Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

dimitris001 · 2013-02-12T23:16:05+0200

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Βασικά άκυρο το παραπάνω..
Πρέπει να λές αυτή: $\bar{z}=\frac{{\left|z \right|}^{2}}{z}$
Οπότε η εξίσωση γίνεται:
$w=\frac{{z}^{3}(z+i)}{\frac{{\left|z \right|}^{2}}{z}-i}=\frac{{z}^{3}(z+i)}{\frac{1}{z}-i}=\frac{{z}^{3})z+i)}{1-zi}=\frac{{z}^{3}(z+i)}{-i(z+i)}=\frac{{z}^{3}}{-i}\Rightarrow \left|w \right|=\frac{\left|{z}^{3} \right|}{\left|-i \right|}\Rightarrow \left|w \right|={\left|z \right|}^{3}=1$

Σωστα;

Γενικά αυτό που θα πρέπει να έχετε στο μυαλό σας όταν λύνεται τέτοιου είδους μαθηματικές ασκήσεις είναι το εξής:
$\mid z\mid =2\Leftrightarrow {|z|}^{2}=4\Leftrightarrow z\bar{z}=4\Leftrightarrow z=\frac{4}{\bar{z}}$ και $\bar{z}=\frac{4}{z}$
Είναι πολύ χρησιμο κυριως στα επόμενα ερωτηματα οταν στο 1ο ερβτημα σας ζητανε ν.δ.ο το μετρο του μιγαδικού ειναι τόσο..

Solmyr · 2013-02-12T23:20:24+0200

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Βασικά άκυρο το παραπάνω..
Πρέπει να λές αυτή: $\bar{z}=\frac{{\left|z \right|}^{2}}{z}$
Οπότε η εξίσωση γίνεται:
$w=\frac{{z}^{3}(z+i)}{\frac{{\left|z \right|}^{2}}{z}-i}=\frac{{z}^{3}(z+i)}{\frac{1}{z}-i}=\frac{{z}^{3})z+i)}{1-zi}=\frac{{z}^{3}(z+i)}{-i(z+i)}=\frac{{z}^{3}}{-i}\Rightarrow \left|w \right|=\frac{\left|{z}^{3} \right|}{\left|-i \right|}\Rightarrow \left|w \right|={\left|z \right|}^{3}=1$

Σωστα;

δεν έλεγα αυτή.Βέβαια και οι 2 τρόποι σωστοί είναι.Απλά εσύ έκανες αντικατάσταση ενώ εγώ πήρα την ιδιότητα $\left|z \right + i|=\left|\bar{z} \right - i|$

mary-blackrose · 2013-02-13T00:45:49+0200

γεια σας!!

θα ηθελα τη βοηθεια σας στα παρακατω ορια...
$i)\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt } \\ ii)\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1 }{ { (x-1) }^{ 2 } } \int _{ 1 }^{ x }{ (\sqrt { { t }^{ 2 }+3 } } -2)dt }$

Solmyr · 2013-02-13T01:10:03+0200

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
γεια σας!! θα ηθελα τη βοηθεια σας στα παρακατω ορια...
$i)\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt } \\ ii)\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1 }{ { (x-1) }^{ 2 } } \int _{ 1 }^{ x }{ (\sqrt { { t }^{ 2 }+3 } } -2)dt }$

Λοιπόν η λογική είναι ίδια.Οπότε εγώ θα σου πω το 1ο που είναι πιο μικρό...

αν αντικαταστασησεις οπου χ το 0 γινεται 0/0.Οποτε εφαρμοζεις delhopital και έχεις

lim ημχ .Είναι πάλι 0/0.Ξανα εφαρμοζεις delhopital.Και εχεις
x-0 2χ

lim συνχ= 1/2
x-0 2

Ελπίζω να κατάλαβες έτσι πως τα γραψα.Τις παραγωγίσεις κατευθειαν τις εκανα

rebel · 2013-02-13T09:21:27+0200

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
γεια σας!! θα ηθελα τη βοηθεια σας στα παρακατω ορια...
$i)\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt }$

Διαφορετικά για το πρώτο.
$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt }= \lim_{x \to 0} \frac{-\sigma \upsilon \nu x+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\sigma \upsilon \nu^2 x}{x^2(1+ \sigma \upsilon \nu x)} =\lim_{x \to 0} \left ( \frac{\eta \mu^2 x}{x^2} \frac{1}{1+ \sigma \upsilon \nu x} \right)=1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Στο δεύτερο δεν ξέρω αν μπορούμε να αποφύγουμε τον del' hospital.

Solmyr · 2013-02-13T13:24:38+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Διαφορετικά για το πρώτο.
$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt }= \lim_{x \to 0} \frac{-\sigma \upsilon \nu x+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\sigma \upsilon \nu^2 x}{x^2(1+ \sigma \upsilon \nu x)} =\lim_{x \to 0} \left ( \frac{\eta \mu^2 x}{x^2} \frac{1}{1+ \sigma \upsilon \nu x} \right)=1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Στο δεύτερο δεν ξέρω αν μπορούμε να αποφύγουμε τον del' hospital.

Ποιος ο λόγος να λύσει κάποιος την άσκηση με αυτόν τον τρόπο ενώ μπορεί να λυθεί(αυτή και κάθε άλλη όμοια της) με delhospital πολύ πιο εύκολα και σύντομα?

JKaradakov · 2013-02-13T16:00:52+0200

Αρχική Δημοσίευση από Solmyr:
Ποιος ο λόγος να λύσει κάποιος την άσκηση με αυτόν τον τρόπο ενώ μπορεί να λυθεί(αυτή και κάθε άλλη όμοια της) με delhospital πολύ πιο εύκολα και σύντομα?

Δεν είναι κακό να βλέπουμε και καναν άλλο τρόπο λύσεις.

Mercury · 2013-02-13T22:15:31+0200

Να λυθεί η εξίσωση:
$\left|z+1 \right|=4z-2\bar{z}-6i\Rightarrow \left|x+yi+1 \right|=4\left(x+yi \right)-2(x-yi)-6i\Rightarrow \left|x+1+yi \right|=4x+4yi-2x+2yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x+6yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x-6yi+6i=0\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x=0 \\ & -6yi+6i=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x \\ & 6yi=6i\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+1}=2x \\ & y=1 \end{cases}\Rightarrow {\sqrt{{(x+1)}^{2}+1}}^{2}={(2x)}^{2}\Rightarrow {(x+1)}^{2}+1=4{x}^{2}\Rightarrow (x+1)(x+1)+1=4{x}^{2}\Rightarrow {x}^{2}+2x+1=4{x}^{2}\Rightarrow 3{x}^{2}-2x-2=0$

Διακρίνουσα:
$\Delta ={\beta }^{2}-4\alpha \gamma \Rightarrow \Delta =4-4\cdot 3\cdot (-2)=28$

Άρα,οι ρίζες της εξίσωσης είναι:
${x}_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{7}}{3}$

Στις λύσεις του Μπάρλα όμως,γράφει σαν λύση όμως το
$z=\frac{1+\sqrt{7}}{3}+i$
Γιατί; :hmm:

φρι · 2013-02-13T22:27:29+0200

Μερκ,το y ισουται με -i . Ξαναδεστο

JKaradakov · 2013-02-13T22:30:00+0200

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Να λυθεί η εξίσωση:
$\left|z+1 \right|=4z-2\bar{z}-6i\Rightarrow \left|x+yi+1 \right|=4\left(x+yi \right)-2(x-yi)-6i\Rightarrow \left|x+1+yi \right|=4x+4yi-2x+2yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x+6yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x-6yi+6i=0\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x=0 \\ & -6yi+6i=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x \\ & 6yi=6\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+1}=2x \\ & y=1 \end{cases}\Rightarrow {\sqrt{{(x+1)}^{2}+1}}^{2}={(2x)}^{2}\Rightarrow {(x+1)}^{2}+1=4{x}^{2}\Rightarrow (x+1)(x+1)+1=4{x}^{2}\Rightarrow {x}^{2}+2x+1=4{x}^{2}\Rightarrow 3{x}^{2}-2x-2=0$

Διακρίνουσα:
$\Delta ={\beta }^{2}-4\alpha \gamma \Rightarrow \Delta =4-4\cdot 3\cdot (-2)=28$

Άρα,οι ρίζες της εξίσωσης είναι:
${x}_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{7}}{3}$

Στις λύσεις του Μπάρλα όμως,γράφει σαν λύση όμως το
$z=\frac{1+\sqrt{7}}{3}+i$
Γιατί;

Γιά το y είναι: $y=-i$
Μόνο αυτό μπόρεσα να βρώ.

lowbaper92 · 2013-02-13T22:30:40+0200

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Να λυθεί η εξίσωση:

$\left|z+1 \right|=4z-2\bar{z}-6i\Rightarrow \left|x+yi+1 \right|=4\left(x+yi \right)-2(x-yi)-6i\Rightarrow \left|x+1+yi \right|=4x+4yi-2x+2yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x+6yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x-6yi+6i=0\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x=0 \\ & -6yi+6i=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x \\ & 6yi=6\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+1}=2x \\ & y=1 \end{cases}\Rightarrow {\sqrt{{(x+1)}^{2}+1}}^{2}={(2x)}^{2}\Rightarrow {(x+1)}^{2}+1=4{x}^{2}\Rightarrow (x+1)(x+1)+1=4{x}^{2}\Rightarrow {x}^{2}+2x+1=4{x}^{2}\Rightarrow 3{x}^{2}-2x-2=0$

Διακρίνουσα:
$\Delta ={\beta }^{2}-4\alpha \gamma \Rightarrow \Delta =4-4\cdot 3\cdot (-2)=28$

Άρα,οι ρίζες της εξίσωσης είναι:
${x}_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{7}}{3}$

Στις λύσεις του Μπάρλα όμως,γράφει σαν λύση όμως το
$z=\frac{1+\sqrt{7}}{3}+i$
Γιατί;

Γιατί στο σημείο που έχεις $\sqrt{{\left(x+1 \right)}^{2}+1}=2x$ , το πρώτο μέλος ως ρίζα είναι μη αρνητικός αριθμός (θετικός ή μηδέν), και μάλιστα επειδή το υπόρριζο είναι θετικό, το πρώτο μέλος είναι θετικό. Άρα και το 2ο μέλος πρέπει να είναι θετικό για να ικανοποιείται η εξίσωση, οπότε η αρνητική λύση που βγάζεις απ'τη δευτεροβάθμια, απορρίπτεται.

Mercury · 2013-02-13T22:34:21+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Γιατί στο σημείο που έχεις $\sqrt{{\left(x+1 \right)}^{2}+1}=2x$ , το πρώτο μέλος ως ρίζα είναι μη αρνητικός αριθμός (θετικός ή μηδέν), και μάλιστα επειδή το υπόρριζο είναι θετικό, το πρώτο μέλος είναι θετικό. Άρα και το 2ο μέλος πρέπει να είναι θετικό για να ικανοποιείται η εξίσωση, οπότε η αρνητική λύση που βγάζεις απ'τη δευτεροβάθμια, απορρίπτεται.

Οκε,το κατάλαβα.Θένκς!!

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Μερκ,το y ισουται με -i . Ξαναδεστο

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Γιά το y είναι: $y=-i$
Μόνο αυτό μπόρεσα να βρώ.

Πώς γίνεται αυτό ρε παιδιά;Το λάθος πού είναι;

JKaradakov · 2013-02-13T22:38:32+0200

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Πώς γίνεται αυτό ρε παιδιά;Το λάθος πού είναι;

$6yi=6\Rightarrow y=\frac{6}{6i} \Rightarrow y=\frac{1}{i} \Rightarrow y=\frac{1\times i}{i \times i} \Rightarrow y= -i$

Mercury · 2013-02-13T22:40:19+0200

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
$6yi=6\Rightarrow y=\frac{6}{6i} \Rightarrow y=\frac{1}{i} \Rightarrow y=\frac{1\times i}{i \times i} \Rightarrow y= -i$

Μάλλον μου ξέφυγε ένα i,sorry...
Κανονικά θα έπρεπε να είναι
$6yi=6i\Rightarrow y=1$

lowbaper92 · 2013-02-13T22:40:54+0200

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Μερκ,το y ισουται με -i . Ξαναδεστο

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Γιά το y είναι: $y=-i$
Μόνο αυτό μπόρεσα να βρώ.

Τα x,y είναι πραγματικοί αριθμοί εξ ορισμού

φρι · 2013-02-13T22:43:08+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Τα x,y είναι πραγματικοί αριθμοί εξ ορισμού

Και γιατι στο αποτελεσμα ο Μπαρλας βγαζει ενα +i ? :/:

JKaradakov · 2013-02-13T22:44:19+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Τα x,y είναι πραγματικοί αριθμοί εξ ορισμού

Σωστά!

Άρα, δεν έχεις y και ο z είναι πραγματικός. :hmm:

lowbaper92 · 2013-02-13T22:47:34+0200

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Και γιατι στο αποτελεσμα ο Μπαρλας βγαζει ενα +i ?

O μιγαδικός που ψάχνουμε είναι ο $z=x+yi$ .

Βρήκαμε
$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1+\sqrt{7}}{3}\\ y=1\end{matrix}\right.$

Άρα τελικά ο z είναι ο $z=\frac{1+\sqrt{7}}{3}+i$

Mercury · 2013-02-13T22:48:06+0200

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Και γιατι στο αποτελεσμα ο Μπαρλας βγαζει ενα +i ?

Γιατί άν το
$y=1$ ,τοτε γράφεται $1i$ ή $i$ σκέτο.

φρι · 2013-02-13T22:49:42+0200

Ναι,σωστα!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος