Μαθηματικά - Οι καλύτερες ασκήσεις.

13diagoras · 10-08-09

Αρχική Δημοσίευση από SA-96:
θα δώσω μία απάντηση η οποία δεν βασίζεται κυρίως σε μαθηματικά αλλά σε μοτίβα.
1. αφού 5*5 = 25 και 5*...25 = ...25, τότε όλες οι δυνάμεις του 5, λήγουν σε 25.
2. βρίσκω τα 2 τελευταία ψηφία των πρώτων δυνάμεων του 9. Παρατηρώ ότι το ψηφίο των μονάδων στις περιττές δυνάμεις είναι 9 ενώ το ψηφίο των μονάδων στις άρτιες δυνάμεις είναι 1. Άρα το ψηφίο των μονάδων του 9^2004 είναι το 1. Όσον αφορά το ψηφίο των δεκάδων, στις περιττές δυνάμεις ξεκινάει από το 0 και αυξάνεται συνεχώς κατά 2, ενώ στις άρτιες δυνάμεις ξεκινάει από το 8 και μειώνεται συνεχώς κατά 2. (εμάς μας ενδιαφέρουν μόνο οι άρτιες αφού μιλάμε για ο 2004) ο κύκλος αυτός συμβαίνει κάθε πέντε δυνάμεις. Εδώ διαιρώ κάθε δύναμη με το 2 και γράφω από δίπλα το αντίστοιχο ψηφίο των δεκάδων. Έτσι έχω
1=8 2=6 3=4 4=2 5=0 6=2... 1002=χ. Αφού ο κύκλος αυτός συμβαίνει κάθε πέντε δυνάμεις, διαιρώ το 1002 με το 5 και έχω υπόλοιπο 2. Άρα το ψηφίο των δεκάδων του 9^2004 είναι το 6. Μέχρι τώρα έχουμε 5^2001=...25 και 9^2004=...61 (θυμίζω πως θέλουμε να βρούμε το 5^2001 + 9^2004 -2.
Άρα έχουμε ...25 + ...61 - 2 = ...84 και σύμφωνα με α κριτήρια διαιρετότητας του 4, το ...84 διαιρείται με το 4!!!

σωστοοοοοοοςςς
υπαρχει και αλλη λυση αν θες να στη στειλω με π.μ.

ξαροπ · 10-08-09

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
κατι σκευτικα αλλα θα ειναι λαθος αφου ειπες οτι ειναι ολοκληρη ασκηση
απο την ταυτοτητα(α+β)^n εχουμε πολλους παραγοντες οι οποιοι περιεχουν τον α(αναλογα) εκτος απο το β^n ετσι βγαζουμε ως κοινο παραγοντα το α και στην παρενθεση εχει.......οπου την ονομαζουμε λ και ας περιεχει ο,τι θελει.ετσι μενει το λα+β^n

αυτο

Έτσι το σκέφτηκα κι εγώ αν και οι λέξεις δεν φτάνουν.

Μπορώ μόνο να παρατηρήσω, έστω κι εσφαλμένα, ότι το $(a+b)^n$
μπορεί να γραφτεί σε μορφή πολυωνύμου

$P(a,b) = a^nb^{n-n} + na^{n-1}b^{n-n+1}+ (n+k_1)a^{n-2}b^{n-n+2}+(n+k_2)a^{n-2}b^{n-n+2}+...+(n+k_p)a^{n-n+1}b^{n-1} + a^{n-n}b^n$

( ${n,k\in \mathbb{Z}} -{a,b\in \mathbb{N}}$ )

και να θέσεις τα πολλαπλάσια in between ως $\lambda$ αλλά και πάλι νομίζω πως κάνω λάθος. Επίσης έτσι όπως το έχω βάλει υπάρχουν περιορισμοί για το n.

SA-96 σωστός (αν και υπάρχει απλούστερος τρόπος για να παιδεύεσαι λιγότερο).

SA-96 · 10-08-09

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
κατι σκευτικα αλλα θα ειναι λαθος αφου ειπες οτι ειναι ολοκληρη ασκηση
απο την ταυτοτητα(α+β)^n εχουμε πολλους παραγοντες οι οποιοι περιεχουν τον α(αναλογα) εκτος απο το β^n ετσι βγαζουμε ως κοινο παραγοντα το α και στην παρενθεση εχει.......οπου την ονομαζουμε λ και ας περιεχει ο,τι θελει.ετσι μενει το λα+β^n

αυτο

λάθος το σκέυτικες (με η κανονικα)

13diagoras · 11-08-09

Αρχική Δημοσίευση από amalfi:
α ωραια

(γιατι καποιον γνωστο μου θυμισατε απ' την Αθηνα )

-----------------------------------------
πεντε δυσκολακια για οσους βαριουνται [γνωριζετε οτι ενας φυσικος αναλυεται σε γινομενο πρωτων παραγοντων με μοναδικο τροπο {αν αγνοησουμε τη σειρα} ?]

α) ποιο ειναι το ψηφιο των μοναδων (τελευταιο ψηφιο) του αριθμου "7 υψωμενο στη 2009" ?

β) ενας μαθηματικος ισχυριζεται οτι το γινομενο τριων διαδοχικων φυσικων ειναι παντα πολλαπλασιο του 6. εχει δικιο?

γ) να δειξετε οτι ο αριθμος του οποιου το τετραγωνο ειναι ισο με 1 επι 2 επι ...... επι 99 ειναι αρρητος

δ) ποσους διαιρετες εχει ο αριθμος 3600?

ε) αν εχουμε δύο φυσικους αριθμους α και β να δειξετε οτι (ΕΚΠ) (ΜΚΔ) = αβ
μπορειτε να βρειτε τους αριθμους αν δινονται τα ΕΚΠ, ΜΚΔ?

{για μαθητες γυμνασιου που το ψαχνουν λιγο παραπανω}

εχει 45 διαιρετες βγαινει ευκολα αν γνωριζεις και δειξεις(γενικα το λεω)οτι το 60 εχει 12.οσο αφορα τα γ,ε δεν βρηκα κατι ακομη
αυτα

-----------------------------------------

(

)

οι συντελεστες των καθε παραγοντων νομιζω πως εχει να κανει με το τριγωνο του pascal
-----------------------------------------
βρηκα και αποδειξη για το α>0 πολ/ζω β<0 για οποιον θελει του την στελνω(τωρα ειναι σιγουρα σωστη:εξακριβωμενα

-----------------------------------------
ας βαλω και γω μια δικης μου κατασκευης

:

[FONT=&quot]Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, [/FONT]

ξαροπ · 15-08-09

Επαληθεύτηκε αυτό που είπα από το διώνυμο του Νεύτωνα.

Diagoras13, δεν νομίζω ότι εκεί που απέτυχαν οι μεγαλύτεροι μαθηματικοι του κόσμου θα πετύχουμε εμείς τα Β-Γ γυμνασιόπαιδα.

Αν $a,b,c \in (0,1)$ και $a+b+c=1$ ν.δ.ο $(1-a)(1-b)(1-c) \geq 8abc$ .

ntonebts · 15-08-09

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Επαληθεύτηκε αυτό που είπα από το διώνυμο του Νεύτωνα.

Diagoras13, δεν νομίζω ότι εκεί που απέτυχαν οι μεγαλύτεροι μαθηματικοι του κόσμου θα πετύχουμε εμείς τα Β-Γ γυμνασιόπαιδα.

Αν $a,b,c in (0,1)$ και $a+b+c=1$ ν.δ.ο $(1-a)(1-b)(1-c) geq 8abc$ .

α+β+γ=1<=>1-α=β+γ
1-β=α+γ
1-γ=α+β
αρα αρκει νδο (β+γ)*(α+γ)*(α+β)>=8αβγ

εχω ομως οτι (α+β)^2>=4αβ
(β+γ)^2>=2βγ
(α+γ)^2>=2αγ
πολλ/ζω κατα μελη ολα θετικα
αρα εχω
(α+β)^2*(β+γ)^2*(α+γ)^2>=64(αβγ)^2 και τα δυο μελη θετικα βαζωριζες και εχω (β+γ)*(α+γ)*(α+β)>=8αβγ αυτο που ηθελα να αποδειξω αρα ισχυει

13diagoras · 16-08-09

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Επαληθεύτηκε αυτό που είπα από το διώνυμο του Νεύτωνα.

Diagoras13, δεν νομίζω ότι εκεί που απέτυχαν οι μεγαλύτεροι μαθηματικοι του κόσμου θα πετύχουμε εμείς τα Β-Γ γυμνασιόπαιδα.

Αν $a,b,c in (0,1)$ και $a+b+c=1$ ν.δ.ο $(1-a)(1-b)(1-c) geq 8abc$ .

αν εννοεις για την εικασια φυσικα και εκανα πλακα
οσο για την αποδειξη..πιστευω πως αυτο σηκωνει συζητηση...

ξαροπ · 16-08-09

Για την εικασία μιλούσα.

Σωστός ntonebts. Ακριβώς ίδιο σκεπτικό, απλά εφάρμοσε την $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ αντί για την άλλη (βγαίνει πιο γρήγορα).

Λοιπόν, μια άσκηση που μπήκε στο φετινό Ευκλείδη Β' Γυμνασίου.

Δίνεται τρίγωνο $ABC, (AC>AB)$ με την γωνία $A$ διπλάσια της γωνίας $B$ και τη γωνία $C$ μικρότερη της $B$ κατά $20^{\circ}$ . Έστω $AH$ το ύψος του και $AD$ η διχοτόμος του.

$i)$ Αν $A',B',C'$ τα συμμετρικά των $A,B,C$ αντίστοιχα ως προς το $AH$ ν.δ.ο. τα τρίγωνα $ABB', ACC'$ είναι ισοσκελή και να υπολογίσετε τις γωνίες τους.

$ii)$ Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία που σχηματίζεται από την $AH$ και $AD$ .

Eukleidis · 17-08-09

Hints

α) Απλό η συμμετρία λέει παρα πολλά
β) Απλός υπολογισμός γωνιών Στηριχθείτε στο (α)

Σημείωση: Μπραβο ρε ξαροπ θα έχουμε εναν Β.σ. στην παρέα μας.!!

SA-96 · 17-08-09

Α=2^2000/[(25^50/5^99-3^51/9^25)^1999+(2^111)^18+2*2^1997]
να βρεθεί ο Α (εδώ να σας δω:p:p:p)

ξαροπ · 18-08-09

Εύκολο είναι. Η παράσταση βγαίνει $\frac{2^{2000}}{2^{2000}} = 1$ (θες και αναλυτική λύση ή να την αφήσω να την προσπαθήσει και κάποιος άλλος?)

SA-96 · 18-08-09

Σωστός

13diagoras · 19-08-09

Αρχική Δημοσίευση από SA-96:
Α=2^2000/[(25^50/5^99-3^51/9^25)^1999+(2^111)^18+2*2^1997]
να βρεθεί ο Α (εδώ να σας δω:p:p:p)

ευκολο

ξαροπ · 19-08-09

Να υπολογίσετε.

$S = (1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})...(1-\frac{1}{100^2})$ .

Σκεφτείτε: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

Eukleidis · 19-08-09

Είναι επιεικώς ευκολοτάτη. Απλά προσοχή στο τι απλοποιειται και τι μένει

djimmakos · 19-08-09

Noμίζω

$S=\frac{1}{9^{25}}$

Eukleidis · 19-08-09

wrong

ξαροπ · 19-08-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Noμίζω

$S=frac{1}{9^{25}}$

Djim βάλε και τη λύση σου γιατί μπορεί να έχεις σωστό τρόπο αλλά να σκόνταψες κάπου...

djimmakos · 19-08-09

Ανά δύο οι όροι έχουν γινόμενο

1/3

Όχι, λάθος. Άκυρο :p

Eukleidis · 19-08-09

Για δες καλύτερα

Μαθηματικά - Οι καλύτερες ασκήσεις.

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος