Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

k0ralis · 22-11-12

Είναι f[a,b]=[γ,δ]. Για την g δεν έχω καμία πληροφορία εκτός του ότι είναι συνεχής στο [a,b].

rebel · 22 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
1)θεωρουμε τη συναρτηση f(x)=5(x^4)+3α(x^2)+B , οπου α.β ε R και α+β=-1.Ν.Δ.Ο εχει μαι τουλαχιστον λυση στο (0,1),η εξισωση f(x)=0

Θεωρούμε την συνάρτηση $F(x)=x^5+ax^3+bx$ και παρατηρούμε ότι $F'(x)=f(x)$ . Έχουμε επίσης
$F(0)=0$ και $F(1)=a+b+1=0$ από υπόθεση. Από θεώρημα Rolle θα υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0 \in (0,1):f(x_0)=F'(x_0)=0$

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
2)Eστω η συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο [α,β] με f''(x) διαφορο του 0 για καθε χ ε (α,β).Αν 0<α<β και f(α)=f(β)=0 ν.δ.ο :
ι)υπαρχει χε (α,β) τετοιος ωστε να ισχυει χο f'(xo)-f(xo)=0
ii)η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της f στο σημειο Μ (χο,f(xo)),διερχεται απο την αρχη των αξονων.

i) Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)= \frac{f(x)}{x}$ η οποία είναι συνεχής στο $[a,b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a,b)$ με $g'(x)=\frac{f'(x)x-f(x)}{x^2}$ . Iσχύουν λοιπόν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle και άρα υπάρχει $x_0 \in (a,b):g'(x_0)=0 \Rightarrow f'(x_0)x_0-f(x_0)=0$
ii) Η εφαπτομένη στο $x_0$ έχει εξίσωση $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \Rightarrow y=f'(x_0)x+f(x_0)-f'(x_0)x_0$
Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων αφού $f'(x_0)x_0-f(x_0)=0$ από προηγούμενο υποερώτημα.

(το δεδομένο $f''(x)\neq 0$ δεν βλέπω που χρειάζεται)

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
4)Αν η συναρτηση f εχει πρωτη και δευτερη παραγωγο στο [α,β] και f(α)=α, f(β)=β και υπαρχει γ ε (α,β) με f(γ)=γ, να δειξετε οτι υπαρχει ξ ε (α,β) ωστε f'(ξ)=0.

μήπως είναι $f''(\xi)=0$ αντί $f'(\xi)=0$ ;

mary-blackrose · 22 Νοεμβρίου 2012

Ωχ ναι!ειναι f ''(ξ)=0 χιλια συγνωμη!!

mary-blackrose · 22-11-12

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
Ωχ ναι!ειναι f ''(ξ)=0 χιλια συγνωμη!!

καμια ιδεα για την 4 ή την 5... :hmm:

??????

rebel · 22-11-12

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
3)εστω η συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο [α,β] και ισχυουν : f'(α)=f(β)=0 f'(x) διαφορο του 0 , για καθε α<χ<β.Να αποδειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον ξ ε (α,β) τετοιος ωστε να ειναι:
f''(ξ)/f'(ξ) + f'(ξ)/f(ξ) =0

Επειδή $f'(x) \neq 0$ για $x \in (a,b)$ και η $f'$ είναι παραγωγίσιμη-άρα και συνεχής-θα διατηρεί πρόσημο στο $(a,b)$ . Έτσι είτε $f'(x)<0$ για κάθε $x \in (a,b)$ οπότε η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[a,b]$ και άρα $f(x)>f(b)=0$ για $x \in (a,b)$ είτε
$f'(x)>0$ για κάθε $x \in (a,b)$ οπότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[a,b]$ και άρα $f(x)<f(b)=0$ για $x \in (a,b)$ .
Έτσι σε κάθε περίπτωση $f(x) \neq 0$ για $x \in (a,b)$
H σκέψη είναι να ορίσουμε κατάλληλη συνάρτηση $g(x)$ έτσι ώστε η σχέση
$\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}+\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=0$ να γραφεί στην μορφή $g'(\xi)=0$ . Έτσι θα ξέρουμε σε ποια συνάρτηση θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. Για να βρούμε αυτή την συνάρτηση δοκιμάζουμε τα εξής:
$\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}+\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=0 \Leftrightarrow f''(\xi)f(\xi)+f'(\xi)f'(\xi)=0$ .
Η τελευταία σχέση θυμίζει παράγωγο γινομένου και πιο συγκεκριμένα την παράγωγο της συνάρτησης $g(x)=f(x)f'(x)$ (φυσικά όλα αυτά γράφονται στο πρόχειρο).
Για την τελευταία προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο $[a,b]$ άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $g'(\xi)=0 \Rightarrow f''(\xi)f(\xi)+f'(\xi)f'(\xi)=0 \stackrel{f(\xi) \neq 0 \,\,\&\,\, f'(\xi) \neq 0}\Rightarrow \frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}+\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=0$ όπως θέλαμε.

mary-blackrose · 22-11-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Επειδή $f'(x) \neq 0$ για $x \in (a,b)$ και η $f'$ είναι παραγωγίσιμη-άρα και συνεχής-θα διατηρεί πρόσημο στο $(a,b)$ . Έτσι είτε $f'(x)<0$ για κάθε $x \in (a,b)$ οπότε η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[a,b]$ και άρα $f(x)>f(b)=0$ για $x \in (a,b)$ είτε
$f'(x)>0$ για κάθε $x \in (a,b)$ οπότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[a,b]$ και άρα $f(x)<f(b)=0$ για $x \in (a,b)$ .
Έτσι σε κάθε περίπτωση $f(x) \neq 0$ για $x \in (a,b)$
H σκέψη είναι να ορίσουμε κατάλληλη συνάρτηση $g(x)$ έτσι ώστε η σχέση
$\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}+\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=0$ να γραφεί στην μορφή $g'(\xi)=0$ . Έτσι θα ξέρουμε σε ποια συνάρτηση θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. Για να βρούμε αυτή την συνάρτηση δοκιμάζουμε τα εξής:
$\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}+\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=0 \Leftrightarrow f''(\xi)f(\xi)+f'(\xi)f'(\xi)=0$ .
Η τελευταία σχέση θυμίζει παράγωγο γινομένου και πιο συγκεκριμένα την παράγωγο της συνάρτησης $g(x)=f(x)f'(x)$ (φυσικά όλα αυτά γράφονται στο πρόχειρο).
Για την τελευταία προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο $[a,b]$ άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $g'(\xi)=0 \Rightarrow f''(\xi)f(\xi)+f'(\xi)f'(\xi)=0 \stackrel{f(\xi) \neq 0 \,\,\&\,\, f'(\xi) \neq 0}\Rightarrow \frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}+\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=0$ όπως θέλαμε.

ωραια...καταλαβα τον τροπο της ασκησης...σ ευχαριστω πολυ

!!!!

rebel · 23 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
4)Αν η συναρτηση f εχει πρωτη και δευτερη παραγωγο στο [α,β] και f(α)=α, f(β)=β και υπαρχει γ ε (α,β) με f(γ)=γ, να δειξετε οτι υπαρχει ξ ε (α,β) ωστε f''(ξ)=0.

Ψάχνω ύπαρξη ρίζας για την $f''(x)$ και στην εκφώνηση τα δεδομένα μεταφράζονται σε $g(a)=g(c)=g(b)=0$ όπου $g(x)=f(x)-x$ . Παρατηρώ ότι $g'(x)=f'(x)-1$ και $g''(x)=f''(x)$ . Έτσι αποδεικνύοντας την ύπαρξη ρίζας για την $g''(x)$ στο διάστημα $(a,b)$ έχω πετύχει να αποδείξω ότι υπάρχει ρίζα στο ίδιο διάστημα για την $f''(x)$ .
Τώρα για να δείξω ότι υπάρχει ρίζα της $g''(x)$ σκέφτομαι θεώρημα Rolle για την $g'(x)$ . Για να γίνει αυτό όμως χρειάζομαι δύο σημεία $x_1,x_2 \in(a,b)$ διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε $g'(x_1)=g'(x_2)$ .
Έχω όμως από τα δεδομένα $g(a)=g(c)=g(b)$ με $a<c<b$ οπότε μπορώ να εφαρμόσω και πάλι θεώρημα Rolle για την $g(x)$ στα διαστήματα $[a,c]$ και $[c,b]$ απ' όπου θα προκύψουν τα $x_1,x_2$ που ζητούσα με $g'(x_1)=g'(x_2)=0$ . Μάλιστα τα $x_1,x_2$ είναι διαφορετικά μεταξύ τους αφού $x_1 \in (a,c)$ και $x_2 \in (c,b)$ .

Τα παραπάνω ήταν απλά η πορεία της σκέψης ή οποία ήταν ανάποδη (ξεκίνησα από την g'' και έφτασα στην g). Η γραφή της λύσης ας γίνει ανάποδα. Δηλαδή πρώτα εφαρμόζω Rolle για την $g(x)$ στα διαστήματα $[a,c]$ και $[c,b]$ απ' όπου προκύπτουν $x_1 \in (a,c)$ και $x_2 \in (c,b)$ με $g'(x_1)=0$ και $g'(x_2)=0$ και μετά εφαρμόζω Rolle για την $g'(x)$ στο $[x_1,x_2]$ απ' όπου διαπιστώνω ότι υπάρχει $\xi \in (x_1,x_2) \subset (a,b)$ με $g''(\xi)=0$ και άρα $f''(\xi)=0$

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
5)εστω μια συναρτηση f , συνεχης στο [α,β] με παραγωγισιμη στο (α,β) με f(α)=f(β)=0 και c $\notin$ [α,β].Να δειξετε οτι :
ι)για την g(x)=f(x)/x-c, οπου c $\notin$ [α,β] εφαρμοζεται το θεωρημα Rolle στο [α,β].
ιι)Αν c $\notin$ [α,β], τοτε co ε (α,Β) τετοιο ωστε η εφαπτομενη της Cf στο (co,f(co)) να διερχεται απο το (c,0)

i) Προφανές
ii) Η εφαπτομένη στο τυχαίο σημείο $(t,f(t))$ όπου $t\in (a,b)$ έχει την εξίσωση $y-f(t)=f'(t)(x-t)$ . Για να διέρχεται από το $(c,0)$ πρέπει οι συντεταγμένες του να την επαληθεύουν, δηλαδή
$-f(t)=f'(t)(c-t)\Leftrightarrow f'(t)(t-c)-f(t)=0$
Λόγω του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $[a,b]$ για την συνάρτηση
$g(x)$ του πρώτου ερωτήματος υπάρχει πράγματι
$c_0 \in (a,b): g'(c_0)=0\Rightarrow \frac{f'(c_0)(c_0-c)-f(c_0)}{(c_0-c)^2}=0 \Rightarrow \\ f'(c_0)(c_0-c)-f(c_0)=0$ όπως θέλαμε.

rebel · 23-11-12

$f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$
$f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1$
αφού $\left(x^k\right)'=kx^{k-1}$ και λόγω των ιδιοτήτων
$(cf)'=cf'$ και $(f_1+f_2)'=f_1'+f_2'$

JKaradakov · 23-11-12

Για πείτε κανα tip για την παρακάτω άσκηση:

1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-x^3}{x-1}=2$ να αποδείξετε ότι $f'(1)=5$

akis95 · 23-11-12

προσθεσε και αφαιρεσε το 1 το οποιο ειναι το f(1)

JKaradakov · 23-11-12

Αρχική Δημοσίευση από akis95:
προσθεσε και αφαιρεσε το 1 το οποιο ειναι το f(1)

Ευχαριστώ!

Demlogic · 24-11-12

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Ευχαριστώ!

προσεξε το γιατι αυτες οι ασκησεις ειναι πολυ ευκολες...θα επρεπε να τις λυνεις με ανεση

antwwwnis · 24-11-12

Τώρα που έμαθε το κόλπο φυσικά και θα τις λύνει με άνεση.

Aris90 · 25-11-12

καλημερα εχω δυο ασκησεις που δεν ξερω τι να κανω και θα ηθελα καποιο tip ωστε να τις λυσω
1) εστω f,g συναρτησεις ορισμενες σρο R και παραγωγισιμες στο σημειο xο=0 αν ειναι f(0)=g(0) και f(x)+x>=g(x) για καθε χεR ν.δ.ο g'(0)-f'(0)=1
2)η συναρτηση f:R-->R ειναι συνεχης στο σημειο xοεR ν.δ.ο η συναρτηση g(x)=|x-xo|f(x)
ειναι παραγωγισιμη στο xo αν και μονο αν f(xo)=0

*Serena* · 25-11-12

Ας λύσει κάποιος το παρακάτω υποερώτημα γιατί θα σκάσω αμα περιμένω ως την Τετάρτη:
Εχω τη σχέση f(f(x))= f(x) +5x
Εχω δείξει ότι αντιστρέφεται, ότι δεν είναι γνησίως φθίνουσα, και ότι f(o)=o
Και μετά μου λέει να λύσω την εξίσωση:
f(f(2x)) +e^x-2 = f(2x) +3 - 11x

Πως λύνεται αυτό το πράγμα? :hmm:

ξαροπ · 25-11-12

Είσαι σίγουρη ότι αυτή είναι η εξίσωση; Γιατί από την αρχική σχέση η εξίσωση είναι ισοδύναμη με $21x + e^x = 5$ η οποία προκύπτει εύκολα ότι έχει μια λύση, αλλά είναι πολύ άσχημη (https://www.wolframalpha.com/input/?i=21x+++e^x+=+5).

Ντίνα951 · 25-11-12

lim x τείνει στο 1- Ρίζα χ2 +3 -2-->εκτος ριζας
προς 2χ2 -5χ+3
η λύση του κάμει -1/2
μπορεί καποιος να με βοηθήσει??

antwwwnis · 25-11-12

Αρχική Δημοσίευση από Ντίνα951:
lim x τείνει στο 1- Ρίζα χ2 +3 -2-->εκτος ριζας
προς 2χ2 -5χ+3
η λύση του κάμει -1/2
μπορεί καποιος να με βοηθήσει??

Πολ/ζεις και διαιρείς με τη συζυγη παρασταση του αριθμητη.
Όσα τριωνυμα εμφανιστούν, τα παραγοντοποιείς. Απλοποιείς το χ-1 και η αοριστία έχει αρθεί.

Ντίνα951 · 25-11-12

ευχαριστω πολυ!

Aris90 · 25-11-12

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
καλημερα εχω δυο ασκησεις που δεν ξερω τι να κανω και θα ηθελα καποιο tip ωστε να τις λυσω
1) εστω f,g συναρτησεις ορισμενες σρο R και παραγωγισιμες στο σημειο xο=0 αν ειναι f(0)=g(0) και f(x)+x>=g(x) για καθε χεR ν.δ.ο g'(0)-f'(0)=1
2)η συναρτηση f:R-->R ειναι συνεχης στο σημειο xοεR ν.δ.ο η συναρτηση g(x)=|x-xo|f(x)
ειναι παραγωγισιμη στο xo αν και μονο αν f(xo)=0

καμια απαντηση?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος