Παράδοξο σε τηλεπαιχνίδι (Μαθηματικά)

paganini666

New member

Ο Ίωνας αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών και Απόφοιτος . Έχει γράψει 453 μηνύματα.
(να επισημανω οτι αυτο ειναι βασικο στοιχειο.
δηλαδη για να ισχυουν αυτα που ειπαμε πριν, πρεπει ο παικτης να γνωριζει οτι ετσι κι αλλιως ο παρουσιαστης θα ανοιξει μετα μια λαθος κουρτινα.
αλλιως δεν ισχυουν
[σκεφτειτε την ακραια περιπτωση που ο παρουσιαστης κανει νεα προταση μονο αν εχετε διαλεξει το αυτοκινητο]
[ή μπορει ν' ανοιγει τυχαια την κουρτινα (χωρις να ξερει αν ειναι η τυχερη). Τοτε, αν ανοιξει τη λαθος, οι πιθανοτητες θα ειναι 50-50]
σωστα! Τελικά αυτο ειναι το μυστικο. Εκει κρυβεται η ουσια.
 

amalfi

New member

Ο amalfi αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 36 ετών και Καθηγητής . Έχει γράψει 458 μηνύματα.
παντως τον τελευταιο καιρο που αρχισα να ασχολουμαι με πιθανοτητες παρατηρησα οτι η διαισθηση με ξεγελαει συχνα.. πιο δυσκολες απ οσο φαινονται! (και ενδιαφερουσες!)

:)
 

stathismel

New member

Ο stathismel αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών και Φοιτητής . Έχει γράψει 21 μηνύματα.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως με το που ανοίγει η κουρτίνα Β έχουμε δεδομένο ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β, δηλαδή το ενδεχόμενο Β΄ λαμβάνεται ως δεδομένο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αλλάζει ο "δειγματικός χώρος" του πειράματος τύχης. Από Ω=AUBUΓ γίνεται Ω΄=Β΄. Πρόκειται για δεσμευμένη ή υπο συνθήκη πιθανότητα.

Το συμπλήρωμα Β΄ του Β έχει πιθανότητα P(Β΄)=1-P(Β)=2/3. Επειδή τα Α, Β, Γ είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει Α-Β=Α και Γ-Β=Γ.
Έχεις δίκιο ότι αλλάζει ο δειγματικός χώρος αλλά στη νέα κατάσταση που βρίσκεσαι λες ότι P(B')=1-P(B)=2/3, πράγμα που ισχύει για την προηγούμενη κατάσταση κατά την οποία ο παρουσιαστής δεν είχε ανοίξει κάποια κουρτίνα. Στη νέα κατάσταση ,όπως λες και εσύ, έχουμε αποκλείσει την πιθανότητα να είναι στη Β και άρα P(B')=1.
Το μυστικό είναι να καταλάβουμε ότι εφόσον την Α την επιλέξαμε τυχαία και χωρίς να έχει επέμβει κάπου ο παρουσιαστής, τότε αυτή διατηρεί την πιθανότητα 1/3 που είχε αρχικά. Δηλαδή αν παραμένουμε πάντα στην αρχική μας επιλογή, οι πιθανότητες τελικά θα είναι όσες ήταν και αρχικά(1/3)!
Έτσι αφού έχουμε 2 κουρτίνες να επιλέξουμε, θα επιλέξουμε τη διαφορετική από αυτή που είχαμε επιλέξει αρχικά.
Όπως έχει ήδη ειπωθεί, το κλειδί στην υπόθεση είναι ότι εμείς γνωρίζουμε ότι ο παρουσιαστής γνωρίζει που βρίσκεται το αμάξι και η κουρτίνα που ανοίγει είναι μέρος του παιχνιδιού που συμβαίνει πάντα ανεξάρτητα ποια είναι η δικιά μας αρχική επιλογή.
 

arximidis

New member

Ο arximidis αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών και Απόφοιτος . Έχει γράψει 129 μηνύματα.
Λόγω αντικειμένου και επειδή δεν τα χάνω με τίποτα αυτά σας παραπέμπω στην ταινία 21.
Φοβερή ταινία!! Πέρα από το "μαθηματικό-blackjack" μέρος της ταινίας, απίστευτη είναι και η Kate Bosworth...τρελός έρωτας!:jumpy:
 

Civilara

New member

Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,160 μηνύματα.
Έχεις δίκιο ότι αλλάζει ο δειγματικός χώρος αλλά στη νέα κατάσταση που βρίσκεσαι λες ότι P(B')=1-P(B)=2/3, πράγμα που ισχύει για την προηγούμενη κατάσταση κατά την οποία ο παρουσιαστής δεν είχε ανοίξει κάποια κουρτίνα. Στη νέα κατάσταση ,όπως λες και εσύ, έχουμε αποκλείσει την πιθανότητα να είναι στη Β και άρα P(B')=1.
Το μυστικό είναι να καταλάβουμε ότι εφόσον την Α την επιλέξαμε τυχαία και χωρίς να έχει επέμβει κάπου ο παρουσιαστής, τότε αυτή διατηρεί την πιθανότητα 1/3 που είχε αρχικά. Δηλαδή αν παραμένουμε πάντα στην αρχική μας επιλογή, οι πιθανότητες τελικά θα είναι όσες ήταν και αρχικά(1/3)!
Έτσι αφού έχουμε 2 κουρτίνες να επιλέξουμε, θα επιλέξουμε τη διαφορετική από αυτή που είχαμε επιλέξει αρχικά.
Όπως έχει ήδη ειπωθεί, το κλειδί στην υπόθεση είναι ότι εμείς γνωρίζουμε ότι ο παρουσιαστής γνωρίζει που βρίσκεται το αμάξι και η κουρτίνα που ανοίγει είναι μέρος του παιχνιδιού που συμβαίνει πάντα ανεξάρτητα ποια είναι η δικιά μας αρχική επιλογή.
Τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ αναφέρονται στον δειγματικό χώρο Ω οπότε P(B΄)=2/3 και όχι 1. Τα ενδεχόμενα Α|Β΄ και Γ|Β΄ αναφέρονται στον δειγματικό χώρο Ω΄=Β΄. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω΄ υπολογίζονται με την βοήθεια των πιθανοτήτων των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω.
 

milanezos92

New member

Ο milanezos92 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 213 μηνύματα.
Κατά το τελικό στάδιο ενός τηλεπαιχνιδιού, ο παίκτης καλείται να επιλέξει ανάμεσα σε τρεις κουρτίνες (έστω Α,Β,Γ) έτσι ώστε να κερδίσει το αμάξι που βρίσκεται πίσω από την τυχερή κουρτίνα.
Ο παίκτης μας (στην περίπτωσή μας) αποφασίζει τελικά να διαλέξει την κουρτίνα Α.
Ο τηλεπαρουσιαστής όμως, αντί να δώσει εντολή για άνοιγμα της κουρτίνας Α, θέλοντας να παρατείνει το παιχνίδι (όπως κάνει κάθε φορά για να μην τελειώσει αμέσως η εκπομπή) δίνει εντολή να ανοίξουν μια διαφορετική κουρτίνα από αυτή που διάλεξε ο παίκτης και μάλιστα για να μην τελειώσει το παιχνίδι όπως είπαμε, διαλέγει αυτή στην οποία ξέρει από πριν ότι δε βρίσκεται το αμάξι. Ας πούμε ότι στην περίπτωσή μας ανοίγει την κουρτινα Β.
Έτσι, όπως κάθε φορά, ο παρουσιαστής ρωτάει τον παίκτη "είσαι σίγουρος ότι θέλεις την κουρτίνα που επέλεξες αρχικά ή μήπως τώρα θέλεις να αλλάξεις κουρτίνα;"

Το ερώτημα, είναι τί θα κάνατε εσείς στη θέση του παίκτη...Α ή Γ;;;

Υ.Γ.:Το παράδοξο αυτό ίσως είναι γνωστό σε αρκετούς...οπότε ας απαντήσουν μόνο όσοι έρχονται για 1η φορά σε επαφή με το πρόβλημα ή όσοι τέλος πάντων δε γνωρίζουν τη λύση από πριν.
γνωριζω τη λυση καθως τεθηκε το ιδιο ερωτημα σε εναν φοιτητη στην ταινια 21..............
 

stathismel

New member

Ο stathismel αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών και Φοιτητής . Έχει γράψει 21 μηνύματα.
Τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ αναφέρονται στον δειγματικό χώρο Ω οπότε P(B΄)=2/3 και όχι 1. Τα ενδεχόμενα Α|Β΄ και Γ|Β΄ αναφέρονται στον δειγματικό χώρο Ω΄=Β΄. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω΄ υπολογίζονται με την βοήθεια των πιθανοτήτων των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω.
Εφόσον ο νέος σου δειγματικός χώρος είναι ο Ω'=Β', πώς είναι δυνατόν η πιθανότητα P(B')=P(Ω') να είναι ίση με 2/3;
Νομίζω ότι γενικά ισχύει το παρακάτω:
Αν Ω είναι ο δειγματικός μας χώρος, τότε P(Ω)=1.
 

Civilara

New member

Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,160 μηνύματα.
Εφόσον ο νέος σου δειγματικός χώρος είναι ο Ω'=Β', πώς είναι δυνατόν η πιθανότητα P(B')=P(Ω') να είναι ίση με 2/3;
Νομίζω ότι γενικά ισχύει το παρακάτω:
Αν Ω είναι ο δειγματικός μας χώρος, τότε P(Ω)=1.
Πρόκειται για δεσμευμένη πιθανότητα. Όταν γράφουμε P(A), P(B), P(Γ) και οποιαδήποτε πιθανότητα ενός ενδεχομένου που προκύπτει με πράξεις μεταξύ των Α, Β και Γ τότε αναφερόμαστε στον δειγματικό χώρο Ω. Στον δειγματικό χώρο Β΄ αναφερόμαστε μόνο όταν υπάρχει δέσμευση, δηλαδή Α|Β' και Γ|Β΄. Συνεπώς P(Β΄)=2/3 και P(Β΄|Β΄)=1.
 

stathismel

New member

Ο stathismel αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών και Φοιτητής . Έχει γράψει 21 μηνύματα.
Πρόκειται για δεσμευμένη πιθανότητα. Όταν γράφουμε P(A), P(B), P(Γ) και οποιαδήποτε πιθανότητα ενός ενδεχομένου που προκύπτει με πράξεις μεταξύ των Α, Β και Γ τότε αναφερόμαστε στον δειγματικό χώρο Ω. Στον δειγματικό χώρο Β΄ αναφερόμαστε μόνο όταν υπάρχει δέσμευση, δηλαδή Α|Β' και Γ|Β΄. Συνεπώς P(Β΄)=2/3 και P(Β΄|Β΄)=1.
...τότε γιατί διαιρείς με τον όρο Ρ(Β') και όχι με τον P(Β'/Β') εκεί που βρίσκεις τα P(Α/Β') και Ρ(Γ/Β');
 

Civilara

New member

Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,160 μηνύματα.
...τότε γιατί διαιρείς με τον όρο Ρ(Β') και όχι με τον P(Β'/Β') εκεί που βρίσκεις τα P(Α/Β') και Ρ(Γ/Β');
Γιατί έτσι είναι το θεώρημα της δεσμευμένης πιθανότητας. Γενικά αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε ισχύει P(A|B)=P(AτομήB)/P(B). Εκφράζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A|B στον δειγματικό χώρο Β σε συνάρτηση με τις πιθανότητες των ενδεχομένων ΑτομήΒ και Β του δειγματικού χώρου Ω. Ίσως η δεσμευμένη πιθανότητα να υπάρχει και στο βιβλίο των μαθηματικών γενικής παιδείας αλλά ήταν εκτός ύλης.

Η απόδειξη είναι απλή
 

stathismel

New member

Ο stathismel αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών και Φοιτητής . Έχει γράψει 21 μηνύματα.
Γιατί έτσι είναι το θεώρημα της δεσμευμένης πιθανότητας. Γενικά αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε ισχύει P(A|B)=P(AτομήB)/P(B). Εκφράζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A|B στον δειγματικό χώρο Β σε συνάρτηση με τις πιθανότητες των ενδεχομένων ΑτομήΒ και Β του δειγματικού χώρου Ω. Ίσως η δεσμευμένη πιθανότητα να υπάρχει και στο βιβλίο των μαθηματικών γενικής παιδείας αλλά ήταν εκτός ύλης.

Η απόδειξη είναι απλή
Καταλαβαίνω τί λες...όλα αυτά που γράφεις όμως στην απόδειξή σου, ισχύουν στην περίπτωση που ο παρουσιαστής άνοιξε τυχαία την κουρτίνα Β και έτυχε να μην είναι μέσα το αμάξι.
Στην περίπτωσή μας όμως, ο παρουσιαστής ανοίγει υποχρεωτικά μια κουρτίνα που να μην έχει το αμάξι μέσα. Το γεγονός αυτό αλλάζει το πρόβλημα και κάνει λίγο πιο δύσκολη τη χρήση τύπων...
 

statakos

New member

Ο Αλέξανδρος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Πτυχιούχος και μας γράφει απο Βούλα (Αττική). Έχει γράψει 291 μηνύματα.
Εδώ έχουμε δεσμευμένη πιθανότητα ενδεχομένου. Η πιθανότητα να βρίσκεται το αμάξι σε μία κουρίνα είναι 1/3. Έτσι μετά το άνοιγμα της μιας κουρτίνας, η οποία δεν έκρυβε το αμάξι, αν δεν αλλάξω κουρτίνα η πιθανότητα να κερδίσω είναι 1/3 ενώ αν αλλάξω κουρτίνα η πιθανότητα να κερδίσω είναι 2/3. Δεν είναι όμως ακριβώς έτσι τα πράγματα. Γιατί εδώ έχουμε δεσμευμένη πιθανότητα ενδεχομένου.

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα

Α={το αυτοκίνητο βρισκεται στην κουρτίνα Α}
Β={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Β}
Γ={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ}

Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους (ανά δύο αλλά και τα 3 μαζί) καθώς το αυτοκίνητο δεν γίνεται να βρίσκεται σε δύο κουρτίνες αλλά μόνο σε μία.

Έστω ότι ανοίγει η κουρτίνα Β και δεν βρίσκεται το αυτοκίνητο σε αυτήν.

Όντως ισχύει P(A)=P(B)=P(Γ)=1/3. Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως με το που ανοίγει η κουρτίνα Β έχουμε δεδομένο ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β, δηλαδή το ενδεχόμενο Β΄ λαμβάνεται ως δεδομένο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αλλάζει ο "δειγματικός χώρος" του πειράματος τύχης. Από Ω=AUBUΓ γίνεται Ω΄=Β΄. Πρόκειται για δεσμευμένη ή υπο συνθήκη πιθανότητα.

Το συμπλήρωμα Β΄ του Β έχει πιθανότητα P(Β΄)=1-P(Β)=2/3. Επειδή τα Α, Β, Γ είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει Α-Β=Α και Γ-Β=Γ.

Η πιθανότητα του ενδεχομένου Α|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Α με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι



Oμοίως βρίσκουμε ότι Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ|Β΄={το αυτοκίνητο βρίσκεται στην κουρτίνα Γ με δεδομένο ότι δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β} είναι



Με δεδομένο λοιπόν ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται στην κουρτίνα Β και βρίσκεται σε μία από τις Α και Γ, τότε υπάρχει 50% πιθανότητα να διαλέξουμε την κουρτίνα που κρύβει το αυτοκίνητο.

παντως τον τελευταιο καιρο που αρχισα να ασχολουμαι με πιθανοτητες παρατηρησα οτι η διαισθηση με ξεγελαει συχνα.. πιο δυσκολες απ οσο φαινονται! (και ενδιαφερουσες!)

:)
[off]Αναμένεται ενδιαφέρον το τρίτο εξάμηνο με τις πιθανότητες και καθηγητή τον κ.Τουμπή ... :D[\off]
 

jimissss

New member

Ο jimissss αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Πατήσια (Αττική). Έχει γράψει 104 μηνύματα.
Ειναι πολυ απλη η απαντηση.δεν πρεπει να το κουραζουμε με τυπου πιθανοτητων.πολυ απλα επιλεγω στην αρχη στην τυχη ενα κουτι.η πιθανοτητα να ειναι εκει το αμαξι ειναι 1/3.αφτη η πιθανοτητα να ειναι ε κει το αμαξι παντα θα ειναι 1/3.δν αλαζει.δν γινετε 1/2.η πιθανοτητα να ειναι στα αλλα δυο κουτια που δν επιλεξαμε ειναι 2/3.επομενωσ με την προυποθεση ΠΑΝΤΑ οτι γνωριζαμε απο πριν οτι ο παρουσιαστησ θα εβγαζε ενα κουτι απο τα δυο που δν επιλεξαμε και θα εβγαζε αναγκαστικα ενα που δν ειχε το αμαξι μεσα(εφωσον ο παρουσιαστησ ηξερε σε πιο βρισκεται το αμαξι) τοτε το κουτι το οποιο απεμεινε εχει πιθανοτητεσ 2/3 να ειναι εκει το αμαξι γτ πολυ απλα η πιθανοτητα να ειναι στο κουτι μασ ειναι 1/3.επομενωσ συμφερει να αλαξουμε.προφανωσ pagganinni οι αμφιβολιεσ σου ειναι στο οτι ο παρουσιαστησ ανοιγει στην τυχη ενα κουτι και τελικα δν ειναι εκει μεσα το αμαξι και το αφαιρει.θεωρουμε εξαρχησ οτι ο παρουσιαστησ ξερει που ειναι το αμαξι και ανοιγει ενα κουτι που ειναι σιγουροσ οτι δν ειναι εκει.ελπιζω να το καταλαβεσ τωρα
 

taketrance

New member

Ο taketrance αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Ηνωμένο Βασίλειο (Ευρώπη). Έχει γράψει 260 μηνύματα.
σωστα τα λες ,αλλα για τι να μεινουμε στην αρχικη μας υποθεση οταν το ενα κουτι τελικα φευγει και μας μενουν 2 ? εκει δεν αλλαζουν παλι οι πιθανοτητες εφ 'οσον εχουμε 2 κουτια και το καθενα μπορει να εχει το αμαξι ? Πρεπει να κανουμε δηλαδη νεα μαθηματικη υποθεση αυτο λεω.
 

fockos

Well-known member

Ο fockos αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 11,714 μηνύματα.
Κατά το τελικό στάδιο ενός τηλεπαιχνιδιού, ο παίκτης καλείται να επιλέξει ανάμεσα σε τρεις κουρτίνες (έστω Α,Β,Γ) έτσι ώστε να κερδίσει το αμάξι που βρίσκεται πίσω από την τυχερή κουρτίνα.
Ο παίκτης μας (στην περίπτωσή μας) αποφασίζει τελικά να διαλέξει την κουρτίνα Α.
Ο τηλεπαρουσιαστής όμως, αντί να δώσει εντολή για άνοιγμα της κουρτίνας Α, θέλοντας να παρατείνει το παιχνίδι (όπως κάνει κάθε φορά για να μην τελειώσει αμέσως η εκπομπή) δίνει εντολή να ανοίξουν μια διαφορετική κουρτίνα από αυτή που διάλεξε ο παίκτης και μάλιστα για να μην τελειώσει το παιχνίδι όπως είπαμε, διαλέγει αυτή στην οποία ξέρει από πριν ότι δε βρίσκεται το αμάξι. Ας πούμε ότι στην περίπτωσή μας ανοίγει την κουρτινα Β.
Έτσι, όπως κάθε φορά, ο παρουσιαστής ρωτάει τον παίκτη "είσαι σίγουρος ότι θέλεις την κουρτίνα που επέλεξες αρχικά ή μήπως τώρα θέλεις να αλλάξεις κουρτίνα;"

Το ερώτημα, είναι τί θα κάνατε εσείς στη θέση του παίκτη...Α ή Γ;;;

Υ.Γ.:Το παράδοξο αυτό ίσως είναι γνωστό σε αρκετούς...οπότε ας απαντήσουν μόνο όσοι έρχονται για 1η φορά σε επαφή με το πρόβλημα ή όσοι τέλος πάντων δε γνωρίζουν τη λύση από πριν.

Είναι θέμα πιθανοτήτων και θα άλλαζα την κουρτίνα μου. Γιατί με το άνοιγμα του άδειου κουτιού οι πιθανότητες αυξάνονται.
 

jjoohhnn

New member

Ο jjoohhnn αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής . Έχει γράψει 257 μηνύματα.

jimissss

New member

Ο jimissss αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Πατήσια (Αττική). Έχει γράψει 104 μηνύματα.
Λοιπον για να καταλαβεις οτι η πιθανοτητα δν αλαζει και συμφερει να αλαξουμε θα σου παραθεσω το παραδοξο του καραγκιοζη.εστω οτι ειναι ο καραγκιοζης και εχει χιλια κουτια και σου λεει σε ενα κουτι ειναι το αμαξι.εσυ επιλεγεισ ενα στην τυχη.πιθανοτητα να εχεισ βρει το αμαξι ειναι 1/1000.ξεροντασ λοιπον ο καραγκιοζης σε πιο κουτι ειναι το αμαξι αρχιζει και απο τα 999 που εχουν μεινει αρχιζει και βγαζει ενα ενα τα κουτια(αφηνοντασ ενα στο τελοσ) τα ανοιγει και φυσικα το αμαξι δν ειναι σε κανενα απο αυτα.εχει αφησει λοιπον ενα κουτι και υπαρχει και το κουτι που εχεισ επιλεξει εσυ στην αρχη.το αμαξι ειναι σε ενα απο τα διο αφτα κουτια.και σου προτεινει λοιπον ο καραγκιοζησ αν θεσ να αλαξεισ το κουτι σου με το κουτι που σου εχει αφησει.ε τι θα κανεισ εσυ?
 

katsarida003

New member

Η katsarida003 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 26 ετών και Φοιτητής . Έχει γράψει 54 μηνύματα.
Να φανταστώ ότι δεν λύνεται με τις πιθανότητες που μαθαίνουμε στην Γ λυκείου ε???
 

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

  • Τα παρακάτω 0 μέλη και 1 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:
    Tα παρακάτω 0 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα τις τελευταίες 60 μέρες:
  • Φορτώνει...
Top