Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

PiDefiner · 17 Μαρτίου 2015 στις 21:11

Αρχική Δημοσίευση από Νίκος Συμιδαλάς:
Βασικά το πρόβλημα είναι η ανάλυση της εικόνας σου..
Προσωπικά δεν καταλαβαίνω χριστό

Ναι, τις βγάζω από την webcam για να μην τις περνάω από στο υπολογιστή. Τέλος πάντων, θα την γράψω σε Latex, απλά δεν ξέρω πότε...

Vold · 17 Μαρτίου 2015 στις 21:27

Κοίτα λίγο πολύ βγαίνει αλλά είναι ολόκληρη ;
Μου φαίνεται ότι είναι κομμένη, άσε που δεν καταλαβαίνω το ιώτα τι ρόλο παίζει εκεί

PiDefiner · 17 Μαρτίου 2015 στις 21:42

Θέτω I το ολοκλήρωμα που έχω να βρω και λύνω ως προς αυτό.
Μια άλλη, σύντομη ερώτηση. Η συνάρτηση 2ln(x-1), έχει πεδίο ορισμού το x>1 ή x=/=1 (αν το κάνω ln(x-1)^2

ultraviolence · 17 Μαρτίου 2015 στις 21:51

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Μπορεί κάποιος να εντοπίσει που κάνω την πατάτα και βγάζω λάθος αποτέλεσμα; Το κοιτάω 3 τέταρτα τώρα και δεν μπορώ να καταλάβω.

(Το ξέρω, σας βάζω δύσκολα με τα ορνιθοσκαλίσματά μου, αλλά όποιος μπορέσει να το διαβάσει έχει extra credits )

δοκιμασε το με Α και Β και θα σου βγει! Και'γω το'χα δοκιμασει ετσι με το κολπακι που'χει σε αντιστοιχη λυμενη ο μπαρλας αλλα καπου το'χανα! Θα κανεις 2-3 βηματα παραπανω, αλλα θα σου βγει!

PiDefiner · 17 Μαρτίου 2015 στις 21:57

Αρχική Δημοσίευση από ultraviolence:
δοκιμασε το με Α και Β και θα σου βγει! Και'γω το'χα δοκιμασει ετσι με το κολπακι που'χει σε αντιστοιχη λυμενη ο μπαρλας αλλα καπου το'χανα! Θα κανεις 2-3 βηματα παραπανω, αλλα θα σου βγει!

Ναι, το ξέρω. Αλλά αυτό είναι που μου κάνει εντύπωση. Γιατί έτσι δεν μου βγαίνει; Δεν μπορώ να βρω το λάθος μου.

rebel · 17 Μαρτίου 2015 στις 22:29

Μα τόσο βγαίνει: $\frac{1}{2} \ln\left(\frac{6}{4}\right)$

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Μια άλλη, σύντομη ερώτηση. Η συνάρτηση 2ln(x-1), έχει πεδίο ορισμού το x>1 ή x=/=1 (αν το κάνω ln(x-1)^2

Είναι
$\ln (x-1)^2= 2\ln |x-1|,\,\,x\neq 1$
και
$\ln (x-1)^2= 2\ln (x-1),\,\,x>1$

ultraviolence · 17 Μαρτίου 2015 στις 22:34

Έχει βρει το αντιστροφο

rebel · 17 Μαρτίου 2015 στις 22:49

Αν βλέπω καλά γράφει
$-2I = \ln \left(\frac{4}{6}\right) \Leftrightarrow I = - \frac{1}{2} \ln \left(\frac{4}{6}\right)$
που είναι το ίδιο ( Το μείον πάει -1 εκθέτης στον λογάριθμο )

PiDefiner · 19 Μαρτίου 2015 στις 16:22

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν βλέπω καλά γράφει
$-2I = \ln \left(\frac{4}{6}\right) \Leftrightarrow I = - \frac{1}{2} \ln \left(\frac{4}{6}\right)$
που είναι το ίδιο ( Το μείον πάει -1 εκθέτης στον λογάριθμο )

Oops

, έχεις δίκιο...

PiDefiner · 21 Μαρτίου 2015 στις 10:47

Δύο ερωτήσεις:
1) Θυμάμαι πως όταν ψάχνουμε τοπικά ακρότατα σε διακλαδισμένες συναρτήσεις, δεν χρειάζεται να ελέγξουμε την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης στο σημείο αλλαγής του τύπου, αλλά δεν θυμάμαι γιατί. Για παράδειγμα, λύνω την παρακάτω, και βλέπω ότι είναι συνεχής στο 2, και η παράγωγος δεν μηδενίζει. Κανονικά δεν πρέπει να δω αν είναι παραγωγίσιμη στο 2, ώστε να δω αν έχω πιθανή θέση ακροτάτου ή όχι; Και στη συνέχεια να ελέγξω μονοτονία για αν δω αν είναι όντως θέση τοπικού ακροτάτου;

Μήπως θυμάμαι λάθος, και τελικά χρειάζεται να ελέγξω παραγωγισιμότητα;
2) Λύσαμε μια άσκηση που ζητούσε ολικά ακρότατα με Θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης τιμής. Είπαμε πως, αφού είναι συνεχής σε ένα διάστημα, τότε παρουσιάζει σίγουρα μέγιστο και ελάχιστο, άρα το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα είναι το ολικό μέγιστο και το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα είναι το τοπικό ελάχιστο. Αυτό που δεν κατάλαβα, είναι γιατί δεν ελέγξαμε αν οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι όντως θέσεις τοπικών ακροτάτων. Δηλαδή βρήκαμε μια τιμή που η f' μηδενίζει και μαζί με τα άκρα της, υπολογίσαμε τα τοπικά ακρότατα και πήραμε το μεγαλύτερο και το μικρότερο. Δεν θα μπορούσε, ένα από αυτά -πχ το σημείο που η f' μηδενίζει και αποτελεί το τοπικό μέγιστο- να είναι σημείο που η f' δεν αλλάζει πρόσημο, άρα η f δεν αλλάζει μονοτονία, άρα δεν αποτελεί ακρότατο; Ή για να θέσω ακόμα γενικότερη ερώτηση: Η μόνη περίπτωση που η f δεν θα παρουσιάζει ακρότατο σε μια πιθανή θέση τοπικού ακροτάτου για την οποία η f' μηδενίζει, είναι μόνο όταν f διατηρεί τη μονοτονία της (μιλάμε πάντα για συνεχείς και μη διακλαδισμένες συναρτήσεις);
Αν χρειαστεί, πείτε μου να γράψω όλη την άσκηση με τη λύση της.

rebel · 21 Μαρτίου 2015 στις 17:35

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Δύο ερωτήσεις:
1) Θυμάμαι πως όταν ψάχνουμε τοπικά ακρότατα σε διακλαδισμένες συναρτήσεις, δεν χρειάζεται να ελέγξουμε την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης στο σημείο αλλαγής του τύπου, αλλά δεν θυμάμαι γιατί. Για παράδειγμα, λύνω την παρακάτω, και βλέπω ότι είναι συνεχής στο 2, και η παράγωγος δεν μηδενίζει. Κανονικά δεν πρέπει να δω αν είναι παραγωγίσιμη στο 2, ώστε να δω αν έχω πιθανή θέση ακροτάτου ή όχι; Και στη συνέχεια να ελέγξω μονοτονία για αν δω αν είναι όντως θέση τοπικού ακροτάτου;

Μήπως θυμάμαι λάθος, και τελικά χρειάζεται να ελέγξω παραγωγισιμότητα;

Στο σχολικό βιβλίο αναφέρει ότι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται αποτελούν πιθανές θέσεις τοπικού ακροτάτου. Επομένως πράγματι πρέπει να ελέγξεις την παραγωγισιμότητα στο 2 και μετά να ελέγξεις με μονοτονία αν είναι όντως θέση τοπικού ακροτάτου όπως γίνεται και στο παράδειγμα του σχολικού βιβλίου με την συνάρτηση
$f(x)=\begin{cases}x^3, & x<1 \\ (x-2)^2, & x \geq 1 \end{cases}$

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Αυτό που δεν κατάλαβα, είναι γιατί δεν ελέγξαμε αν οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι όντως θέσεις τοπικών ακροτάτων. Δηλαδή βρήκαμε μια τιμή που η f' μηδενίζει και μαζί με τα άκρα της, υπολογίσαμε τα τοπικά ακρότατα και πήραμε το μεγαλύτερο και το μικρότερο. Δεν θα μπορούσε, ένα από αυτά -πχ το σημείο που η f' μηδενίζει και αποτελεί το τοπικό μέγιστο- να είναι σημείο που η f' δεν αλλάζει πρόσημο, άρα η f δεν αλλάζει μονοτονία, άρα δεν αποτελεί ακρότατο;

Το ότι μπορεί να μην αλλάζει η μονοτονία γύρω από κάποιο $x_0$ δεν σε απασχολεί. Στην περίπτωση αυτή απλά δεν μπορεί να είναι θέση ολικού μεγίστου ή ελαχίστου. Εσύ ξέρεις ότι οι θέσεις ολικού μεγίστου και ελαχίστου είναι μέσα στις υποψήφιες που αναφέρεις (κρίσιμα σημεία + άκρα διαστήματος).
Για να σου δώσω ένα ανάλογο από την περσινή άλγεβρα. Αν ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές έχει ακέραιες ρίζες τότε αυτές θα είναι διαιρέτες του σταθερού όρου. Άρα για να βρω αυτές τις ακέραιες ρίζες αρκεί να ελέγξω όλους τους διαιρέτες του σταθερού όρου αν είναι ρίζες. Στον έλεγχο αυτόν πιθανόν να βρω διαιρέτες του σταθερού όρου που δεν είναι ρίζες, όμως αυτό δεν με απασχολεί.

PiDefiner · 21 Μαρτίου 2015 στις 20:11

Ευχαριστώ! Η αλήθεια είναι ότι το παραμέλησα το βιβλίο τελευταία, από το ΘΜΤ και μετά δηλαδή :whistle:

Βρε παιδιά, έχει κανείς κανένα site να μπω να δω μπόλικα παραδείγματα στην εύρεση πεδίου ορισμού των τριών συναρτήσεων στα ολοκληρώματα (δεν μπορώ να τις γράψω, βάζω φωτογραφία).

Ο Μπάρλας έχει ελάχιστες ασκήσεις και στο σχολικό που κοίταξα δεν βρήκα να κάνω. Δεν νομίζω πως πρόκειται για διαδικασία που καταλαβαίνεις με ένα παράδειγμα από κάθε περίπτωση.

rebel · 21 Μαρτίου 2015 στις 21:24

https://drive.google.com/file/d/0B9uh0VymSVrpV2otVjJOQ0hGMkk/edit?pli=1

PiDefiner · 24 Μαρτίου 2015 στις 10:44

Έστω μια συνάρητηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν η f έχει σύνολο τιμών το [-1,2] και f(α)=0, f(β)=1, να δείξετε ότι υπάρχουν x1,x2 στο (α,β) τέτοια ώστε f'(x1)=f'(x2)=0.

Παραθέτω πως το σκέφτηκα:

Έστω f(x3)=-1 και f(x4)=2, που είναι τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης. Στο δίστημα [x3,x4] ισχύει Bolzano, άρα υπάρχει x5 στο (x3,x2) τέτοιο ώστε f(x5)=0.
Λόγω συνέχειας, υπάρχει και x6 στο [-1,2] τέτοιο ώστε f(x6)=1.
Άρα, στο [x6, β] και στο [α,x5] έχουμε αντίστοιχα f(x6)=f(β) και f(α)=f(x5), συνεπώς για την f ισχύει Rolle στα [x6,β] και [α,x5].΄
Άρα υπάρχουν x1,x2 που ανήκουν στα (x6,β) και (α,x5) τέτοια ώστε f'(x1)=f'(x2)=0.

Αυτό που δεν μπορώ να δικαιολογήσω, είναι γιατί (ή αν) ισχύει x5<x6. Μόνο τότε ισχύουν όσα έγραψα, αλλιώς τα x1,x2 μπορεί να είναι το ίδιο σημείο.

Edit: Μήπως αν πάρω περιπτώσεις με την μονοτονία;

mixalis123 · 24 Μαρτίου 2015 στις 11:20

Εφόσον στα άκρα του διαστηματος δεν παρουσιαζει ουτε μεγιστο , ουτε ελαχιστο ,και η f συνεχής στο [α,β] τοτε θα παρουσιαζει μεγιστο και ελαχιστο σε εσωτερικο σημεια του [α,β]. Όμως η f παραγωγίσιμη , αρα απο θεώρημα Fermat f'(x1)=f'(x2)=0 , οπου χ1,χ2 οι θεσεις του μεγιστου και ελαχιστου.

blackorgrey · 24 Μαρτίου 2015 στις 11:24

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Έστω μια συνάρητηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν η f έχει σύνολο τιμών το [-1,2] και f(α)=0, f(β)=1, να δείξετε ότι υπάρχουν x1,x2 στο (α,β) τέτοια ώστε f'(x1)=f'(x2)=0.

Παραθέτω πως το σκέφτηκα:

Έστω f(x3)=-1 και f(x4)=2, που είναι τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης. Στο δίστημα [x3,x4] ισχύει Bolzano, άρα υπάρχει x5 στο (x3,x2) τέτοιο ώστε f(x5)=0.
Λόγω συνέχειας, υπάρχει και x6 στο [-1,2] τέτοιο ώστε f(x6)=1.
Άρα, στο [x6, β] και στο [α,x5] έχουμε αντίστοιχα f(x6)=f(β) και f(α)=f(x5), συνεπώς για την f ισχύει Rolle στα [x6,β] και [α,x5].΄
Άρα υπάρχουν x1,x2 που ανήκουν στα (x6,β) και (α,x5) τέτοια ώστε f'(x1)=f'(x2)=0.

Αυτό που δεν μπορώ να δικαιολογήσω, είναι γιατί (ή αν) ισχύει x5<x6. Μόνο τότε ισχύουν όσα έγραψα, αλλιώς τα x1,x2 μπορεί να είναι το ίδιο σημείο.

Edit: Μήπως αν πάρω περιπτώσεις με την μονοτονία;

Έχεις υποθέσει χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι χ3<χ4...από εκεί και πέρα από θετ μπορείς να πεις ότι υπάρχουν χ5,χ6 στο (χ3,χ4) ώστε f(x5)=0 και f(x6)=1 αν χ5<χ6 καλώς...αν χ6<χ5 τότε από θετ στο [χ3,χ6] μπορείς να βρεις χ7<χ6 ώστε f(x7)=0 και συνεχίζεις...
Πάντως πιο απλό θα ήταν να πεις ότι αφού είναι συνεχής σε κλειστό παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και αφού αυτό δε συμβαίνει στα άκρα συμβαίνει σε χ1,χ2 στο εσωτερικό και από Fermat να προκύψει το ζητούμενο

PiDefiner · 24 Μαρτίου 2015 στις 12:04

Αρχική Δημοσίευση από mixalis123:
Εφόσον στα άκρα του διαστηματος δεν παρουσιαζει ουτε μεγιστο , ουτε ελαχιστο ,και η f συνεχής στο [α,β] τοτε θα παρουσιαζει μεγιστο και ελαχιστο σε εσωτερικο σημεια του [α,β]. Όμως η f παραγωγίσιμη , αρα απο θεώρημα Fermat f'(x1)=f'(x2)=0 , οπου χ1,χ2 οι θεσεις του μεγιστου και ελαχιστου.

Χαχα, ναι, ό,τι να' ναι... εγώ το πήγα κατευθείαν με θεωρήματα :redface:

DumeNuke · 24 Μαρτίου 2015 στις 12:51

Λύνεται και με "θεωρήματα" (το Fermat τι είναι?

):

Έστω ρ1 και ρ2 τέτοια ώστε:
f(ρ1)=-1 και f(ρ2)=2

Αν ρ1<ρ2 τότε

ΘΜΤ στο [α,ρ1]: f'(ξ1)<0
ΘΜΤ στο [ρ1,ρ2]: f'(ξ2)>0
ΘΜΤ στο [ρ2,β]: f'(ξ3)<0
Από ΘΒ στα [ξ1,ξ2] και [ξ2,ξ3] αποδεικνύεται η ύπαρξη των χ1,χ2.

Αν ρ2<ρ1, αντιστρέφονται τα πρόσημα των f'(ξ1), f'(ξ2) και f'(ξ3) και το ΘΒ εφαρμόζεται κατά τον ίδιο τρόπο.

Αρχική Δημοσίευση από blackorgrey:
Θες συνεχή παράγωγο για το Bolzano και δεν δίνεται

Άντε πάλι. Ένα κάρο ασκήσεις μου έχει πετάξει off αυτή η ασυνέχεια 1ης παραγώγου. Άι σιχτίρ...

blackorgrey · 24 Μαρτίου 2015 στις 13:26

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Λύνεται και με "θεωρήματα" (το Fermat τι είναι?):

Έστω ρ1 και ρ2 τέτοια ώστε:
f(ρ1)=-1 και f(ρ2)=2

Αν ρ1<ρ2 τότε

ΘΜΤ στο [α,ρ1]: f'(ξ1)<0
ΘΜΤ στο [ρ1,ρ2]: f'(ξ2)>0
ΘΜΤ στο [ρ2,β]: f'(ξ3)<0
Από ΘΒ στα [ξ1,ξ2] και [ξ2,ξ3] αποδεικνύεται η ύπαρξη των χ1,χ2.

Αν ρ2<ρ1, αντιστρέφονται τα πρόσημα των f'(ξ1), f'(ξ2) και f'(ξ3) και το ΘΒ εφαρμόζεται κατά τον ίδιο τρόπο.

Θες συνεχή παράγωγο για το Bolzano και δεν δίνεται

PiDefiner · 24 Μαρτίου 2015 στις 13:39

Έχει και 2ο ερώτημα που λέει πως αν f' είναι συνεχής στο [α,β], να δείξω ότι η εξίσωση $f'(x)=(x^2 +1)f(x)$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο α,β.
Έθεσα συνάρτηση $g(x)=f'(x)-(x^2 +1)f(x)$ και υπολόγισα τα g(x1) και g(x2) (f(x1)=-1, f(x2)=2, f'(x1)=f'(x2)=0 και x1,x2 είναι στο τέτραγωνο) που βγαίνουν ετερόσημα, οπότε ισχύει το Bolzano. Αυτό που με προβληματίζει είναι γιατί έδινε τα f(α),f(β). Μάλλον κάνω κάτι λάθος...

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Συντονιστής

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συντονιστής

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος