x^4-4x^3+14x^2+20x+25=0 ποιος μπορεί να το λύσει
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=x^4-4x^3+14x^2+20x+25. Η συνάρτηση f ως πολυωνυμική είναι συνεχής και ν φορές παραγωγίσιμη στο R όπου ν ανήκει Ν*. Επομένως:
f΄(x)=4x^3-12x^2+24x+20
f΄΄(x)=12x^2-24x+24=12(x^2-2x+2)=12[(x-1)^2+1]
Επειδή f΄΄ συνεχής και f΄΄(x)>0 για κάθε x στο R, τότε η f είναι κυρτή στο R και η f΄ γνησίως αύξουσα στο R. Συνεπώς η f΄ είναι 1-1 και αντιστρέψιμη συνάρτηση.
Επειδή lim(x->-άπειρο)f΄(x)=-άπειρο, lim(x->+άπειρο)f΄(x)=+άπειρο και η f΄ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε το πεδίο τιμών της είναι f΄(R)=R. Άρα υπάρχει μοναδική ρίζα της f΄ στο R αφού είναι 1-1. Πιο συγκεκριμένα έχουμε f΄(-1)=-20<0 και f΄(0)=20>0. Η f΄ είναι συνεχής στο [-1,0] και f΄(-1)f΄(0)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ στο (-1,0) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0 και επειδή η f΄ έχει μοναδική ρίζα τότε αυτό είναι μοναδικό. Επειδή η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο R έχουμε:
x>ξ => f΄(χ)>f΄(ξ) => f΄(χ)>0
χ<ξ => f΄(x)<f΄(ξ) => f΄(x)<0
Η f είναι συνεχής στο (-άπειρο,ξ], παραγωγίσιμη στο (-άπειρο,ξ) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (-άπειρο,ξ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-άπειρο, ξ). Η f είναι συνεχής στο [ξ,+άπειρο), παραγωγίσιμη στο (ξ,+άπειρο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (ξ,+άπειρο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ξ,+άπειρο).
Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (-άπειρο,ξ) με lim(x->-άπειρο)f(x)=+άπειρο, οπότε η εικόνα του (-άπειρο,ξ) είναι f((-άπειρο,ξ))=(f(ξ),+άπειρο). Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (ξ,+άπειρο) με lim(x->+άπειρο)f(x)=+άπειρο, οπότε η εικόνα του (ξ,+άπειρο) είναι f((ξ,+άπειρο))=(f(ξ),+άπειρο). Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ξ και το πεδίο τιμών της είναι f(R)=[f(ξ),+άπειρο), δηλαδή f(x)>=f(ξ) για κάθε x ανήκει R και η ισότητα ισχύει μόνο για x=ξ.
Έχουμε:
f΄(ξ)=0 => 4ξ^3-12ξ^2+24ξ+20=0 => ξ^3=3ξ^2-6ξ-5
f(ξ)=ξ^4-4ξ^3+14ξ^2+20ξ+25=ξ^4-4(3ξ^2-6ξ-5)+14ξ^2+20ξ+25=ξ^4+2ξ^2+44ξ+45 όπου ξ ανήκει (-1,0)
Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=x^4+2x^2+44x+45 όπου x ανήκει [-1,0]. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσμη στο [-1,0] με παράγωγο g΄(x)=4x^3+4x+44=4(x^3+x+11)
Έχουμε -1<x<0 => -1<x^3<0. Συνεπώς -2<x^3+x<0 => 9<x^3+x+11<11 => 36<g΄(x)<44.
g΄(x)>36>0 => H g είναι συνεχής στο [-1,0], παραγωγίσιμη στο (-1,0) και g΄(x)>0 για κάθε x στο (-1,0). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [-1,0]. Έχουμε g(-1)=4 και g(0)=45. Επομένως:
-1<χ<0 => g(-1)<g(x)<g(0) => 4<g(x)<45.
Άρα για κάθε x στο (-1,0) ισχύει g(x)>4>0. Επομένως ισχύει f(ξ)>0 αφού ξ ανήκει (-1,0) και επειδή f(x)>=f(ξ) τότε f(x)>0 για κάθε x στο R που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες και ισχύει f(x)>0 για κάθε x ανήκει R.
