Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Samael]

Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε με μια άσκηση μαθηματικών παρακαλώView attachment 69812

A)

α)
g(x) = 1/f(x) + x
g'(x) = -f '(x) / f²(x) + 1
g '(x) = [f²(x)-f '(x)]/f²(x) = 0 => αφού f²(x) = f '(x) απο υπόθεση του προβλήματος .
g(x) = c
1/f(x) + x = c =>
g(a)=c=g(b)

β)
2ln[f(xo)] = ln[f(a)]+ln[f(b)] =>
2ln[f(xo)] = ln[f(a)f(b)] =>
ln[f²(xo)] = ln[f(a)f(b)] =>
f²(xo) = f(a)f(b) =>
f '(xo) = f(a)f(b)

Απο το α) έχουμε οτι ισχύει :
f(a)-f(b) = (a-b)f(a)f(b) =>
f(b)-f(a) = (b-a)f(a)f(b)

Απο το ΘΜΤ υπάρχει xo E (a,b):
f '(xo) = [f(b)-f(a)]/(b-a) =>
f '(xo) = (b-a)f(a)f(b)/(b-a) =>
f '(xo) = f(a)f(b)

Β)
f '(x) = f²(x) > 0 =>
f γνησίως αύξουσα,άρα ακρότατα είναι τα άκρα του διαστήματος,εφόσον ορίζεται σε αυτά η f :
fmin=f(a) , fmax=f(b)

Γ)

Χρησιμοποιήσε την σχέση : 2015f(a) = f(b) στην αρχική σχέση :
1/f(b) - 1/f(a) = a-b

Θα καταλήξεις με :

f(b) = 2014/(b-a)
f(a) = 2014/[2015(b-a)]

Κάνεις τις εξής συγκρίσεις :

ln(2015)/(b-a) < f(b) = 2014/(b-a) =>
ln(2015)< 2014

Δεδομένου οτι lnx < x-1 , x>0 , η παραπάνω προφανώς ισχύει .
Επίσης :

f(a) = 2014/[2015(b-a)] < ln(2015)/(b-a) =>

2014/(2015) < ln(2015) =>
2014 < 2015*ln(2015) =>

Που προφανώς και ισχύει, αφού 2015>2014 και ln(2015) > 1 ,εφόσον x=2015>e .
'Αρα 2015*ln(2015) > 2014

Απο τα παραπάνω προκύπτει οτι :

f(a)<ln(2015)/(b-a)<f(b)

Απο το ΘΕΤ θα υπάρχει κάποιο ξ Ε (a,b) τέτοιο ώστε :

f(ξ) = ln(2015)/(b-a)

 

[Μάρκος Βασίλης]

Θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε λιγάκι πως βγαίνει ο τύπος του γ1 και στο γ4 πως ξεκινώ γιατί οκ ξέρω τι πρέπει να ισχύει για να διέρχεται απτό μ.και να εφάπτεται στην ε αλλά αρχικη μορφή των ζητούμενων ευθειών ποια είναι; Επίσης Δ3 και Δ4 αν θα μπορούσε κανείς να μου εξηγήσει πως λύνονται. Ξέρω πολλές μαζεμένες απορίες, αλλά.παλευω μπας και πιάσω 12-13

Για κάθε επιπρόσθετο πρόγραμμα από 0 έως 50 (αφού μιλάμε για μετά τα 100 και πριν τα 150) χρεώνεσαι από 1€ λιγότερο, άρα καθώς το x «τρέχει» από 0 μέχρι 50 (τα επιπλέον) η χρέωση πέφτει για όλα όσα πάρεις (και για τα επιπλέον και για τα πρώτα 100) κατά 1€, οπότε η χρέωση είναι 120-χ. Άρα έχεις:

Για το Γ4, γράψε τη μορφή της εξίσωσης μίας ευθείας που διέρχεται από αυτό το σημείο και σκέψου τι πάει να πει να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της E.

Για το Δ3, παρατήρησε ότι η ζητούμενη ανισότητα, αν τη μαγειρέψεις λίγο γράφεται g(0)>2g(1/2).

Για το Δ4, θεώρησε τη συνάρτηση:

που παρουσιάζει ελάχιστα στα 0 και 1, άρα από Fermat h'(0)=h'(1)=0, όπου:

Από τα παραπάνω βρίσκεις ότι f(0)=-1 και f(1)=-1 άρα το ζητούμενο είναι ένα Rolle μακριά.

 

[aggelosst9]

Ναι στο Δ3 είχα φτασει μέχρι εκείνο το σημείο αλλά μετά δεν.. αλλά θα το ξανακοιτάξω. Κατά τα άλλα με κατατόπισες, ευχαριστώ πολύ!

 

[eukleidhs1821]

Πονηροτατο οριο που θα την πατησει κοσμος!lim(ημχlnx) χ τεινει στο μηδεν.Αν δεν δεις την κινηση που πρεπει θα τρελαθει στις πραξεις και δεν θα βγαλει τιποτα

 

[Samael]

Πονηροτατο οριο που θα την πατησει κοσμος!lim(ημχlnx) χ τεινει στο μηδεν.Αν δεν δεις την κινηση που πρεπει θα τρελαθει στις πραξεις και δεν θα βγαλει τιποτα

Εαν κατάλαβα καλά και το όριο είναι
x(lnx)(ημx) με χ->0

Δεν νομίζω οτι θα δυσκόλευε την πλειοψηφία των παιδιών .

 

[eukleidhs1821]

Εαν κατάλαβα καλά και το όριο είναι
x(lnx)(ημx) με χ->0

Δεν νομίζω οτι θα δυσκόλευε την πλειοψηφία των παιδιών .

οχι χωρις το χ μπροστα λεω.

 

[Samael]

οχι χωρις το χ μπροστα λεω.

Οπότε εννοείς το όριο του (lnx)(sinx) καθώς το x τείνει στο 0.
Πάλι το ίδιο εύκολο είναι νομίζω, 0 .

 

[Μάρκος Βασίλης]

Πονηροτατο οριο που θα την πατησει κοσμος!lim(ημχlnx) χ τεινει στο μηδεν.Αν δεν δεις την κινηση που πρεπει θα τρελαθει στις πραξεις και δεν θα βγαλει τιποτα

Υπάρχει παρόμοια άσκηση στο σχολικό βιβλίο, στην οποία έχει και υπόδειξη - με τη νέα σελιδοποίηση, σελ. 169, Β' Ομάδα, ασκ. 6.

Το τρυκ είναι να γράψεις:

και να πάρεις ξεχωριστά τα όρια.

 

[Samael]

Αυτό που θεωρώ οτι θα ήταν πονηρό , είναι κάποιο όριο που θα οδηγούσε στον ορισμό του e και θα έπρεπε κάποιος να το δει για να λύσει το φαινομενικά "περίπλοκο" όριο . Αλλά το τι είναι πονηρό ή όχι εξαρτάται φυσικά απο το επίπεδο του κάθε μαθητή . Για ορισμένα παιδιά θα ήταν τελείως αστείο κάτι τέτοιο,αλλά τα περισσότερα φαντάζομαι θα τα σκάλωνε . Πιστεύω δυσκολάκι να γίνει αυτό όμως γιατί το e αντιμετωπίζεται ως σταθερά και σπανίως γίνεται εκτεταμένη συζήτηση για την σημασία του,τους διάφορους ορισμούς που μπορεί να δώσει κάποιος κτλπ.

 

[Μάρκος Βασίλης]

Αυτό που θεωρώ οτι θα ήταν πονηρό , είναι κάποιο όριο που θα οδηγούσε στον ορισμό του e και θα έπρεπε κάποιος να το δει για να λύσει το φαινομενικά "περίπλοκο" όριο . Αλλά το τι είναι πονηρό ή όχι εξαρτάται φυσικά απο το επίπεδο του κάθε μαθητή . Για ορισμένα παιδιά θα ήταν τελείως αστείο κάτι τέτοιο,αλλά τα περισσότερα φαντάζομαι θα τα σκάλωνε . Πιστεύω δυσκολάκι να γίνει αυτό όμως γιατί το e αντιμετωπίζεται ως σταθερά και σπανίως γίνεται εκτεταμένη συζήτηση για την σημασία του,τους διάφορους ορισμούς που μπορεί να δώσει κάποιος κτλπ.

Το e μπαίνει στη Β' λυκείου σαν το «όριο» - εντός πολλών εισαγωγικών - της ακολουθίας:

μέσω του προβλήματος του ανατοκισμού, αλλά μετά αντιμετωπίζεται ως σταθερός αριθμός μεταξύ του 2 και του 3, «ξεχνώντας» τον ορισμό του.

Οπότε, αν ήθελες να θίξεις τον «ορισμό» του e θα έπρεπε να βάλεις αυτό το όριο, κάπως, χρησιμοποιώντας μία συνάρτηση της μορφής:

όπου μπορείς να βάλεις κάποια g(x) στη θέση του x αρκεί να απειρίζεται κάπου. Ωστόσο, οι συναρτήσεις με μεταβλητό εκθέτη και μεταβλητή βάση ορίζονται - στο λύκειο σίγουρα, αλλά όχι μόνο - ως:

οπότε, αν πας να βάλεις ένα τέτοιο όριο θα το κάνουν έτσι όλα τα παιδιά και θα πάει στράφι ο κόπος. Το έχω σκεφτεί πολλές φορές, αλλά δεν έχω βρει τρόπο να το χώσω ομαλά σε διαγώνισμα ως τώρα. :Ρ

Τώρα, μπορείς να ψάξεις και κάτι με τον ορισμό:

αλλά ποιο παιδί θα το εκτιμήσει αυτό; :Ρ

Όπως και να έχει, σπαστικό το e στο λύκειο. Και το πώς ορίζονται οι εκθετικές συναρτήσεις και οι λογάριθμοι και όλα. Μου φαίνεται πρέπει να την κόψουμε την πολύ ανάλυση στο λύκειο. :Ρ

 

[Samael]

Το e μπαίνει στη Β' λυκείου σαν το «όριο» - εντός πολλών εισαγωγικών - της ακολουθίας:

μέσω του προβλήματος του ανατοκισμού, αλλά μετά αντιμετωπίζεται ως σταθερός αριθμός μεταξύ του 2 και του 3, «ξεχνώντας» τον ορισμό του.

Οπότε, αν ήθελες να θίξεις τον «ορισμό» του e θα έπρεπε να βάλεις αυτό το όριο, κάπως, χρησιμοποιώντας μία συνάρτηση της μορφής:

όπου μπορείς να βάλεις κάποια g(x) στη θέση του x αρκεί να απειρίζεται κάπου. Ωστόσο, οι συναρτήσεις με μεταβλητό εκθέτη και μεταβλητή βάση ορίζονται - στο λύκειο σίγουρα, αλλά όχι μόνο - ως:

οπότε, αν πας να βάλεις ένα τέτοιο όριο θα το κάνουν έτσι όλα τα παιδιά και θα πάει στράφι ο κόπος. Το έχω σκεφτεί πολλές φορές, αλλά δεν έχω βρει τρόπο να το χώσω ομαλά σε διαγώνισμα ως τώρα. :Ρ

Τώρα, μπορείς να ψάξεις και κάτι με τον ορισμό:

αλλά ποιο παιδί θα το εκτιμήσει αυτό; :Ρ

Όπως και να έχει, σπαστικό το e στο λύκειο. Και το πώς ορίζονται οι εκθετικές συναρτήσεις και οι λογάριθμοι και όλα. Μου φαίνεται πρέπει να την κόψουμε την πολύ ανάλυση στο λύκειο. :Ρ

Eίσαι σωστός,το είχαν αλλά σε μορφή ακολουθίας . Χμ,βλέπω τι εννοείς,το είχα ξεχάσει αυτό . Είναι δύσκολο οπότε γιατί θα χρησιμοποιήσουν a posteriori την γνώση που θες να τσεκάρεις . Το είχα καημό πολύ καιρό να το δω ,αλλά δεδομένου του τρόπου που διδάσκεται μάλλον δεν παίζει .

 

[eukleidhs1821]

Υπάρχει παρόμοια άσκηση στο σχολικό βιβλίο, στην οποία έχει και υπόδειξη - με τη νέα σελιδοποίηση, σελ. 169, Β' Ομάδα, ασκ. 6.

Το τρυκ είναι να γράψεις:

και να πάρεις ξεχωριστά τα όρια.

ωραιος.δεν το ξερα οτι υπηρχε μεσα στο σχολικο.ειναι αρκετα πονηρο οριο παντως αν δεν παρεις χαμπαρι το κολπο με το να πολλαπλασιασεις και να διαιρεσεις με χ.Βεβαια ο l hospital ειναι εκτος υλης οποτε δεν μπορει να πεσει

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 6 Ιουνίου 2020

δεν μπορει να πεσει αυτο με τον ορισμο του e με την καμια.στο τελος θα ζητηθει και το οριο της ακολουθιας n οστη ριζα n!

 

[Μάρκος Βασίλης]

ωραιος.δεν το ξερα οτι υπηρχε μεσα στο σχολικο.ειναι αρκετα πονηρο οριο παντως αν δεν παρεις χαμπαρι το κολπο με το να πολλαπλασιασεις και να διαιρεσεις με χ.Βεβαια ο l hospital ειναι εκτος υλης οποτε δεν μπορει να πεσει

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 6 Ιουνίου 2020

δεν μπορει να πεσει αυτο με τον ορισμο του e με την καμια.στο τελος θα ζητηθει και το οριο της ακολουθιας n οστη ριζα n!

Μη μου τρομοκρατείς τα παιδιά. Το ΙΕΠ έχει εκδώσει οδηγία η οποία νομιμοποιεί τη χρήση DLH ακόμα και φέτος - έπειτα από σχετική γκρίνια, βέβαια...

Το άλλο είναι στην αρχή σχετικά του 5ου κεφαλαίου της άλγεβρας της Β' λυκείου - δεν αναφέρει όρια κ.λπ. αλλά παίρνει διαδοχικά τιμές για το ν, μέσα από το πρόβλημα των ανατοκισμών.

Eίσαι σωστός,το είχαν αλλά σε μορφή ακολουθίας . Χμ,βλέπω τι εννοείς,το είχα ξεχάσει αυτό . Είναι δύσκολο οπότε γιατί θα χρησιμοποιήσουν a posteriori την γνώση που θες να τσεκάρεις . Το είχα καημό πολύ καιρό να το δω ,αλλά δεδομένου του τρόπου που διδάσκεται μάλλον δεν παίζει .

Να σου πω, σκέφτηκα κάτι άλλο τώρα. Το e είναι ο μοναδικός αριθμός που μπορούμε να βάλουμε στη θέση του α για τον οποίο η ανισότητα:

ισχύει για κάθε πραγματικό x. Αυτό υπάρχει στο σχολικό. Ωστόσο, χρησιμοποιούμε την παράγωγο της εκθετικής για να το αποδείξουμε, που προϋποθέτει ότι έχουμε μιλήσει για έναν αριθμό c με την ιδιότητα

που δεν είναι άλλος από τον e. Οπότε κάνουμε κύκλους.

Πληγές ξύνεις τώρα, άσε... :Ρ

 

[eukleidhs1821]

ναι την ακουσα την οδηγια αυτη ομως δεν νομιμοποιουνται να βαλουν ενα οριο που απαιτει χρηση l hospital μονο γτ θεωρειται εκτος υλης.η οδηγια ειναι προς αυτους που θελουν να χρησιμοποιησουν ενα l hospital σε ορια που βγαινουν και με αλγεβρικο τεχνασμα και βαριουνται να χρησιμοποιησουν απλες ταυτοτητες απλα κανουνε απευθειας l hospital.εγω τουλαχιστον αυτο καταλαβα

 

[Earendil]

Παιδιά genuine απορία. ο καθηγητής στο σχολειό μας ισχυρίζεται πως δεν θα έπρεπε να θεωρούμε τους εξής τύπους:
1. e^x>=x+1
2.lnx<=x-1

ως δεδομένους και θα πρέπει όταν τους χρησιμοποιούμε να τους αποδεικνύουμε πρώτα . Το οποίο καταλαβαίνω γιατί το κάνει -εξάλλου αποδευκνύονται πολυ εύκολα με την παράγωγο- ,από την άλλη στις πανελλήνιες που ο χρόνος μετράει αντίστροφα, δεν ξερώ αν αξίζει ο χρόνος. Για ποιο λόγο και ο μπάρλας και ο παπαδάκης ισχυρίζονται οτί τους τύπους αυτούς τους παίρνουμε ως γνωστούς? Δεν διαβάζω σχολικό βιβλίο( για ευνόητους λόγους) αλλά άμα κάποιος γνωρίζει τι παίζει σχετικά με αυτό το θέμα θα ήθελα πολύ να το αναφέρετε.

 

[Samael]

Μη μου τρομοκρατείς τα παιδιά. Το ΙΕΠ έχει εκδώσει οδηγία η οποία νομιμοποιεί τη χρήση DLH ακόμα και φέτος - έπειτα από σχετική γκρίνια, βέβαια...

Το άλλο είναι στην αρχή σχετικά του 5ου κεφαλαίου της άλγεβρας της Β' λυκείου - δεν αναφέρει όρια κ.λπ. αλλά παίρνει διαδοχικά τιμές για το ν, μέσα από το πρόβλημα των ανατοκισμών.



Να σου πω, σκέφτηκα κάτι άλλο τώρα. Το e είναι ο μοναδικός αριθμός που μπορούμε να βάλουμε στη θέση του α για τον οποίο η ανισότητα:

ισχύει για κάθε πραγματικό x. Αυτό υπάρχει στο σχολικό. Ωστόσο, χρησιμοποιούμε την παράγωγο της εκθετικής για να το αποδείξουμε, που προϋποθέτει ότι έχουμε μιλήσει για έναν αριθμό c με την ιδιότητα

που δεν είναι άλλος από τον e. Οπότε κάνουμε κύκλους.

Πληγές ξύνεις τώρα, άσε... :Ρ

Πράγματι κυριολεκτικά κύκλοι γιατί το παίρνουν αβίαστα ως δεδομένο κατά την επίλυση .
Αλλά περίμενε, ένα λεπτό . Εαν μπορούσες να "μαγειρέψεις" ένα όριο που θα έπαιρνε σημαντικά πολύ χρόνο για να λυθεί και κατέληγε με την οριακή έκφραση του e και άντε πες κάτι να το πολλαπλασιάζει ή να το διαιρεί ;

Οπότε σε όσους έκοβε και το έβλεπαν ,θα γλίτωναν στο τέλος λίγο χρόνο . Δεν έχει πολύ κακές προοπτικές αυτή η εκδοχή νομίζω,ειδικά εαν τους είχε βγει λίγο η πίστη να καταλήξουν στην σωστή μορφή για να το αναγνωρίσουν . Και όσοι δεν το έβλεπαν,θα τους έβγαινε ακόμα παραπάνω η πίστη .

 

[eukleidhs1821]

Παιδιά genuine απορία. ο καθηγητής στο σχολειό μας ισχυρίζεται πως δεν θα έπρεπε να θεωρούμε τους εξής τύπους:
1. e^x>=x+1
2.lnx<=x-1

ως δεδομένους και θα πρέπει όταν τους χρησιμοποιούμε να τους αποδεικνύουμε πρώτα . Το οποίο καταλαβαίνω γιατί το κάνει -εξάλλου αποδευκνύονται πολυ εύκολα με την παράγωγο- ,από την άλλη στις πανελλήνιες που ο χρόνος μετράει αντίστροφα, δεν ξερώ αν αξίζει ο χρόνος. Για ποιο λόγο και ο μπάρλας και ο παπαδάκης ισχυρίζονται οτί τους τύπους αυτούς τους παίρνουμε ως γνωστούς? Δεν διαβάζω σχολικό βιβλίο( για ευνόητους λόγους) αλλά άμα κάποιος γνωρίζει τι παίζει σχετικά με αυτό το θέμα θα ήθελα πολύ να το αναφέρετε.

τον δευτερο τυπο εχεις το δικαιωμα 110% να τον χρησιμοποιησεις χωρις αποδειξη γτ τον εχει το σχολικο σε εφαρμογη και ο νομος ειναι σαφης!!Ο πρωτος τυπος ομως 110% δεν εχεις τον δικαιωμα να τον παρεις δεδομενο και θελει αποδειξη ειτε με ακροτατα και θεωρηση συναρτησης ειτε βαζοντας οπου χ το e^x στον δευτερο και σου βγαινει το ζητουμενο.

 

[Athens2002]

Παιδιά genuine απορία. ο καθηγητής στο σχολειό μας ισχυρίζεται πως δεν θα έπρεπε να θεωρούμε τους εξής τύπους:
1. e^x>=x+1
2.lnx<=x-1

ως δεδομένους και θα πρέπει όταν τους χρησιμοποιούμε να τους αποδεικνύουμε πρώτα . Το οποίο καταλαβαίνω γιατί το κάνει -εξάλλου αποδευκνύονται πολυ εύκολα με την παράγωγο- ,από την άλλη στις πανελλήνιες που ο χρόνος μετράει αντίστροφα, δεν ξερώ αν αξίζει ο χρόνος. Για ποιο λόγο και ο μπάρλας και ο παπαδάκης ισχυρίζονται οτί τους τύπους αυτούς τους παίρνουμε ως γνωστούς? Δεν διαβάζω σχολικό βιβλίο( για ευνόητους λόγους) αλλά άμα κάποιος γνωρίζει τι παίζει σχετικά με αυτό το θέμα θα ήθελα πολύ να το αναφέρετε.

Σχετικά με αυτην με το lnx υπαρχει σε εφαρμογη στο βιβλιο οποτε δεν την αποδεικνύουμε. Για την άλλη στις οδηγίες του Υπουργείου είπαν Επίσης χωρίς απόδειξη.

 

[eukleidhs1821]

Σχετικά με αυτην με το lnx υπαρχει σε εφαρμογη στο βιβλιο οποτε δεν την αποδεικνύουμε. Για την άλλη στις οδηγίες του Υπουργείου είπαν Επίσης χωρίς απόδειξη.

εισαι σιγουρη για την e^x??εγω το ειχα ξαναδει σε πανελλαδικες αυτη την ανισωση και την αποδεικνυανε

 

[Athens2002]

εισαι σιγουρη για την e^x??εγω το ειχα ξαναδει σε πανελλαδικες αυτη την ανισωση και την αποδεικνυανε

Ίσωςαπο φέτος να μην χρειάζεται απόδειξη. Είμαι σίγουρη παντως καθώς το έχω ακούσει από καθηγητές σε σχολείο και φροντιστήριο και έχω δει και την οδηγία. Αν την βρω θα την παραθέσω κιόλας.

https://www.google.com/url?sa=t&sou...FjAAegQIARAB&usg=AOvVaw1nSpLiXlfr-Z3HcTunYojv

[/URL]