική παράσταση της f δεν παρουσιάζει ακρότατο και δεν έχει ασύμπτωτες τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα.

5) Αν η f δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε είναι γνησίως μονότονη.

Undead · 11 Ιουνίου 2009 στις 07:59

1)Εφόσον f κυρτή η f' είναι γν .αύξουσα άρα η f'(x)=0 έχει το πολύ μια ρίζα δηλαδή η f εχει το πολύ ένα ακρότατο

τώρα εφόσον $\exists x_{0} \in \mathbb{R}$ ώστε

$f^{\prime}( x_{0})=0$ θα είναι

$x>x_{0}\Rightarrow f^{\prime}(x)>f^{\prime}(x_{0})=0$

$x<x_{0}\Rightarrow f^{\prime}(x)<f^{\prime}(x_{0})=0$

άρα το ακρότατο είναι ολικό ελάχιστο

2)Θέλουμε να δείξουμε $\forall a,x \in \mathbb{R}$

$f(x)\geq f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)\Leftrightarrow f(x)-f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)\geq 0 \Leftrightarrow g(x)\geq 0$

όπου $g(x)=f(x)-f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)$

$g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a)$

μελετώντας το πρόσημο της βρισκουμε οτι εχει ολ ελάχιστο στo $x=a$

αρα $g(x)\geq g(a)=0$

apostolis · 11 Ιουνίου 2009 στις 14:02

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Να και μια απλή άσκηση

Αν f κυρτή στο R τότε να δειχθεί ότι:

1) Η f έχει το πολύ ένα τοπικό ακρότατο το οποίο εφόσον υπάρχει είναι ολικό ελάχιστο.

2) Σε κάθε x0 ανήκει R η γραφική παράσταση της f βρίσκεται άνω της εφαπτομένης της γραφικής της παράστασης στο x0 με μοναδικό κοινό σημείο το σημείο επαφής.

3) Υπάρχουν α,β στο R με α<β ώστε f(x)>0 για κάθε x στο (α,β)

4) Αν η γραφική παράσταση της f δεν παρουσιάζει ακρότατο και δεν έχει ασύμπτωτες τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα.

5) Αν η f δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε είναι γνησίως μονότονη.

Αυτο ειναι ενα πολυ ωραιο 3ο θεμα!!

Inferno29278 · 11 Ιουνίου 2009 στις 14:28

Ωστόσο δεν ξέρουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη, άρα δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι f'(x0)=0

Civilara · 11 Ιουνίου 2009 στις 14:38

Αρχική Δημοσίευση από Inferno:
Ωστόσο δεν ξέρουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη, άρα δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι f'(x0)=0

Η f είναι κυρτή στο R, που πάει να πει ότι είναι παραγωγίσιμη στο R και η παράγωγος της είναι γνησίως αύξουσα στο R.

Inferno29278 · 11 Ιουνίου 2009 στις 14:40

πίστευα ότι πρέπει να ξεκαθαρίζει πρώτα ότι είναι παραγωγίσιμη, για να ισχύει αυτό. Οκ, λάθος μου

rolingstones · 11 Ιουνίου 2009 στις 16:45

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Η f είναι κυρτή στο R, που πάει να πει ότι είναι παραγωγίσιμη στο R και η παράγωγος της είναι γνησίως αύξουσα στο R.

λαθος σου γιωργη με τα δεδομενα του λυκειου παει να πει οτι ειναι παραγωγισιμη αλλα και παλι θα το λεγε σε πανεπιστημιακο συγγραμμα αναφερεται η εννοια της κυρτοτητας χωρις προυποθεση παραγωγισημοτητας.υποθετω θα το εχεις κανει αυτο στο πανεπιστημιο εδω ξερεις τοσα και τοσα ολοκληρωμματα δε νομιζω να κολωσεις εκει δεν το περιμενα απο σενα που σαι ανησυχο πνευμα να το πεις αυτο :'(

tebelis13 · 11 Ιουνίου 2009 στις 17:00

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:
δεν το περιμενα απο σενα που σαι ανησυχο πνευμα να το πεις αυτο

Μηπως εχεις τα ψυχολογικα σου λεω εγω..

rolingstones · 11 Ιουνίου 2009 στις 17:03

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Μηπως εχεις τα ψυχολογικα σου λεω εγω..

οχι ρε φιλε γιατι το λες αυτο? :lol:

Civilara · 11 Ιουνίου 2009 στις 19:06

Χαλάρωσε roling. Η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές λυκείου. Θέλω να δω ποιος δεν θα ζητήσει διευκρίνιση για την παραγωγισιμότητα αφού στο λύκειο μαθαίνουν ότι για να είναι κυρτή, πρέπει να είναι παραγωγίσιμη. Κι εγώ στο πανεπιστήμιο τον ορισμό του λυκείου έμαθα αλλά ξέρω ότι ο ορισμός είναι άλλος και δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη η f για να είναι κυρτή (ή κοίλη).

Σπαζοκεφαλιά στα Μαθηματικά

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος