Καλησπέρα,
ρίχνοντας στη λύση που πρότεινες στο Δ3 μια δεύτερη ματιά, νομίζω πως δεν είναι σωστή, εννοείται χωρίς να βάλω το χέρι μου στη φωτιά.
Η g'(κ)=(g(x)-g(ξ))/χ-ξ ή g(x)=g'(κ)*(χ-ξ)+g(ξ) είναι μια εξίσωση, όχι ο τύπος της g. Επομένως, δεν είσαι σίγουρος αν η εξίσωση αυτή έχει λύση κοντά στο συν άπειρο, άρα δεν έχεις δικαίωμα και να πάρεις όριο στο άπειρο.
Θα παρουσιάσω ένα παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση f(x)=-1/x, που ορίζεται στο R*. Η παράγωγός της είναι η f'(x)=1/x² και είναι θετική στο R*. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στα ανοικτά διαστήματα πλην άπειρο μέχρι μηδέν και μηδέν μέχρι συν άπειρο. Παίρνω, τώρα, ένα ξ το οποίο είναι ανάμεσα στο μηδέν και το συν άπειρο και ένα σταθερό χ>ξ, πάλι ανάμεσα στο μηδέν και στο συν άπειρο. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Δ=[ξ,χ]. Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ για την f στο Δ, άρα υπάρχει κ στο (ξ,χ) τέτοιο, ώστε f'(κ)=(f(x)-f(ξ))/χ-ξ ή f(x)=f'(κ)(χ-ξ)+f(ξ)(1). Αν πάω τώρα με τη λογική που πρότεινες, το όριο της f στο συν άπειρο, σύμφωνα με την (1), είναι συν άπειρο, αφού f'(κ)>0. Αλλά, τόσο αλγεβρικά όσο και από τη γραφική παράσταση της f βλέπεις ότι το όριο της f στο συν άπειρο ισούται με μηδέν...
Ξαναλέω ότι δεν έιμαι μαθηματικός και ότι υπάρχει πιθανότητα να έχω κάνει κάποιο λογικό(ίσως και γελοίο) λάθος στην επιχειρηματολογία μου ή να μην έχω δει το θέμα από τη σωστή πλευρά κλπ... Γι αυτό, αν μπορείς, ρώτα κάποιον καθηγητή σου αν θέλεις να είσαι σίγουρος...
Εννοείται πως κάθε υπόδειξη ή σχόλιο από οποιονδήποτε User του ischool είναι δεκτή...
