Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[vimaproto]

Εγώ βρήκα ότι το όριο της (2) είναι μείον άπειρο.
Εκανα χρήση της σειράς Mac- Laurin κλπ . Αρχικά έβγαλα κοινό παράγοντα και . Αξίζει να συνεχίσω?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[φρι]

1)

Αν τώρα

οπότε

διαιρεσες δια χ/.δε καταλαβα πως το εκανες

αααα ιδιοτητα λογαριθμων..οκ,το πιασα!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

[LATEX]\nu \alpha \quad \beta \rho  \varepsilon \theta \o \upsilon \nu \quad \tau \alpha \quad \o \rho \iota  \alpha :\\ 1)\lim _{ \chi \rightarrow +\infty  }{ [\ln { (1+\chi ) }  }  -\ln { \chi ] } \\ 2)\lim _{ \chi \rightarrow \infty  }{ { (\chi  }^{ 2  } } -{ e }^{ \chi  })\\ 3)\lim _{ \chi \rightarrow 0 }{ (\frac { 1 }{  \chi  }  } -\frac { 1 }{ \eta \mu \chi  } )\\ 4)\lim _{ \chi \rightarrow  0 }{ { (\chi  }^{ 2 } } \cdot { e }^{ \chi  })\\ \\ \nu \alpha \quad  \beta \rho \varepsilon \theta \varepsilon \iota \quad \tau \o \quad  \sigma \upsilon \nu \o \lambda \o \quad \tau \iota \mu \omega \nu :\\  f\left( x \right) =x\ln { x }  [/LATEX]

2)

Όμως

Τελικά

αφού

3)

Είναι γνωστό και από το σχολικό ότι

Τελικά είναι


Σημείωση: Εναλλακτικά αντί να διαιρέσουμε με χ μετά το de l'Ηopital θα μπορούσαμε να κάνουμε και δεύτερο de l'Ηopital απ' όπου θα παίρναμε το ίδιο αποτέλεσμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Aris90]

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε:
για καθε χεR
i)να βρειτε το f '(1)
ii)f:R-->R ειναι παραγωγισιμη
για κεθε χεR

να βρειτε το f '(1)
iii)1)εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f:R-->R να δειχθει οτι αν η f ειναι αρτια τοτε η f ' ειναι περιτη
2)Αν η f ειναι περιτη τοτε η f ' ειναι αρτια

χρειαζομαι βοηθεια

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

Στις δύο πρώτες αφού βρεις το f(1) ( βάζεις όπου χ=1), παραγωγίζεις την σχέση που σου δίνει και βρίσκεις εύκολα το f'(1). Για την τρίτη απλά θυμήσου τι σημαίνει άρτια και περιττή συνάρτηση, μετά παραγώγιση μπλα μπλα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lowbaper92]

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε:
για καθε χεR
i)να βρειτε το f '(1)
ii)f:R-->R ειναι παραγωγισιμη
για κεθε χεR

να βρειτε το f '(1)
iii)1)εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f:R-->R να δειχθει οτι αν η f ειναι αρτια τοτε η f ' ειναι περιτη
2)Αν η f ειναι περιτη τοτε η f ' ειναι αρτια

χρειαζομαι βοηθεια

Spoiler

1) Για x=1 στην αρχική:


Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη και θέτουμε x=1:

Spoiler

2) Παραγωγίζουμε και θέτουμε x=1:

Spoiler

3i) H f είναι άρτια άρα ισχύει ότι:

Παραγωγίζουμε την παραπάνω σχέση:

Άρα η f' περιττή.

Ομοίως και το άλλο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Aris90]

i)να βρειτε f ' (x)
ii)αν να βρειτε τη g'(o)
iii)αν h(x)=hm²f³(χ) να βρειτε το h ' (o)

αυτη η ασκηση αν δεν κανω μοιαζει σαν υην προηγουμενη που ανεβασα απλως δεν μπορω να βρω το f'(x) για να κανω και τα αλλα ερωτηματα λιγο βοηθεια

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

Για το i)
Για παραγωγίσιμη με

Για πάμε με τον ορισμό. Πρέπει να βρεις το όριο

Spoiler

Θυμήσου "μηδενική επί φραγμένη"

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Aris90]

Για το i)
Για παραγωγίσιμη με

Για πάμε με τον ορισμό. Πρέπει να βρεις το όριο

Spoiler

Θυμήσου "μηδενική επί φραγμένη"

την ελυσα αν και βγηκε λιγο μεγαλο το πρωτο ερωτημα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[φρι]

την ελυσα αν και βγηκε λιγο μεγαλο το πρωτο ερωτημα

προφανως αφου εχεις γινομενο τριων συναρτησεων

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

προφανως αφου εχεις γινομενο τριων συναρτησεων

Δεν είναι και τόσο τραγικό. Γενικά αν

τότε

όπου ο τόνος πάει σε μία συνάρτηση κάθε φορά. Και φυσικά αυτό γενικεύεται για γινόμενο n συναρτήσεων. Οπότε γλυτώνεις και πράξεις . Λίγο τις σύνθετες συναρτήσεις να προσέξεις με τον κανόνα της αλυσίδας και είσαι εντάξει.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[φρι]

Να σε ρωτησω κατι..την πρωτη σειρα που λες [φ(1)*φ(2)]' χρειαζεται να τη γραφουμε καθε φορα?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

Μόνο αν σε βοηθάει. Εγώ θα πέταγα κατευθείαν στην τρίτη γραμμή αν ήταν να γλιτώσω χρόνο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[mary-blackrose]

θα ηθελα μια βοηθεια στις παρακατω ασκησεις:

[LATEX]1)\delta \iota \nu \varepsilon \tau \alpha \iota \quad \eta \quad \sigma \upsilon \nu \alpha \rho \tau \eta \sigma \eta \quad f\left( x \right) =\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 7 }{ 2 } { x }^{ 2 }+3\chi +\mu ,\chi \quad \in \quad \Re \quad \o \pi \o \upsilon \quad \mu \quad \pi \varrho \alpha \gamma \mu \alpha \tau \iota \kappa \o \varsigma[/LATEX][LATEX] \quad \alpha \rho \iota \theta \mu \o \varsigma .\nu \alpha \quad \alpha \pi \o \delta \varepsilon \iota \xi \varepsilon \tau \varepsilon \quad \o \tau \iota \quad \eta \quad \varepsilon \xi \iota \sigma \omega \sigma \eta \quad f\left( x \right) =0\quad \quad \delta \varepsilon \nu \quad \mu \pi \o \rho \varepsilon \iota \quad \nu \alpha \quad \varepsilon \chi \varepsilon \iota \quad 2\quad \delta \iota \alpha \varphi \o \rho \varepsilon \tau \iota \kappa \varepsilon \varsigma \quad \rho \iota \zeta \varepsilon \varsigma \quad \sigma \tau \o \quad \alpha \nu \o \iota \kappa \tau \o \quad \delta \iota \alpha \sigma \tau \eta \mu \alpha \quad (1,2)[/LATEX]
[LATEX]\\ 2)\nu \alpha  \quad \beta \rho \varepsilon \iota \tau \varepsilon \quad \tau \o \quad \pi \lambda \eta \vartheta \o \varsigma \quad \tau \omega \nu \quad \rho \iota \zeta \omega \nu \quad \tau \eta \varsigma \quad \varepsilon \xi \iota \sigma \omega \sigma \eta \varsigma \quad 2{ \chi  }^{ 3 }-12{ \chi  }^{ 2 }+24\chi +5=0.[/LATEX]
[LATEX]\\ 3)\nu \alpha  \quad \alpha \pi \o \delta \varepsilon \iota \xi \varepsilon \tau \varepsilon \quad \o \tau \iota \quad \gamma \iota \alpha \quad \kappa \alpha \vartheta \varepsilon \quad \alpha ,\beta \quad \in \quad \Re \quad \eta \quad f\left( x \right) =3{ \chi  }^{ 4 }-4{ \chi  }^{ 3 }+6{ \chi  }^{ 2 }+\alpha \chi +\beta \quad \varepsilon \chi \varepsilon \iota \quad \mu \o \nu \o \quad \varepsilon \nu \alpha \quad \tau \o \pi \iota \kappa \o \quad \alpha \kappa \rho \o \tau \alpha \tau \o .\\ [/LATEX]
[LATEX]4)\nu \alpha  \quad \alpha \pi \o \delta \varepsilon \iota \xi \varepsilon \tau \varepsilon \quad \o \tau \iota \quad \eta \quad \varepsilon \xi \iota \sigma \omega \sigma \eta \quad ({ \chi  }^{ 2 }-1)\sigma \upsilon \nu \chi +2\chi \eta \mu \chi =0\quad \varepsilon \chi \varepsilon \iota \quad \delta \upsilon \o \quad \tau \o \upsilon \lambda \alpha \chi \iota \sigma \tau \o \nu \quad \rho \iota \zeta \varepsilon \varsigma \quad \sigma \tau \o \quad \delta \iota \alpha \sigma \tau \eta \mu \alpha \quad (-1,1).[/LATEX]
[LATEX]\\ \\ \Upsilon .\gamma \quad \upsilon \pi \alpha \rho \chi \varepsilon \iota \quad \kappa \alpha \pi \o \iota \o \varsigma \quad \sigma \upsilon \gamma \kappa \varepsilon \kappa \rho \iota \mu \varepsilon \nu \o \varsigma \quad \tau \rho \o \pi \o \varsigma \quad \mu \varepsilon \quad \tau \o \nu \quad \o \pi \o \iota \o \quad \mu \pi \o \rho \o \upsilon \mu \varepsilon \quad \nu \alpha \quad \delta \iota \alpha \kappa \rho \iota \nu \o \upsilon \mu \varepsilon \quad \alpha \pi \o \quad \tau \eta \nu \quad \kappa \alpha \theta \varepsilon \quad \alpha \sigma \kappa \eta \sigma \eta \quad ,\quad \tau \o \quad \theta \varepsilon \omega \rho \eta \mu \alpha \quad \pi \o \upsilon \quad \theta \alpha \quad \chi \rho \eta \sigma \iota \mu \o \pi \o \iota \eta \sigma \o \upsilon \mu \varepsilon \quad \gamma \iota \alpha \quad \tau \eta \nu \quad \varepsilon \pi \iota \lambda \upsilon \sigma \eta \quad \tau \eta \varsigma ??? [/LATEX]

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lowbaper92]

θα ηθελα μια βοηθεια στις παρακατω ασκησεις:

Σου ζητάει να αποδείξεις ότι κάτι δεν μπορεί να ισχύει. Αυτό σε ψιλιάζει να χρησιμοποιήσεις άτοπο. Έστω λοιπόν ότι μπορεί. Έστω δηλαδή ότι υπάρχουν
Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι x1<x2 δηλαδή ισχύει η διάταξη 1<x2<x2<2.

Απ' το θεώρημα Rolle στο διάστημα [x1,x2] προκύπτει ότι υπάρχει .

Όμως
Το τριώνυμο αυτό ρίζες 0,5 και η άλλη 3.
Κάνοντας ένα πινακάκι προσήμου βλέπουμε ότι:

_____0,5_________1_________x1____ξ____x2________2_______3_______
__+___ |________________________________________________|___+

Συνεπώς το συμπέρασμα που βγάλαμε απ'το Rolle, ότι δηλαδή μεταξύ των x1,x2 υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f'(ξ)=0, είναι άτοπο, καθώς μεταξύ x1 και x2 η παράγωγος είναι αρνητική. Άρα η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη και όντως η f δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο (1,2).

Άρα η x=2 είναι διπλή ρίζα.

Στη διπλή ρίζα δεν αλλάζει το πρόσημο της συνάρτησης, άρα στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι παντού θετικό (ομόσημο του συντελεστή α=6).
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού τους, και το σύνολο τιμών της είναι το


Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών, επομένως η συνάρτηση έχει μία μοναδική ρίζα.

Η εκφώνηση λέει "μόνο ένα" ή "το πολύ ένα τοπικό ακρότατο".

Αν δεν μας ενδιαφέρει η ύπαρξη ή μη το ακρότατου, αλλά μόνο το γεγονός ότι μπορεί να έχει μέχρι ένα ακρότατο (δηλαδή ένα ή κανένα) τότε θα δουλέψουμε με άτοπο.

Έστω ότι η f έχει 2 θέσεις τοπικών ακρότατων x1,x2. (Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε x1<x2).
Απ'το θεώρημα του Fermat (ελέγχουμε πάντα προϋποθέσεις) προκύπτει ότι:


Εφαρμόζοντας τώρα το θεώρημα Rolle για την f' στο [x1,x2] προκύπτει ότι υπάρχει


Όμως
το οποίο έχει αρνητική διακρίνουσα, δηλαδή δεν έχει ρίζες.
Συνεπώς το συμπέρασμα στο οποίο καταλήξαμε απ'το Rolle, ότι δηλαδή υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f''(ξ)=0, είναι άτοπο.
Συνεπώς η f έχει το πολύ ένα τοπικό ακρότατο.

Από Bolzano sta [-1,0] και [0,1] προκύπτει το ζητούμενο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[JKaradakov]

Δίνεται η συνάρτηση:

​

Να βρείτε τις τιμές του , ώστε το να είναι πεπερασμένο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[φρι]

Δίνεται η συνάρτηση:

​

Να βρείτε τις τιμές του , ώστε το να είναι πεπερασμένο.

Πεπερασμενο?σε ποιο κεφ εισαι; η δεν τα εχω κανει ή δε ξερω τι σημαινει

εννοεις να κανει +οο ή -οο?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

Πεπερασμενο?σε ποιο κεφ εισαι; η δεν τα εχω κανει ή δε ξερω τι σημαινει

Να είναι πραγματικός αριθμός.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[φρι]

Να είναι πραγματικός αριθμός.

ααα οκ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Δίνεται η συνάρτηση:

​

Να βρείτε τις τιμές του , ώστε το να είναι πεπερασμένο.

Επειδή 0<θ<π/2 τότε 0<συνθ<1.

Θεωρούμε τα πολυώνυμα P(x)=(x^2)+2x+3 και Q(x)=(x^2)-2x+4, x ανήκει R. Έχουμε

P(x)=(x^2)+2x+3=[(x^2)+2x+1]+2=((x+1)^2)+2>=2>0 για κάθε x ανήκει R
Q(x)=(x^2)-2x+4=[(x^2)-2x+1]+3=((x-1)^2)+3>=3>0 για κάθε x ανήκει R

Επομένως η f έχει πεδίο ορισμού το A=R

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=2-SQRT(3(x^2)+2x+1)-SQRT(4(x^2)-2x+1)
Θεωρούμε τα πολυώνυμα p(x)=3(x^2)+2x+1, q(x)=4(x^2)-2x+1, x ανήκει R. Έχουμε

p(x)=3(x^2)+2x+1=2(x^2)+[(x^2)+2x+1]=2(x^2)+((x+1)^2)>0 για κάθε x ανήκει R
q(x)=4(x^2)-2x+1=3(x^2)+[(x^2)-2x+1]=3(x^2)+((x-1)^2)>0 για κάθε x ανήκει R

Επομένως η g έχει πεδίο ορισμού το Β=R. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

g΄(x)=-[(3x+1)/SQRT(3(x^2)+2x+1)]-[(4x-1)/SQRT(4(x^2)-2x+1)], x ανήκει R

Έχουμε για x=0, g(0)=g΄(0)=0. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει:

lim(x->0)(g(x)-g(0))/(x-0)=g΄(0) <=> lim(x->0)[(2-SQRT(3(x^2)+2x+1)-SQRT(4(x^2)-2x+1))/x]=0 <=>
<=> lim(x->0-)[(2-SQRT(3(x^2)+2x+1)-SQRT(4(x^2)-2x+1))/x]= lim(x->0+)[(2-SQRT(3(x^2)+2x+1)-SQRT(4(x^2)-2x+1))/x]=0

Για x<0 είναι |x|=-x και η f γράφεται ισοδύναμα

f(x)=SQRT((x^2)(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT((x^2)(1-(2/x)+(4/(x^2)))+(4συνθ)x+1
f(x)=|x|SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+|x|SQRT(1-(2/x)+(4/(x^2)))+(4συνθ)x+1
f(x)=(-x)SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+(-x)SQRT(1-(2/x)+(4/(x^2)))+(4συνθ)x+1
f(x)=x[-SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))-SQRT(1-(2/x)+(4/(x^2)))+4συνθ+(1/x)]

Επειδή lim(x->-oo)(1/x)=lim(x->-oo)(1/(x^2))=0 τότε

L=lim(x->-oo)[-SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))-SQRT(1-(2/x)+(4/(x^2)))+4συνθ+(1/x)]=[-SQRT(1+2*0+3*0)-SQRT(1-2*0+4*0)+4συνθ+0]=-1-1+4συνθ=4συνθ-2=2(2συνθ-1)

Είναι lim(x->-oo)x=-oo

Αν 0<θ<π/3 τότε 1/2<συνθ<1 => 2συνθ-1>0 => L>0
Σε αυτήν την περίπτωση είναι lim(x->-oo)f(x)=-oo

Αν π/3<θ<π/2 τότε 0<συνθ<1/2 => 2συνθ-1<0 => L<0
Σε αυτήν την περίπτωση είναι lim(x->-oo)f(x)=+oo

Αν θ=π/3 τότε συνθ=1/2 και προκύπτει L=0.
Σε αυτήν την περίπτωση το όριο lim(x->-oo)f(x) οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0*(-οο) και είναι η μόνη περίπτωση το όριο αυτό να ισούται με πραγματικό αριθμό. Στη συνέχεια θα προσδιοριστεί το lim(x->-oo)f(x) για θ=π/3 εφόσον υπάρχει. Για συνθ=1/2 η f αποκτά τη μορφή:

f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)-2x+4)+2x+1, x ανήκει R

Θεωρούμε τον μετασχηματισμό u=1/x, x ανήκει R* <=> x=1/u

lim(x->-oo)(1/x)=0 οπότε όταν x->-oo τότε u->0- (Επειδή x<0 τότε u<0)

Για u<0 έχουμε:

f(1/u)=SQRT[(1/(u^2))+(2/u)+3]+SQRT([1/(u^2))-(2/u)+4]+(2/u)+1
f(1/u)=SQRT[(1+2u+3(u^2))/(u^2)]+SQRT[(1-2u+4(u^2))/(u^2)]+(2/u)+1
f(1/u)=-(1/u)SQRT[(3(u^2)+2u+1)]-(1/u)SQRT[(4(u^2)-2u+1)]+(2/u)+1
f(1/u)=[(2-SQRT(3(u^2)+2u+1)-SQRT(4(u^2)-2u+1))/u]+1
f(1/u)=(g(u)/u)+1

Έχει βρεθεί παραπάνω ότι lim(u->0-)(g(u)/u)=0

Επομένως έχουμε

lim(x->-oo)f(x)=lim(u->0-)f(1/u)=lim(u->0-)[(g(u)/u)+1]=0+1=1

Επομένως για θ=π/3 τότε lim(x->-oo)f(x)=1 και είναι η μοναδική τιμή της θ στο διάστημα (0,π/2) για την οποία υπάρχει το όριο lim(x->-oo)f(x) και είναι πραγματικός αριθμός.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.