Μαθηματικά Πανεπιστημίου-Ακολουθίες

[Lefter]

Για να αποδειξει εδω οτι η ακολουθια δεν ειναι φραγμενη προσπαθει να παει με εις ατοπο επαγωγη. Δεν θα μπορουσα πιο απλα να βρω α1, α2, α3, α4... και να πω οτι επειδη α1<α2<α3<α4... προκυπτει οτι η ακολουθια ειναι γν. αυξουσα αρα δεν εχει ανω φραγμα (μονο κατω = 0). Συνεπως δεν ειναι και φραγμενη

 

[Alexandros28]

Δε μπορείς. Και η αν=1/ν είναι γνησιως φθίνουσα αλλά είναι κατω φραγμένη.

 

[Samael]

View attachment 88702

Για να αποδειξει εδω οτι η ακολουθια δεν ειναι φραγμενη προσπαθει να παει με εις ατοπο επαγωγη. Δεν θα μπορουσα πιο απλα να βρω α1, α2, α3, α4... και να πω οτι επειδη α1<α2<α3<α4... προκυπτει οτι η ακολουθια ειναι γν. αυξουσα αρα δεν εχει ανω φραγμα (μονο κατω = 0). Συνεπως δεν ειναι και φραγμενη

Όχι γιατί αυτό δεν ισχύει. Υπάρχουν γνησίως αύξουσες ακολουθίες που είναι άνω φραγμένες. Άρα το οτι δείχνεις οτι είναι γνησίως αύξουσα δεν λέει κάτι.

 

[Agonistis]

Όχι γιατί αυτό δεν ισχύει. Υπάρχουν γνησίως αύξουσες ακολουθίες που είναι άνω φραγμένες. Άρα το οτι δείχνεις οτι είναι γνησίως αύξουσα δεν λέει κάτι.

Μπορείς να φέρεις ένα παράδειγμα;

 

[Samael]

Μπορείς να φέρεις ένα παράδειγμα;

Πάρε την συνάρτηση : f(x) = 1 - e^(-x) , x E R.
Υπέθεσε οτι φτιάχνεις μια ακολουθία απο αυτή, την x[n] = 1 - e^(-n) , n E Z.

Εαν παραγωγήσεις την f θα βρεις οτι είναι γνησίως αύξουσα διότι :
f'(x) = e^(-x) > 0 , για κάθε x E R.

Όμως :
-e^(-x) < 0 , για κάθε x E R <=>
1 - e^(-x) < 1 <=>
f(x) < 1

Έτσι ενώ η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x E R, βλέπουμε οτι είναι και άνω φραγμένη.
Και η ακολουθία λοιπόν που θα προκύπτει απο αυτή θα είναι αναγκαστικά γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη.

Ολίγον αντιδιαισθητικό, διότι έχεις στο μυαλό σου οτι κάτι που συνεχώς αυξάνεται, αναπόφευκτα κάποια στιγμή θα ξεπεράσει κάθε φράγμα. Άλλες πιο αργά, άλλες πιο γρήγορα(λόγου χάρη οι εκθετικές αυξάνουν πιο γρήγορα απο τις πολυωνυμικές).

Ωστόσο αποκτά ξανά μια λογική το πράγμα εαν σκεφτείς οτι κάτι θα μπορούσε να αυξάνεται συνεχώς, αλλά προσεγγίζοντας ασυμπτωματικά κάτι άλλο. Αυτό ακριβώς συμβαίνει και στην περίπτωση της γνησίως αύξουσας αλλά άνω φραγμένης συνάρτησης ή ακολουθίας :

Ελπίζω να βοήθησα.

 

[Agonistis]

Πάρε την συνάρτηση : f(x) = 1 - e^(-x) , x E R.
Υπέθεσε οτι φτιάχνεις μια ακολουθία απο αυτή, την x[n] = 1 - e^(-n) , n E Z.

Εαν παραγωγήσεις την f θα βρεις οτι είναι γνησίως αύξουσα διότι :
f'(x) = e^(-x) > 0 , για κάθε x E R.

Όμως :
-e^(-x) < 0 , για κάθε x E R <=>
1 - e^(-x) < 1 <=>
f(x) < 1

Έτσι ενώ η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x E R, βλέπουμε οτι είναι και άνω φραγμένη.
Και η ακολουθία λοιπόν που θα προκύπτει απο αυτή θα είναι αναγκαστικά γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη.

Ολίγον αντιδιαισθητικό, διότι έχεις στο μυαλό σου οτι κάτι που συνεχώς αυξάνεται, αναπόφευκτα κάποια στιγμή θα ξεπεράσει κάθε φράγμα. Άλλες πιο αργά, άλλες πιο γρήγορα(λόγου χάρη οι εκθετικές αυξάνουν πιο γρήγορα απο τις πολυωνυμικές).

Ωστόσο αποκτά ξανά μια λογική το πράγμα εαν σκεφτείς οτι κάτι θα μπορούσε να αυξάνεται συνεχώς, αλλά προσεγγίζοντας ασυμπτωματικά κάτι άλλο. Αυτό ακριβώς συμβαίνει και στην περίπτωση της γνησίως αύξουσας αλλά άνω φραγμένης συνάρτησης ή ακολουθίας :

View attachment 103736

Ελπίζω να βοήθησα.

Σε ευχαριστώ για το παράδειγμα. Όντως έτσι είναι.